莫嘉琪

1)(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，蕪湖 241003)

2)(上海高校計算科學(xué)E-研究院上海交通大學(xué)研究所，上海 200240)

一類非線性擾動發(fā)展方程的廣義迭代解*

莫嘉琪

1)(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，蕪湖 241003)

2)(上海高校計算科學(xué)E-研究院上海交通大學(xué)研究所，上海 200240)

(2010年4月24日收到;2010年5月6日收到修改稿)

利用廣義變分迭代方法研究了一類非線性發(fā)展擾動方程.首先引入一個泛函.然后求其變分，最后構(gòu)造方程解的迭代關(guān)系式.得到了問題的近似解和精確解析解.

發(fā)展方程，擾動，變分迭代

PACS:O2.30.Mv

1.引 言

非線性擾動發(fā)展方程在物理學(xué)、力學(xué)和其他自然科學(xué)的許多領(lǐng)域的應(yīng)用中，是十分重要的研究對象.近來許多學(xué)者在激波［1—3］、光波散射［4］、量子力學(xué)［5］、大氣物理［6—8］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［9］等方面都作了一些探討.非線性發(fā)展方程的定量和定性各種方法也大量地涌現(xiàn).作者們也利用微分不等式、同倫映射、不動點原理等方法研究了一系列非線性擾動問題［10—24］.

本文利用廣義變分迭代方法研究了一類非線性發(fā)展擾動方程.目前，非線性擾動方程的漸近方法的要點是用擾動理論的漸近展開式將非線性方程轉(zhuǎn)化為可求得的近似式去逼近原非線性方程的解［25，26］.本文使用的廣義變分迭代方法就是屬于這一類.本方法的優(yōu)點在于思路簡明，計算簡單，得到的近似解具有較高的精度.并且它還有一個優(yōu)點，就是求得的解保留了相應(yīng)的解析特性.因而對得到的解，還能進一步更深入的作定量、定性方面的解析運算.本方法具有較廣泛的研究前景.

Sine-Gordon方程就是一類重要的非線性擾動發(fā)展方程，它是物理學(xué)中很受關(guān)注的模型.Sine-Gordon方程用于超導(dǎo)體中，其方程形式為

近年來，關(guān)于非線性擾動發(fā)展方程解的研究主要集中在兩個方面.一個是利用各種代數(shù)分析方法求各種方程的精確解，如Zhang等［27］利用變形映射方法給出了相應(yīng)方程的精確解.He等［28］利用推廣的F展開方法求出了一類發(fā)展方程的精確解.另一方面，是定性研究解的性態(tài)問題，如 Lu等［29］以及Zhang等［30］對更一般的方程給出了一個完整的波函數(shù)和能量方程.Teman［31］證明了較一般的方程整體吸引子的存在性，并給出了吸引子的維數(shù)估計. Zhu等研究了方程［32］

整體解的存在唯一性.近來典型的非線性發(fā)展方程還有一些研究［33］，但典型的方程代表的是各類相應(yīng)自然現(xiàn)象的高度精簡和濃縮.它已經(jīng)不能滿足當(dāng)前科學(xué)發(fā)展的需要.故有必要來研究更能代表真實自然現(xiàn)象的廣義擾動發(fā)展方程.眾所周知，更復(fù)雜的廣義非線性方程一般不能求出其精確解.本文就是在上述關(guān)于討論兩個研究方法相結(jié)合的基礎(chǔ)上，在這種背景下，提出求解近似解，而這種近似解又可以繼續(xù)進行解析分析，進而得到更好的物理性態(tài).今討論如下廣義強阻尼擾動發(fā)展方程［34］

其中α≥0，β≥0為阻尼參數(shù)，f為擾動項.

2.廣義變分迭代

為了進一步求得廣義強阻尼擾動發(fā)展方程(1)的解，引入泛函F［u］［35］

令δF=0.于是有

故可得

由(2)和(3)式，我們構(gòu)造如下廣義變分迭代

根據(jù)假設(shè)［H］和廣義強阻尼擾動方程(1)的結(jié)構(gòu)，由(4)式可得到一個收斂的函數(shù)序列{un}，因此就是原方程(1)的精確解.

現(xiàn)考慮無擾動情形下的強阻尼發(fā)展方程

利用Fourier變換法來求方程(5)的解.對方程(5)的兩邊關(guān)于變量x進行Fourier變換，并設(shè)v(x，t)的Fourier變換為v—(λ，t).這時有

方程(6)的解為

取關(guān)系式(8)的 Fourier逆變換，便得到方程(6)的解v

現(xiàn)選取無擾動情形下的強阻尼發(fā)展方程的解v(x，t)作為廣義變分迭代(4)式的初始近似.即

將(10)式代入(4)式，便有

其中r1，r2由(8)式所示.再由(4)，(10)，(11)式，還可依次得到un(x，t)，i=2，3，….從而得到方程(1)的各次近似的擾動解.

3.例

現(xiàn)討論如下由 Josephson首先提出的用于超導(dǎo)體中的Sine-Gordon方程:

利用上述廣義變分迭代方法，可以得到上述方程的近似解.

事實上，比較方程(1)，可知α=β=0，f(x，t，u) =-sinu.于是由廣義變分迭代方法得到的 Sine-Gordon方程的一次近似解(11)式為

其中為解 u的初始狀態(tài).用相同的方法可以進一步得到方程的更高次近似解.

4.微擾方程

若在廣義強阻尼擾動發(fā)展方程(1)中的擾動項是微擾的，為計算簡單起見，例如現(xiàn)設(shè)f(x，t，u)= εcosu，其中ε為正的小參數(shù).這時相應(yīng)的強阻尼微擾方程初值問題為:

由(10)和(11)式，廣義強阻尼擾動方程(12)和(13)的微擾解的零階和一階近似 u0(x，t)和u1(x，t)分別為:

其中r1和r2由(8)式所示.

利用(4)式，可求得強阻尼微擾方程初值問題(12)和(13)式的二次近似u2(x，t)

其中r1和r2由(8)式所示，而

繼續(xù)通過關(guān)系式(4)式，可以依次地得到un(x，t)，i=3，4，…:

其中Fn-1(n=3，4，…)可依次地得到，其結(jié)構(gòu)在此從略.

由此便得到廣義強阻尼擾動發(fā)展方程解的各階近似表達式.

5.討論及結(jié)論

眾所周知，非線性方程一般是不能得到有限形式的解析精確解.人們只能用數(shù)值方法得到它的模擬解，或者用近似解析解去逼近它.然而由于得到的模擬解不能再進行解析運算，從而終止了對方程解的解析運算.這樣有時往往會忽略對一些非線性方程的某些特性的研究，特別是一些微擾方程出現(xiàn)跳躍過渡的激波層現(xiàn)象的解有時就會被忽略.廣義變分迭代方法是通過近似解析函數(shù)，盡管是用積分等式表達的超越函數(shù)，去逼近方程的精確解，所以還可用解析的方法去繼續(xù)探索方程解的其他特殊特性.

變分迭代理論是通過尋找合適的 Lagrange乘子，使相應(yīng)的泛函達到最優(yōu)化的“狀態(tài)”，因此能得到的近似解具有“最佳”的收斂效果.同時本文采用的廣義變分迭代方法又克服了古典的變分方法對某些非線性偏微分方程尋找 Lagrange乘子的局限性，所以能夠?qū)崿F(xiàn)得到較快地逼近精確解的近似解序列.

本文采用的廣義變分迭代方法的優(yōu)點還在于這種思路和方法簡捷有效.用此方法求得方程近似解的函數(shù)序列收斂速度的快慢，很容易啟發(fā)人們采用合適的初始近似.例如本文初始近似v(x，t)的選取是采用非擾動情形下的典型發(fā)展方程的解(9)式.這十分自然，它保證了對應(yīng)于有擾動情形下的，非線性發(fā)展方程較快地求得在要求的精度范圍內(nèi)的近似解.

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PACS:O2.30.Mv

The variational iteration solution method for a class of nonlinear disturbed evolution equations*

Mo Jia-Qi
1)(Department of Mathematics，Anhui Normal University，Wuhu 241003，China)
2)(Division of Computational Science，E-Institutes of Shanghai Universities，Shanghai 200240，China)

24 April 2010;revised manuscript

6 May 2010)

Using the generalized variational iteration method，a class of nonlinear disturbed evolution equations are studied. Firstly，a functional is introduced，then its variational is computed，and the iteration expansion is finally constructed.The approximate and exact analytic solutions to the problem are obtained.

evolution equation，perturbation，variational iteration

*國家自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:40876010)、中國科學(xué)院知識創(chuàng)新工程重要方向性項目(批準(zhǔn)號:KZCX2-YW-Q03-08)、公益性行業(yè)(氣象)科研專項(批準(zhǔn)號:GYHY200806010)、大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點實驗室專項經(jīng)費、上海市教育委員會E-研究院建設(shè)計劃(批準(zhǔn)號:E03004)和浙江省自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號:Y6090164)資助的課題.

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.40876010)，the Main Direction Program of the Knowledge Innovation Project of Chinese Academy of Sciences(Grant No.KZCX2-YW-Q03-08)，the Special Scientific Research Fund of Meteorological Public Welfare Profession of China(Grant No.GYHY200806010)，the Special Fund of the State Key Laboratory of Numerical Modeling for Atmospheric Sciences and Geophysical Fluid Dynamics of China，the Foundation of E-Institutes of Shanghai Municipal Education Commission，China(Grant No.E03004)and the Natural Science Foundation of Zhejiang Province，China(Grant No.Y6090164).