丁 鵬,陶文銓

(1.中國石油大學(xué)儲運(yùn)與建筑工程學(xué)院,山東青島266555;2.西安交通大學(xué)能動(dòng)學(xué)院,陜西西安710049)

管翅式換熱器流動(dòng)和換熱的低階模型模擬

丁 鵬1,陶文銓2

(1.中國石油大學(xué)儲運(yùn)與建筑工程學(xué)院,山東青島266555;2.西安交通大學(xué)能動(dòng)學(xué)院,陜西西安710049)

采用最佳正交分解技術(shù)(POD)建立管翅式換熱器的低階模型,通過數(shù)值模擬的方法得到管翅式換熱器在雷諾數(shù)為100～2000時(shí)的流場和溫度場。通過對系統(tǒng)樣本實(shí)施最佳正交分解得到該物理問題的POD基函數(shù)和譜系數(shù)。POD基函數(shù)具有能量最優(yōu)的特性,即在重構(gòu)公式中使用較小的截?cái)嘧杂啥瓤蓪⒃锢韱栴}的解準(zhǔn)確地表示出來,重構(gòu)公式在非設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)的譜系數(shù)由線性插值的方法得到。研究結(jié)果表明,基于POD的低階模型可以快速、準(zhǔn)確地預(yù)測出管翅式換熱器內(nèi)的溫度場和速度場,計(jì)算時(shí)間僅為S IMPLE算法的1/1200。

最佳正交分解;低階模型;管翅式換熱器;對流換熱;數(shù)值模擬

管翅式換熱器廣泛應(yīng)用于暖通空調(diào)、石油化工等行業(yè)。這類換熱器的熱阻主要在空氣側(cè),因此強(qiáng)化空氣側(cè)換熱是提高其綜合性能的關(guān)鍵。對空氣側(cè)常用的強(qiáng)化措施主要是采用各種強(qiáng)化換熱翅片(如波紋翅片、開縫翅片、百葉窗翅片等),這些翅片周期性改變主流方向,從而增強(qiáng)換熱效果,但同時(shí)流動(dòng)阻力也大大增加。隨著節(jié)能要求的不斷提高,高效低阻的空氣側(cè)結(jié)構(gòu)的研究和優(yōu)化勢在必行。各種結(jié)構(gòu)復(fù)雜的新型開縫翅片被開發(fā),這些新型的開縫翅片含有很多開縫和不規(guī)則的突起,通過試驗(yàn)手段對各種翅片進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)會花費(fèi)較高的試驗(yàn)費(fèi)用和加工成本,同時(shí)也難以捕捉其詳細(xì)的流場信息和溫度分布。近年來,數(shù)值模擬方法在石油化工等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3],采用數(shù)值方法可以獲得計(jì)算區(qū)域中每一點(diǎn)的流動(dòng)和溫度信息,從而可以進(jìn)一步對管翅式換熱器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。對管翅式換熱器進(jìn)行三維的整場數(shù)值模擬,通常會使用百萬量級的網(wǎng)格,會消耗大量的內(nèi)存空間和計(jì)算時(shí)間。筆者采用最佳正交分解技術(shù)建立管翅式換熱器的低階模型,低階模型可以在很短的時(shí)間內(nèi)得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。

1 POD的理論基礎(chǔ)

最佳正交分解(proper orthogonal decomposition,

POD)是一種功能強(qiáng)大、效果顯著的高效數(shù)據(jù)處理方法,它可以把高維的物理過程用最佳級數(shù)展開的形式進(jìn)行低維的近似描述,它提供了一個(gè)能夠準(zhǔn)確描述高維數(shù)據(jù)的低維空間。POD在流動(dòng)傳熱問題中的應(yīng)用可見文獻(xiàn)[4-7]。假設(shè)f(x,tn)為一物理場,

比如溫度場、速度場等,其中參數(shù)tn為獲得此物理場時(shí)的參數(shù),f(x,tn)可以通過數(shù)值方法得到并稱之為一個(gè)樣本。POD的最終目的是將f(x,tn)表示為以下級數(shù)形式:

式中,α(tn)為譜系數(shù);φ(x)為POD基函數(shù);M為截?cái)嘧杂啥取?/p>

求解POD基函數(shù)φ(x)的過程等同于求解以下積分特征值問題[8-9]:

式(3)僅能獲得設(shè)計(jì)參數(shù)tn對應(yīng)的αk(tn)值。對于非設(shè)計(jì)參數(shù)t,由于t對應(yīng)的物理場f(x,t)為待求,所以無法通過式(3)求出αk(t)的值。本文中通過線性插值的方法求得非設(shè)計(jì)參數(shù)t對應(yīng)的αk(t),

將描述譜系數(shù)α演化的方程稱為低階模型。

最后,非設(shè)計(jì)參數(shù)t對應(yīng)的物理場f(x,t)可以用重構(gòu)公式(1)方便地求出。此時(shí)在重構(gòu)公式中采用的基函數(shù)φ(x)仍是由設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)的物理場求出的基函數(shù)。

2 樣本收集

圖1為管翅式換熱器示意圖。雷諾數(shù)Re的變化范圍為100～2000。圖1所示的陰影部分的網(wǎng)格數(shù)為152(x)×35(y)×16(z)。建立低階模型的第一步是采集系統(tǒng)樣本,應(yīng)該遵循的原則是使樣本盡可能多地含有原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)信息。采用S IMPLE算法[11-13]分別求解了21個(gè)Re時(shí)的速度場和溫度場,并將其分別存儲在樣本矩陣中,這21個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)分別是Re1=100,Re2=300,Re2=500,…,Re21=2 000?？梢钥闯鲞@些樣本對應(yīng)的是換熱器在整個(gè)層流范圍內(nèi)的流場和溫度場。試算表明增加樣本數(shù)量不能進(jìn)一步提高低階模型的精度,所以可認(rèn)為采用21個(gè)樣本即可獲得與樣本個(gè)數(shù)無關(guān)的解。

圖1 管翅式換熱器示意圖Fig.1 Schematic diagram of tube-fin heat exchanger

3 結(jié)果分析

采用“快照”方法對采集到的速度和溫度樣本進(jìn)行最佳正交分解,共可得到21組基函數(shù)和21個(gè)特征值。表1中給出了速度樣本和溫度樣本的前5個(gè)ξ與η的計(jì)算值。觀察可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)樣本的ξ值減小很快。由最佳正交分解的性質(zhì)[9]知,通過POD獲得的基函數(shù)具有“能量”最優(yōu)(對于速度樣本而言,“能量”具有嚴(yán)格的物理意義,代表動(dòng)能;對于溫度樣本而言,可以理解為在式(1)中的貢獻(xiàn)程度)和快速收斂的特性,即僅用前面幾個(gè)基函數(shù)就可以通過式(1)重構(gòu)出較為準(zhǔn)確的結(jié)果,僅使用前3組基函數(shù)就可以捕捉到原系統(tǒng)99.98%以上的能量。圖2中給出了前3組速度基函數(shù)的矢量圖和前3組溫度基函數(shù)的等值線分布圖。由圖2可以發(fā)現(xiàn),排在前面的基函數(shù)代表物理場中大尺度的結(jié)構(gòu),而排在后面的基函數(shù)則含有越來越多的小尺度結(jié)構(gòu)。

表1 計(jì)算得到的ξ與η值Table 1 Calculated value ofξandη%

圖2 由POD技術(shù)計(jì)算得到的基函數(shù)分布Fig.2 Basis functions obtained by POD technique

現(xiàn)定義相對誤差E=‖f(x,t)-f(x,t)POD‖‖f(x,t)‖,其中‖·‖代表范數(shù)。相對誤差E表示由低階模型計(jì)算得到的物理場f(x,t)POD與數(shù)值解f(x,t)的相對偏差。

圖3中給出了設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)的溫度場和U速度分量的重構(gòu)相對誤差E。由圖3(a)可以發(fā)現(xiàn),相對誤差E隨著截?cái)嘧杂啥萂的增加而迅速減小,當(dāng)M=6時(shí),E的數(shù)值已經(jīng)到了1%左右。與溫度場相比,速度場需要較大的截?cái)嘧杂啥萂才能達(dá)到同一精度。

為了檢驗(yàn)低階模型在計(jì)算非設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)的準(zhǔn)確度,采用低階模型分別計(jì)算了3個(gè)非設(shè)計(jì)參數(shù)Re=386,1625和1915時(shí)的溫度場和流場。這3個(gè)非設(shè)計(jì)參數(shù)對應(yīng)的譜系數(shù)αk(t)由低階模型(4)計(jì)算得到,最后利用重構(gòu)公式(1)得到溫度場和流場。圖4中給出了非設(shè)計(jì)參數(shù)條件下的相對誤差E與階段自由度M的關(guān)系。由圖4可以發(fā)現(xiàn),在非設(shè)計(jì)參數(shù)條件下,低階模型同樣給出了比較準(zhǔn)確的結(jié)果,并且誤差E隨著M的增加逐漸下降并趨于一個(gè)固定值。圖5中給出了Re=1915時(shí)中心平面上的等溫線分布。由圖5可以發(fā)現(xiàn),低階模型的計(jì)算結(jié)果與數(shù)值解幾乎相同。

圖5 中心平面上的等溫線分布Fig.5 Isotherm distribution of center plane

表2為S IMPLE算法與低階模型所需計(jì)算時(shí)間對比。低階模型的優(yōu)勢是非常明顯的,要比S IMPLE算法快1200倍。低階模型的計(jì)算時(shí)間并沒有包括前期收集系統(tǒng)樣本計(jì)算基函數(shù)的時(shí)間,這個(gè)階段屬于低階模型的“訓(xùn)練”階段。在實(shí)際的應(yīng)用中,求得POD基函數(shù)后,低階模型可以直接對其進(jìn)行調(diào)用而不用再次求解。

表2 S IM PLE算法與低階模型所需計(jì)算時(shí)間對比Table 2 Comparison of computation t ime between S IM PLE and ROM methods

4 結(jié)束語

采用最佳正交分解(POD)技術(shù)建立了一管翅式換熱器的低階模型,非設(shè)計(jì)參數(shù)條件下重構(gòu)公式中的譜系數(shù)采用線性插值的方法得到。與數(shù)值解對比,低階模型在設(shè)計(jì)參數(shù)和非設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)均給出了相當(dāng)準(zhǔn)確的結(jié)果,并且在計(jì)算時(shí)間上有明顯的優(yōu)勢。與S I M PLE算法相比,計(jì)算速度提高了1200多倍。

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(編輯 沈玉英)

Reduced order modeling of fluid flow and heat transfer in tube-fin heat exchanger

DING Peng1,TAO Wen-quan2

(1.College of Storage&Transportation and Architectural Engineering in China University of Petroleum,Qingdao266555,China;2.School of Energy and Power Engineering,Xi′an Jiaotong University,Xi′an710049,China)

The reduced order model(ROM)of a tube-fin heat exchanger was developed based on the proper orthogonal decomposition(POD)technique.The flow and temperature fields of a tube-fin heat exchanger were obtained from numerical simulation at different Reynolds number,which is 100-2 000.The best orthogonal decomposition method was used to the system sample to get POD basis functions and spectral coefficient.The POD basis function has the best characteristics of energy.In the reconstruction formula,a smaller cut freedom may be the solution of the original physical problem accurately.The spectral coefficient in non-design parameters was obtained by linear interpolation at the reconstruction formula.The results show that the reduced order model can predict the temperature and velocity field of the tube-fin heat exchanger quickly and accurately and the calculation time is 1200 times faster than that of S IMPLE algorithm.

proper orthogonal decomposition;reduced order model;tube-fin heat exchanger;convection heat transfer;numerical simulation

TK 124

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.02.024

2010-09-22

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目(51006121)

丁鵬(1980-),男(漢族),山東曲阜人,講師,博士,主要從事計(jì)算流體、傳熱反問題及油藏?cái)?shù)值模擬方面的研究。

1673-5005(2011)02-0137-04