薛俊好，鄧忠林

(沈陽航空航天大學航空宇航工程學院，遼寧 沈陽 110136)

車輛工程中的車體地板、發(fā)動機缸體、齒輪箱箱體、建筑結(jié)構(gòu)的樓板、橋梁的橋面、航空航天工程中飛機壁板、導彈壁板等都屬于薄板彎曲問題，有限元分析可減少試驗成本，達到事半功倍的效果，還可以指導實際生產(chǎn)。

有限單元法分析薄板問題時，可以用薄板單元的組成來代替原來的薄板，我們通常采用三角形單元和四邊形單元的組合來代替薄板，以三角形單元應用最為廣泛，實用價值較大。

1 基本假設

(1)正應力假設［1］:基于板的厚度遠小于其他兩個方向的尺寸，忽略厚度方向的正應力，假設板的厚度不發(fā)生變化。

(2)小撓度假設［2］:薄板中面只發(fā)生彎曲變形而沒有內(nèi)部變形，即中面內(nèi)各點沒有平行與中面的位移。

(3)法線假設［3］:薄板中面法線上各點都有相同的位移。

根據(jù)以上假設，我們可以將薄板的彎曲問題轉(zhuǎn)化為二維問題，則其內(nèi)部應力和應變均可用中性面的撓度w表示。

2 廣義應力和應變

薄板的廣義應變?nèi)缦率剑?］

薄板的廣義應力如下式:

上式中，Mx，My是分別垂直于x軸和y軸的截面上單位長度的彎矩，Mxy是垂直于x軸截面上單位長度的扭矩。如圖1所示，如設板的厚度為t，則得到板內(nèi)任意一點的應力:

圖1 薄板的廣義應力

廣義應力和應變得到如下關(guān)系:

上式中，D為材料各向同性薄板的彈性矩陣:

3 有限元法

每個節(jié)點都應有3個位移分量，撓度w，繞x軸的旋轉(zhuǎn)角度θx，繞y軸的旋轉(zhuǎn)角度θy。撓度w以z軸正向為正。

小變形情況下，幾何關(guān)系［5］有:

則節(jié)點的位移:

節(jié)點對應的集中力:

故而，得到一個三角形單元中三個節(jié)點的位移和相應的節(jié)點力:

根據(jù)以上推導，三角形單元得得節(jié)點有9位移，唯一函數(shù)采用以下表示法:

式中，βk為系數(shù)，Ln為面積坐標。

聯(lián)合節(jié)點位移，整理得:

上式中:

聯(lián)立1－4得到單元內(nèi)力:

得到薄板的單元剛度矩陣:

表1 N 的函數(shù)性質(zhì)

可知薄板在彎曲時的單元剛度矩陣為9×9的矩陣，通常用一下表達式表示:

上式中 Krk為3 ×3 的子矩陣，其中 r，k=i，j，m

4 結(jié)束語

其后項尺寸遠小于其他尺寸時，薄板可以作為板殼來處理，板殼問題是平面應力單元和彎曲單元的組合，本章以三角形單元，討論了平面應力狀態(tài)和彎曲時的應力狀態(tài)，為有限元模擬打下基礎，同時為后續(xù)的壁板噴丸成型有限元模擬做了初步分析。

［1］李惠，尹長城.關(guān)于彎曲理論縱向纖維無正應力的假設［J］.湖北汽車工業(yè)學院學報，2002，3(16)，63 －64.

［2］壽楠椿.彈性薄板彎曲［M］.北京:高等教育出版社，1986:1－4.

［3］劉世寧，陳樹堅.薄板彎曲的一種9自由度快速收斂三角形單元體［J］.中山大學學報，1974(4):46－66.

［4］徐芝綸.彈性力學［M］.北京:高等教育出版社，2006:13－14.

［5］邵敏.有限單元法基本原理和數(shù)值方法［M］.北京:清華大學出版社，1977:331.

［6］王偉，劉春，王艷秋.快速實現(xiàn)二次曲面片三角網(wǎng)格剖分的新方法［J］.沈陽航空工業(yè)學院學報，2009，26(2):16－19.

［7］李寶亮，朱健，韓太東，等.航空鈑金成型過程的計算機仿真分析［J］.沈陽航空工業(yè)學院學報，2007，24(5):12－15.

［8］吳家龍.彈性力學［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［9］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學出版，2004.