劉幸東

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

從Fermat大定理看數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用

劉幸東

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

回顧費(fèi)馬大定理的解決過(guò)程,從一個(gè)側(cè)面論述了數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用．

Fermat大定理；數(shù)學(xué)問(wèn)題；數(shù)學(xué)發(fā)展

1994年10月25日，美國(guó)俄亥俄州州立大學(xué)的盧賓（Karl．Rubin）教授用電子郵件向世界宣布：安德魯．維爾斯（Andrew Wiles）完成了對(duì)費(fèi)馬大定理的證明．1995年5月，《數(shù)學(xué)年刊》用整整1期發(fā)表了維爾斯的論文．至此，費(fèi)馬大定理最終成為一個(gè)真正的定理，一個(gè)困擾人間智者300多年的著名問(wèn)題被完全解決了．這項(xiàng)成果被認(rèn)為是20世紀(jì)最偉大的科學(xué)成就之一．1996年3月，維爾斯榮獲了沃爾夫獎(jiǎng)，1998年獲得特別菲爾茲獎(jiǎng)[1]46．

費(fèi)馬大定理是一個(gè)有關(guān)不定方程的問(wèn)題．1621年，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖所著《算術(shù)》一書被從希臘文譯成拉丁文在法國(guó)出版．1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對(duì)該書中的數(shù)論問(wèn)題進(jìn)行了研究和推廣，對(duì)于該書第Ⅱ卷中的第8命題“將1個(gè)平方數(shù)分為2個(gè)平方數(shù)”，他想到了更一般的問(wèn)題．他在該書頁(yè)邊處用拉丁文寫了一句話，大意如下：

“將1個(gè)立方數(shù)分為2個(gè)立方數(shù)的和，1個(gè)4次冪分為2個(gè)4次冪的和，或者一般地將1個(gè)高于2次的冪分為2個(gè)同次冪的和，這是不可能的．關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種奇妙的證法，可惜這里的空白太小，寫不下了．”

若用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行描述，可以將其敘述如下：

當(dāng)整數(shù)n＞2時(shí)，方程

xn＋yn＝zn

沒(méi)有正整數(shù)解．

這就是著名的費(fèi)馬大定理．該問(wèn)題從提出到1994年被維爾斯解決，整整歷時(shí)358年．一代又一代數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者為此付出過(guò)艱辛的努力，文獻(xiàn)[2]敘述了歷代數(shù)學(xué)家前赴后繼尋求費(fèi)馬大定理的證明歷程．伴隨著征服費(fèi)馬大定理的艱辛過(guò)程，同時(shí)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)的新思想、新分支，這些分支在很大程度上影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展方向．費(fèi)馬大定理的解決之路，充分顯示了數(shù)學(xué)問(wèn)題在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用．下面通過(guò)對(duì)解決費(fèi)馬大定理中一些重大階段的回顧，從一個(gè)側(cè)面論述數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用．

1 無(wú)窮遞降法

盡管費(fèi)馬在那本《算術(shù)》書中從未寫過(guò)費(fèi)馬大定理的證明，但在書中別的地方隱蔽地描述了對(duì)特殊情況n＝4的證明，并且在一個(gè)完全不同的問(wèn)題的證明中采用了這個(gè)證明．這是一種特殊形式的反證法，稱之為無(wú)窮遞降法．

為了證明方程x4＋y4＝z4沒(méi)有正整數(shù)解，費(fèi)馬從假設(shè)存在一個(gè)正整數(shù)解

x＝X1,y＝Y(jié)1,z＝Z1

著手．通過(guò)研究X1,Y1,Z1的性質(zhì)，費(fèi)馬能夠證明：如果這個(gè)假定解確實(shí)存在，那么一定會(huì)存在一個(gè)更小的解X2,Y2,Z2(Z2＜Z1);然后再通過(guò)研究這個(gè)新解的性質(zhì)，又能證明存在一個(gè)還要小的解X3,Y3,Z3(Z3＜Z2),這樣一直進(jìn)行下去．于是費(fèi)馬找到了一列逐步遞減的解，理論上它們將永遠(yuǎn)繼續(xù)下去，產(chǎn)生越來(lái)越小的解，然而，x,y和z必須是正整數(shù)，因此這個(gè)永無(wú)止境的正整數(shù)解是不可能存在的，因?yàn)楸囟〞?huì)有一個(gè)最小的可能解存在．這個(gè)矛盾證明了最初的關(guān)于存在一個(gè)解X1,Y1,Z1的假設(shè)一定是錯(cuò)誤的．使用無(wú)窮遞降法，費(fèi)馬證明了n＝4時(shí)這個(gè)方程無(wú)xyz≠0的整數(shù)解．

費(fèi)馬的無(wú)窮遞降法的證明思想實(shí)際上是反證法的證明方法和最小數(shù)原理的完美結(jié)合,因此現(xiàn)代數(shù)論利用費(fèi)馬遞降法證明一個(gè)丟番圖方程沒(méi)有正整數(shù)解時(shí)，通常假設(shè)該方程存在正整數(shù)解，則由最小數(shù)原理可以假設(shè)Z0是某個(gè)變?cè)猌的所有正整數(shù)解的集合中的最小值；再利用解的性質(zhì)及數(shù)學(xué)推理方法證明可以找到該丟番圖方程的另一組正整數(shù)解，其中Z的值Z1＜Z0，與Z0的最小值的假設(shè)矛盾，從而證明了該丟番圖方程無(wú)正整數(shù)解．

隨后的100多年間，數(shù)學(xué)家們嘗試用費(fèi)馬的無(wú)窮遞降法研究除n＝4之外的情形，但均以失敗告終．

1753年，萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)引入虛數(shù)，成功運(yùn)用無(wú)窮遞降法證明了n＝3的情況，這是費(fèi)馬去世1個(gè)世紀(jì)后對(duì)費(fèi)馬大定理研究的突破性進(jìn)展．

由于證明了n＝4無(wú)正整數(shù)解，所以也就證明了n被4整除，即n＝4k（k為正整數(shù)）時(shí)，方程xn＋yn＝zn無(wú)正整數(shù)解．因?yàn)槿魓4k＋y4k＝z4k有正整數(shù)解x1,y1,z1，則x4＋y4＝z4將有正整數(shù)解x1k,y1k,z1k,這與前面的結(jié)論矛盾．利用同樣的原理，歐拉對(duì)n＝3的證明，自動(dòng)地證明了n＝3k(k為正整數(shù))的情形．特別有意義的是3為素?cái)?shù)，這使得數(shù)學(xué)家們看到，只要其他素?cái)?shù)情形費(fèi)馬定理成立，那么對(duì)n的一切值就證明了費(fèi)馬大定理成立．可惜素?cái)?shù)的無(wú)窮性使早期證明費(fèi)馬大定理的希望破滅．

2 熱爾曼素?cái)?shù)

自1753年歐拉對(duì)費(fèi)馬大定理的研究取得突破性進(jìn)展后，數(shù)學(xué)家們徒勞地試圖一一證明其他情況．事隔75年，法國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家索菲·熱爾曼(Marie-Sophie Germain)采用了一種新的策略：并不去證明一種特殊的情形，而是一次就得出適合許多情形的解答，她的方法是針對(duì)使（2p＋1）也是素?cái)?shù)的素?cái)?shù)P（稱為熱爾曼素?cái)?shù)）進(jìn)行．熱爾曼的素?cái)?shù)P包括了5，因?yàn)?1×(2×5＋1)也是素?cái)?shù)；但不包括13，因?yàn)?7×(2×13＋1)不是素?cái)?shù)．她巧妙而大致地證明了熱爾曼素?cái)?shù)方程xn＋yn＝zn不存在正整數(shù)解．

1825年，狄利克雷(Dirichlet)和勒讓德(Legendre)的工作使熱爾曼的方法獲得完滿成功，他們獨(dú)立地證明了n＝5不存在解．14年后，加里布爾·拉梅對(duì)熱爾曼的方法做了進(jìn)一步巧妙的補(bǔ)充，證明了n＝7的情形．

3 理想數(shù)的建立，分圓域理論的研究及代數(shù)數(shù)論的創(chuàng)立

此后直到1857年，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉梅(Lamé)和柯西(Cauchy)都試圖利用分圓整數(shù)理論證明費(fèi)馬大定理，但可惜的是分圓整數(shù)唯一因子分解定理不成立．德國(guó)數(shù)學(xué)家恩斯特·庫(kù)默爾（Ernst Kummer）為使唯一因子分解定理成立，從1844年開始了一系列研究．對(duì)每個(gè)奇素?cái)?shù)p，他將費(fèi)馬方程分解成

正是由于庫(kù)默爾等人的研究，1871年以后戴德金(Dedekind)推廣了高斯的復(fù)整數(shù)和庫(kù)默爾的代數(shù)數(shù)理論，由此創(chuàng)立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)理論．過(guò)去代數(shù)數(shù)論本來(lái)是研究費(fèi)馬大定理解的一種方案；而現(xiàn)在，其自身卻變成了一門新興學(xué)科．其創(chuàng)立被認(rèn)為是19世紀(jì)代數(shù)學(xué)學(xué)科的最大成就．

隨著對(duì)費(fèi)馬大定理研究的深入，數(shù)學(xué)家們清楚地認(rèn)識(shí)到：只要證明了谷山一志村猜想（即每個(gè)橢圓方程必定是模形式），那么就隱含費(fèi)馬方程無(wú)解，于是就可立即證得費(fèi)馬大定理．

英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·維爾斯奮斗了7年，終于以《模形式、橢圓曲線和伽羅畢表示》、《模曲線和費(fèi)馬大定理》和《?？舜鷶?shù)的環(huán)論性質(zhì)》等一系列成果，證明了谷山一志村猜想及費(fèi)馬大定理．至此，一個(gè)困擾了人間智者358年的謎終于被解開．

在費(fèi)馬大定理的攻克歷程中產(chǎn)生了許多新思想、新方法與新分支．這充分證明了數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有積極的推動(dòng)作用．正如希爾伯特（Hilbert）[1]401900年在世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上所言：“對(duì)費(fèi)馬大定理的研究提供了一個(gè)明顯的例子，說(shuō)明這樣一個(gè)非常特殊、似乎不十分重要的問(wèn)題會(huì)對(duì)科學(xué)產(chǎn)生怎樣令人鼓舞的影響．受費(fèi)馬問(wèn)題的啟發(fā)，庫(kù)默爾引進(jìn)了理想數(shù)，并發(fā)現(xiàn)了把分圓域的理想數(shù)分解為理想質(zhì)數(shù)的唯一分解定理，這個(gè)定理今天已被戴德金(Dedekind)和克羅內(nèi)克（Kronecker）推廣到任一代數(shù)數(shù)域，在近代數(shù)論中占有中心地位，其意義已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出數(shù)論的范圍而深入到代數(shù)和函數(shù)論的領(lǐng)域．”

數(shù)學(xué)上還有許多數(shù)學(xué)問(wèn)題與數(shù)學(xué)猜想，隨著這些問(wèn)題、猜想的解決，勢(shì)必會(huì)推動(dòng)數(shù)學(xué)更進(jìn)一步向前發(fā)展．

[1] 閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2005.

[2]西蒙·辛格.費(fèi)馬大定理——一個(gè)困惑了世間智者358年的謎[M].上海:上海譯文出版社,2005.

The Role of Mathematic Problems in the Development of Mathematics from the Solution of the Fermat’s Last Theorem

LIU Xingdong

(School of Mathematics and Information Sciences,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

From reviewing the solution of Fermat's last theorem,how the mathematical problems promote the improvement of mathematical from the other side is mainly discussed.

Fermat’s last theorem;math problems;math development

G655

A

1009－8445（2011）02－0015－03

（責(zé)任編輯：陳 靜）

2011－02－14

廣東省高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（BKYBJG20060278）

劉幸東(1960－),女,河北邢臺(tái)人,肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院副教授．