肖海林 歐陽繕 謝 武

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，桂林 541004)

量子Turbo乘積碼*

肖海林歐陽繕 謝 武

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，桂林 541004)

(2009年12月28日收到;2010年5月29日收到修改稿)

量子通信是經(jīng)典通信和量子力學(xué)相結(jié)合的一門新興交叉學(xué)科.量子糾錯編碼是實現(xiàn)量子通信的關(guān)鍵技術(shù)之一.構(gòu)造量子糾錯編碼的主要方法是借鑒經(jīng)典糾錯編碼技術(shù)，許多經(jīng)典的編碼技術(shù)在量子領(lǐng)域中都可以找到其對應(yīng)的編碼方法.針對經(jīng)典糾錯碼中最好碼之一的Turbo乘積碼，提出一種以新構(gòu)造的CSS型量子卷積碼為穩(wěn)定子碼的量子Turbo乘積碼.首先，運用群的理論及穩(wěn)定子碼的基本原理構(gòu)造出新的CSS型量子卷積碼穩(wěn)定子碼生成元，并描述了其編碼網(wǎng)絡(luò).接著，利用量子置換SWAP門定義推導(dǎo)出量子Turbo乘積碼的交織編碼矩陣.最后，推導(dǎo)出量子Turbo乘積碼的譯碼跡距離與經(jīng)典Turbo乘積碼的譯碼距離的對應(yīng)關(guān)系，并提出量子Turbo乘積碼的編譯碼實現(xiàn)方案.這種編譯碼方法具有高度結(jié)構(gòu)化，設(shè)計思路簡單，網(wǎng)絡(luò)易于實施的特點.

CSS碼，量子卷積碼，量子Turbo乘積碼，量子糾錯編碼

PACS:03.65.Ta，42.30.Va，42.50.Ex

1.引 言

量子通信是通信技術(shù)的又一次劃時代革命，它在保密性、通信容量、通信距離等方面都具有十分明顯的優(yōu)勢，是未來通信發(fā)展的方向.量子通信傳送的是密鑰而非密文本身，是一個量子密鑰分發(fā)過程［1］.目前采用的通信技術(shù)嚴重制約了量子密鑰分發(fā)的比特率.將多輸入多輸出(MIMO)技術(shù)應(yīng)用于量子通信系統(tǒng)，提高量子密鑰分發(fā)的比特率，促進量子通信向高速、大容量發(fā)展［2，3］.然而，由于量子噪聲和環(huán)境的影響，使得量子密鑰在分發(fā)過程中產(chǎn)生誤碼率.為了提高量子密鑰分發(fā)的效率和降低誤碼率，增加量子通信的可靠性，必須進行量子糾錯編碼［4］.受到經(jīng)典糾錯編碼技術(shù)的啟發(fā)，Shor［5］在1994年提出了一種用9量子位編碼1位量子信息，糾正任一量子位發(fā)生錯誤的編碼方案.Shor的方法促進了量子糾錯編碼理論的產(chǎn)生與發(fā)展.通過借鑒經(jīng)典糾錯編碼理論，人們提出了一系列量子糾錯編碼方案.其中以 CSS型碼［6，7］和穩(wěn)定子碼理論［8，9］最為成熟和重要.Ashikhim等［10］于2001年在 CSS碼基礎(chǔ)上利用有限幾何學(xué)的方法構(gòu)造了量子低密度奇偶校驗碼(LDPC).David等［11］于2004年在 CSS碼基礎(chǔ)上，利用特殊稀疏序列，提出了4種構(gòu)造校驗矩陣的方法得到新的量子 LDPC.2008年邢莉娟等［12］給出了CSS型量子卷積碼的一種新的編譯碼方法，描述了編譯碼網(wǎng)絡(luò).該方法將碼字基態(tài)變換為信息多項式與生成多項式的乘積，然后用量子態(tài)上的多項式乘法操作實現(xiàn)編譯碼網(wǎng)絡(luò).同年，岳克峰等［13］利用有限幾何中的點和線，構(gòu)造出LDPC碼的校驗矩陣，并根據(jù)這種LDPC碼的特點，通過對校驗矩陣的行或列變換得到其對偶碼，從而獲得基于CSS碼的量子LDPC碼.2009年Djordjevic［14］在CSS碼基礎(chǔ)上提出適合光纖通信的量子LDPC碼，它的編譯碼非常簡單，只取決于受控非門和Hadamard門操作.

Turbo碼是目前最受關(guān)注的經(jīng)典糾錯編碼技術(shù)之一［15，16］，它汲取了傳統(tǒng)級聯(lián)碼的優(yōu)點，利用交織減少各成員碼的相關(guān)性，性能接近于香農(nóng)極限［17］.同時開創(chuàng)性地引入迭代譯碼的思想，譯碼也很簡單.Turbo乘積碼［18］(TPC)是一種以經(jīng)典碼為子碼的Turbo分組碼，在譯碼算法上采用了軟輸入軟輸出的迭代譯碼思想.在碼率較高的情況下，編碼增益較大，而且在譯碼性能上獲得了近似 Turbo卷積碼譯碼的編碼增益.相對于經(jīng)典Turbo乘積碼，量子Turbo乘積碼成為量子糾錯碼研究的新方向，而且構(gòu)造好的穩(wěn)定子碼也是量子 Turbo乘積碼的重要技術(shù).

2.經(jīng)典Turbo乘積碼

經(jīng)典Turbo乘積碼就是采用軟輸入軟輸出迭代譯碼的乘積碼，是傳統(tǒng) Turbo卷積碼技術(shù)的一種延伸，也稱為 Turbo分組碼.從編碼的角度看，它就是乘積碼而已.從譯碼的角度看，它采用的是與Turbo碼類似的迭代譯碼結(jié)構(gòu)，只是構(gòu)成Turbo乘積碼的子碼通常是一些線性分組碼或卷積碼，所以在SISO譯碼算法上有別于Turbo譯碼器中常用的算法［19］.乘積碼是通過將兩組或多組經(jīng)典碼排列在一個兩維或多維的陣列中而構(gòu)成的，其最小距離等于子碼最小距離的乘積.乘積碼實際上也是一種特殊的串行級聯(lián)碼，子碼的級聯(lián)順序可以任意交換而不影響碼的結(jié)構(gòu)和性能.Turbo乘積碼引入乘積碼的概念，用兩個或多個短的經(jīng)典碼簡單而有效率地構(gòu)造長碼.其編碼器由兩個或多個塊編碼器串行級聯(lián)而成，這些編碼器被簡單的行/列交織器分隔開來.二維Turbo乘積碼的乘積碼結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示.為譯碼器的輸出碼字.Turbo乘積碼的譯碼器結(jié)構(gòu)方框圖如圖3所示.

圖1 二維Turbo乘積碼結(jié)構(gòu)框圖

圖2 Turbo乘積碼的編碼器結(jié)構(gòu)方框圖

Turbo乘積碼在信噪比較高時具有更加穩(wěn)定的譯碼輸出，它解決了譯碼結(jié)果的漲落問題，收斂速度也較快.此外，Turbo乘積碼可以用一個子譯碼單元來完成多次迭代，這意味著可以大大減少實現(xiàn)電路的復(fù)雜度，同時將減小譯碼時延.

3.量子Turbo乘積碼

3.1.新構(gòu)造CSS型量子卷積碼

通過Steane碼，人們找到了經(jīng)典碼與量子碼間構(gòu)造的橋梁.CSS碼是 Calderbank，Shor和 Steane等［20—22］首先提出的一類量子糾錯碼.其原則是將經(jīng)典碼看作Hilbert空間中的量子態(tài)，利用原碼及其對偶碼的級聯(lián)分別糾正比特翻轉(zhuǎn)和相位翻轉(zhuǎn)錯誤. CSS碼結(jié)合了級聯(lián)碼和對偶碼兩種編碼思想，與經(jīng)典碼具有良好的對應(yīng)關(guān)系，從而可以利用經(jīng)典糾錯

圖3 Turbo乘積碼的譯碼器結(jié)構(gòu)方框圖

圖1中C1［n1，k1］和C2［n2，k2］是兩個經(jīng)典碼，ni為碼長，ki為信息比特數(shù).Turbo乘積碼的編碼器結(jié)構(gòu)方框圖如圖2所示.

在譯碼過程中，譯碼模塊A輸出的外賦信息經(jīng)過交織后送入譯碼模塊B，而譯碼模塊B輸出的外賦信息解交織后又反饋到譯碼模塊B，經(jīng)過多次迭代后譯碼模塊B的譯碼輸出經(jīng)判決后得到譯碼結(jié)果.在譯碼器中，兩個譯碼模塊均采用 Chase算法，它的性能接近于最大似然譯碼.該算法的基本原理是:利用硬判決譯碼器，根據(jù)不同的試探序列產(chǎn)生幾個候選碼字，然后把它們與接收序列進行比較，挑選一個與接收序列有最小軟距離的候選碼字作碼來構(gòu)造量子糾錯碼，而且具有非常直觀的代數(shù)結(jié)構(gòu)，非常易于分析.為了與經(jīng)典糾錯碼相區(qū)別，習(xí)慣上用符號［［n，k，m］］表示碼長為n的量子位，信息為k量子位的量子碼，m為約束長度.

設(shè)x∈C1且為 C1中的任意一個碼字，定義量子態(tài)

其中，“+”為按比特的“模2”方式加.C1和C2分別為［n，k1］和［n，k2］經(jīng)典卷積碼，且有 C2C1.利用C1和C2的對偶碼可糾正t個比特翻轉(zhuǎn)差錯和相位翻轉(zhuǎn)差錯.量子CSS(C1，C2)碼具有如下形式的一個檢驗矩陣

假設(shè)(C1，C2)是［［n，k］］在有限空間 Fq編碼對，且滿足

這里C1，C2≤Fq，span{·}表示線性張量子空間.向量滿足，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖如圖4所示.

同樣假設(shè)(D1，D2)是［［N，K］］在有限空間Fqk編碼對.將(C1，C2)和(D1，D2)進行級聯(lián)，必須在Fq和Fqk進行變換，引入兩個變換空間的關(guān)系式.我們選擇是Fq空間的一組基，選擇是 Fqk空間的一組基.Fqk是 Fq線性矢量空間，則滿足Fq雙線性變換ft，即

圖4 CSS(C1，C2)型量子卷積結(jié)構(gòu)示意圖

式中Tr{·}表示求跡，πi(·)(i=1，2)為Fqk空間到Fq空間的線性內(nèi)射變換.CSS(L1，L2)型量子卷積碼構(gòu)造表達式為

其中k重向量(η1，η2，…，ηk)(ηi∈GF(2s))在迦邏華域GF(2s)上形成一個向量空間，共有2ks個元素.在組合數(shù)學(xué)中，GF(2s)上的 2ks個 k重向量形成GF(2s)上的k維歐氏幾何.多項式ψ(Li)取決于第i個輸出端和編碼存儲單元之間如何用加法器和乘除器連接.給定一定參數(shù)為［［nN，kK，m］］的量子卷積碼，其生成元可以用左右兩個GF(2s)上的(nN-kK)×nN矩陣來表示.這里矩陣行對應(yīng)不同的生成元，列對應(yīng)不同的量子位.構(gòu)造CSS(L1，L2)型量子卷積碼的穩(wěn)定子碼生成元矩陣為

圖5 參數(shù)為［［6，1，3］］的CSS(L1，L2)型量子卷積碼的編碼網(wǎng)絡(luò) “H”表示Hadamard門

從圖5中我們發(fā)現(xiàn)，新構(gòu)造的CSS型量子卷積碼的編譯碼網(wǎng)絡(luò)只包含Hadamard門與控制非門，涉及相位翻轉(zhuǎn)操作的算子都可以忽略.編譯碼的復(fù)雜度大大降低，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)非常簡單.此外，我們新構(gòu)造的CSS型量子卷積碼可以實現(xiàn)由短的CSS型量子卷積碼的級聯(lián)取代長卷積碼，降低了系統(tǒng)的復(fù)雜度，而且它的穩(wěn)定子生成碼包含Pauli算子群代數(shù)中的算子.量子編碼的漢明距離可以用Pauli算子的最小重量表示［23］.在二元對稱信道中，最大后驗概率等效于最小漢明距離.在量子 Turbo乘積碼譯碼過程中，將Pauli算子群的維數(shù)賦予不同的置信系數(shù)作為譯碼輸出，從而可以在譯碼復(fù)雜度和譯碼性能之間進行靈活選擇.

3.2.量子交織器

交織矩陣的應(yīng)用是Turbo系列碼性能優(yōu)越的重要原因，它改變了Turbo系列碼的重量分布，使產(chǎn)生小重量碼字的輸入序列在通過交織矩陣后以很大的概率產(chǎn)生大重量碼字.通過選取好的交織矩陣，可以提高 Turbo系列碼的自由距離，減少低重量碼字的個數(shù)，最大限度地發(fā)揮交織器的作用.在量子通信中，量子交織器是利用量子置換 SWAP門操作［24］來實現(xiàn)，量子置換定義為

其中S={σx，σy，σz}為Pauli矩陣的矢量.J(t)為量子態(tài)的耦合常數(shù)［27］，在無消相干子空間且滿足J(t)和H的U變換表達式為

其中a1，a2分別為對應(yīng)的湮滅算子.(13)，

(14)和(15)式得到多量子比特交織的表達式為

其中 u±，v±∈U，且滿足和uj±=［1±(-1)sj］/2，sj，sj+1∈(a，a+).從(16)式中得出量子交織編碼矩陣對應(yīng)于 Pauli算子群代數(shù)中的算子，可以稱為錯樣算子.錯樣算子在態(tài)空間中的表示是可約的.每個不可約表示對應(yīng)一種量子錯誤，其中具有最小維數(shù)的不可約表示稱為最簡不可約表示.將最簡不可約表示的維數(shù)和重數(shù)賦予不同的概率提高量子Turbo乘積碼的自由距離，產(chǎn)生大重量碼字.此外，譯碼時，最簡不可約表示對應(yīng)的錯誤還可以作為譯碼的依據(jù).

3.3.量子Turbo乘積碼譯碼

在經(jīng)典譯碼中，常采用編譯碼之間的最小距離(歐式距離或者漢明距離)的序列作為最佳估計序列，而量子編譯碼之間的距離用跡距離來描述［28］.因此，尋求經(jīng)典 Turbo乘積碼的譯碼距離和量子Turbo乘積碼的譯碼距離存在某種對應(yīng)關(guān)系對譯碼工作是十分重要的.

其中σ為Pauli矩陣向量，α∈S，β∈R.簡化(17)式可得到

圖6 量子 Turbo乘積碼的編譯碼器 QCCi為量子卷積碼，QI為量子交織器，SOQVAi為軟輸出量子Viterbi譯碼器，QI-1為量子去交織器，POVM為廣義測量，⊕為模2加

4.結(jié) 論

量子糾錯碼技術(shù)是實現(xiàn)量子通信和量子計算實用化的基礎(chǔ).迄今為止，量子糾錯碼理論日趨完善，許多經(jīng)典的編譯碼技術(shù)在量子領(lǐng)域中都可以找到其對應(yīng)的編譯碼方法.針對經(jīng)典糾錯碼中最好碼之一的Turbo乘積碼，研究了量子 Turbo乘積碼的編譯碼方法，它通過 CSS型量子卷積碼級聯(lián)，采用了經(jīng)典類比的方法，因此在編譯碼器的形式上與經(jīng)典串行級聯(lián)卷積碼基本上相同.這樣可以選用經(jīng)典Turbo乘積碼的設(shè)計方案非常方便地構(gòu)造出量子Turbo乘積碼，并從理論推導(dǎo)中得到這種對應(yīng)的關(guān)系.我們首先運用群的理論及穩(wěn)定子碼的基本原理構(gòu)造出新的CSS型量子卷積碼穩(wěn)定子碼生成元，并描述了其編碼網(wǎng)絡(luò).接著，利用量子置換 SWAP門定義推導(dǎo)出量子 Turbo乘積碼的交織編碼矩陣，這種量子交織編碼矩陣對應(yīng)于Pauli算子群代數(shù)中的錯樣算子.對錯樣算子的最簡不可約表示的維數(shù)和重數(shù)賦予不同的概率能提高量子Turbo乘積碼的自由距離，產(chǎn)生大重量碼字.最后，推導(dǎo)出量子 Turbo乘積碼的譯碼跡距離與經(jīng)典 Turbo乘積碼的譯碼距離的對應(yīng)關(guān)系，并提出量子Turbo乘積碼的編譯碼實現(xiàn)方案.這種編譯碼方法具有高度結(jié)構(gòu)化，設(shè)計思路簡單，網(wǎng)絡(luò)易于實施的特點.量子 Turbo乘積碼不僅可以拓展量子糾錯編碼技術(shù)的研究領(lǐng)域，而且可能解決經(jīng)典方法難以解決的編碼理論難題.

［1］Bennett C H 1992 Phys.Rev.Lett.68 3124

［2］Xiao H L，Ouyang S，Nie Z P 2009 Acta Phys.Sin.58 3685 (in Chinese)［肖海林、歐陽繕、聶在平 2009物理學(xué)報 58 3685］

［3］Xiao H L，Ouyang S，Nie Z P 2009 Acta Phys.Sin.58 6779 (in Chinese)［肖海林、歐陽繕、聶在平 2009物理學(xué)報 58 6779］

［4］Kremsky I，Hsieh M H，Brun T A 2008 Phys.Rev.A 78 012341

［5］Shor P W 1995 Phys.Rev.A 52 2493

［6］Calderbank A R，Shor P W 1996 Phys.Rev.A 54 1098

［7］Dave B 2008 Phys.Rev.A 78 042324

［8］Gottesman D 1996 Phys.Rev.A 54 1862

［9］Alexei A，Emanuel K 2001 IEEE Trans.Inf.Theory 47 3065

［10］Ashikhim A，Litsyn S，Tsfasman M 2001 IEEE Trans.Inf. Theory 47 1206

［11］David J C，Mitchison G，McFadden P L 2004 IEEE Trans.Inf. Theory 50 2315

［12］Xing L Z，Li Z，Bao B M，Wang X M 2008 Acta Phys.Sin.57 4695(in Chinese)［邢莉娟、李 卓、白寶明、王新梅2008物理學(xué)報57 4695］

［13］Yue K F，Zhao S M，Li M M 2008 Journal of Nanjing University of Posts and Telecomm 28 44(in Chinese)［岳克峰、趙生妹、李苗苗2008南京郵電大學(xué)學(xué)報28 44］

［14］Djordjevic I B 2009 IEEE Photonics Technology Lett.21 842

［15］Vucetic B，Li Y H，Perez L C，Jiang F 2007 IEEE Proc.95 1323

［16］Huebner A，Zigangirov K S，Costello D J 2008 IEEE Trans.Inf. Theory 54 3024

［17］Liese F，Vajda I 2006 IEEE Trans.Inf.Theory 52 4394

［18］Chen G T，Cao L，Yu Lun，Chen C W 2009 IEEE Trans. Comm.57 307

［19］Xu C L，Liang Y C，Leon W S 2008 IEEE Trans.Wire.Comm. 7 43

［20］Calderbank A R，Shor P W 1996 Phys.Rev.A 54 1098

［21］Steane A M 1999 IEEE Trans.Inf.Theory 45 2492

［22］Fletcher A S，Shor P W，Win M Z 2008 IEEE Trans.Inf. Theory 54 5705

［23］Zhang Q，Tang C J，Gao F 2002 Acta Phys.Sin.51 15(in Chinese)［張 權(quán)、唐朝京、高 峰2002物理學(xué)報51 15］

［24］Jaromir F 2009 Phys.Rev.A 79 012330

［25］Heng F，Vwani R，Thomas S 2005 Phys.Rev.A 72 052323

［26］Zhang Q，Zhang E Y，Tang C J 2002 Acta Phys.Sin.51 1676 (in Chinese)［張 權(quán)、張爾楊、唐朝京 2002物理學(xué)報 51 1676］

［27］Tetsufumi T，Liu Y X，Hu X D，F(xiàn)ranco N 2009 Phys.Rev. Lett.102 100501

［28］Zhang M，Dai H Y，Xi Z R，Xie H W，Hu D W 2007 Phys. Rev.A 76 042335

PACS:03.65.Ta，42.30.Va，42.50.Ex

Quantum turbo product codes*

Xiao Hai-LinOuyang Shan Xie Wu
(School of Information and Communication，Guilin University of Electronic Technology，Guilin 541004，China)

28 December 2009;revised manuscript

29 May 2010)

Quantum communication is a growing interdisciplinary field which combines classical communications and quantum mechanics.Quantum error correction coding is one of the key techniques in quantum communication.Nearly all of the classical error correction coding schemes have been transplanted to the domain of quantum communication，and the quantum counterparts of classical error correction coding techniques have been found.Based on the classical turbo product codes(TPCs)which is one of the most outstanding schemes in classical coding region，a new structure of the CSS-type quantum convolutional codes(QCC)as stabilizer sub-code of the quantum turbo product codes(QTPC)is presented. Firstly，CSS-type QCC stabilizer generator is constructed with the help of group theory and the basic principle of stabilizer coders，and the corresponding networks are described.Secondly，the interleaved coded matrix of the QTPC is obtained by quantum permutation SWAP gate definition.Finally，the corresponding relation between the quantum trace distance of QTPC decoding and the distance of classical TPCs decoding is obtained，and the scheme of QTPCs coding and decoding is completed.The coding and decoding of QTPCs have a highly regular structure and a simple design idea，and the networks are easy to realize.

CSS coding，quantum convolutional codes，quantum turbo product codes，quantum error correcting coding

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:60972084)、國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(批準(zhǔn)號:2008CB317109)和廣西科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:桂科自0991241)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.60972084)，the National Basic Research Program of China (Grant No.2008CB317109)，and the Guangxi Science Foundation of China(Grant No.0991241).