王金敏， 王 皚,

（1. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津 300222；2. 北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京 100176）

橢圓封頭偏交橢圓管的展開

王金敏1， 王 皚1,2

（1. 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)，天津 300222；2. 北京電子科技職業(yè)學(xué)院，北京 100176）

運(yùn)用數(shù)學(xué)分析及投影理論的方法，建立了橢圓封頭偏交橢圓管的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了橢圓封頭偏交橢圓管的展開方程，據(jù)此設(shè)計(jì)了橢圓接管展開圖的通用程序。最后，給出了應(yīng)用實(shí)例，證明該方法簡單、直接，易于理解與操作，便于工程實(shí)際應(yīng)用。

計(jì)算機(jī)應(yīng)用；展開；投影理論；封頭；橢圓管；偏交

橢圓封頭由于受力較好，加工較易，因此被廣泛應(yīng)用于化工、輕工、石油及制藥等行業(yè)的中低壓容器。在橢圓封頭設(shè)備制造中經(jīng)常遇到橢圓封頭接管問題[1-2]。正確地對(duì)橢圓封頭接管進(jìn)行展開放樣是制作的第一道工序，如何迅速、正確地進(jìn)行展開計(jì)算和繪制展開圖是提高加工質(zhì)量和勞動(dòng)生產(chǎn)率的關(guān)鍵，同時(shí)也是后續(xù)排樣下料工藝的基礎(chǔ)[3]。它的正確與否對(duì)橢圓封頭的精確程度和質(zhì)量起著重要作用[4]。在制作時(shí)，進(jìn)行放大樣的工作比較復(fù)雜而且不易搞準(zhǔn)，尤其是橢圓封頭上開的接管孔更不易畫準(zhǔn)，這時(shí)常給生產(chǎn)帶來麻煩，并加大了工人的工作量，進(jìn)而影響設(shè)備的質(zhì)量。本文通過數(shù)學(xué)建模求出橢圓封頭偏交橢圓接管展開公式，設(shè)計(jì)了橢圓封頭偏交橢圓接管展開下料的通用程序，以達(dá)到自動(dòng)展開放樣的目的。

1 幾何模型與展開原理

1.1 橢圓封頭幾何形狀

橢圓封頭是由半個(gè)橢圓殼和一段直邊圓筒組成的。殼體是被兩個(gè)曲面所限定的物體，等分殼體各點(diǎn)厚度的曲面稱為殼體的中面，中面是回轉(zhuǎn)曲面的殼體稱為回轉(zhuǎn)殼體?；剞D(zhuǎn)曲面則是一條平面曲線繞同平面的一根軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，并稱這條曲線為該回轉(zhuǎn)曲面的母線。回轉(zhuǎn)殼體尤其是回轉(zhuǎn)薄殼的幾何形狀通常根據(jù)中面母線來描述。因此，本文用橢圓封頭的中面母線來表示橢圓封頭幾何形狀，并只對(duì)其橢圓部分進(jìn)行研究。

如圖1所示，在O-XYZ坐標(biāo)系中，橢圓封頭方程為

1.2 橢圓接管

橢圓封頭的軸線與橢圓接管軸線的偏置距離，各軸線夾角如圖1（投影圖）所示。

如圖1所示，在O1-X1Y1Z1坐標(biāo)系中，橢圓接管方程為

圖1 橢圓封頭偏交橢圓管

1.3 展開原理

橢圓接管的展開是將其底面分成無窮小的線段，每段線段和相鄰兩根素線以及相貫線段組成一個(gè)四邊形，求得這個(gè)四邊形各邊邊長，就可展開此四邊形，這樣逐一展開所有四邊形即為橢圓接管的展開圖。

可利用“輔助平面法”求得素線長度[5]，即假想用平行的平面分別與橢圓封頭和橢圓接管相交；平面與橢圓封頭的交線為橢圓，平面與橢圓接管的交線為直線段。然后，求出橢圓與直線段的交點(diǎn)。交點(diǎn)到橢圓接管頂面的距離即為所求素線的長度。

2 展開推導(dǎo)

2.1 假想平面

為便于計(jì)算，將橢圓接管方程化為參數(shù)形式

根據(jù)圖1所示，可得假想平面在O-XYZ坐標(biāo)系中方程為

2.2 平面與橢圓封頭交線

根據(jù)圖1所示，將式(3)代入式(1)得交線在坐標(biāo)面O-XZ上的投影方程

2.3 平面與橢圓接管交線

根據(jù)圖1所示, 平面與橢圓接管交線在坐標(biāo)面O-XZ上的投影方程為

2.4 素線長度

聯(lián)立式(4)、式(6)求出橢圓與直線段的交點(diǎn)P1在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x1, -f, z1)。

令點(diǎn)P1在O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(xp, - f, zp),則有

2.5 展開曲線

為得到橢圓接管的展開曲線，現(xiàn)將其頂面的橢圓分成N份，每份對(duì)應(yīng)的夾角為3600/N。橢圓接管頂面橢圓的展開線為一直線段，為便于繪出展開曲線，以點(diǎn)O為原點(diǎn)、水平方向?yàn)閤軸建立坐標(biāo)系oxy，橢圓接管頂面橢圓的展開線與x軸重合。則在橢圓展開線上有N個(gè)點(diǎn)與N份對(duì)應(yīng)，第i點(diǎn)的坐標(biāo)為

第i點(diǎn)所對(duì)應(yīng)素線的長度可用式（7）求出。求出N個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)系oxy中的坐標(biāo)后，再在相應(yīng)的素線上去定點(diǎn)，然后依次把這些點(diǎn)連起來，便得到了橢圓接管的展開圖。

3 實(shí) 例

當(dāng)給出有關(guān)參數(shù)a、b、1a、1b、1e、2e、h、θ和φ后，再給出被展開部分所分的份數(shù)N，則可以由上面所建立的數(shù)學(xué)模型編寫繪圖程序，由計(jì)算機(jī)循環(huán)計(jì)算展開圖各點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出展開圖。

圖2 是用計(jì)算機(jī)繪制的展開圖例，圖中各參數(shù)為：a=100、b=80、1a=20、1b=12、1e=0、e2=0、h=85、θ=90o, φ=0o。

圖2 圖例1

圖3是用計(jì)算機(jī)繪制的展開圖例，圖中各參數(shù)為：a=100、b=80、 a1=20、 b1=12、 e1=10、e2=20、h=85、θ=30o, φ=30o。

圖3 圖例2

圖4是用計(jì)算機(jī)繪制的展開圖例，圖中各參數(shù)為：a=100、b=80、 a1=20、 b1=12、 e1=10、e2=20、h=85、θ=30o, φ=0o。

圖4 圖例3

4 結(jié) 論

橢圓封頭偏交橢圓管的展開是生產(chǎn)實(shí)際中常見的問題。本文采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)法比人工展開法更合理、準(zhǔn)確、快捷，不但可減少制造的困難，也使得制件表面平滑光順。由于建立了展開的數(shù)學(xué)模型，因此便于用計(jì)算機(jī)迅速準(zhǔn)確地繪制展開圖。

由于圓柱面是橢圓柱面的特例，球面是橢圓面的特例，因此也可用本文所提供的方法進(jìn)行展開圖的繪制。

[1]林大鈞, 展益彬, 郭 慧. 近似展開方法對(duì)橢圓形封頭強(qiáng)度影響的研究[J]. 東華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2006, 32(4)：18-20.

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[3]楊玉杰. 鈑金展開 200例[M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2004. 1-3

[4]高炳軍, 王洪海. 橢圓封頭幾何形狀討論及展開面積計(jì)算[J]. 石油化工設(shè)備, 1999, 28(5)：25-28.

[5]徐宏文, 陳東祥, 王金敏. 畫法解析幾何[M]. 天津：天津大學(xué)出版社, 1993. 116-118.

The Development of Elliptic Pipe on Ellipsoidal Head

WANG Jin-min1, WANG Ai1,2
( 1. Tianjin University of Technology and Education, Tianjin 300222, China;2. Beijing Vocational College of Electronic Science, Beijing 100176, China )

Using the method of mathematical analysis and geometrical theory, the paper introduces the mathematical models about ellipsoidal head and elliptic pipe. The developed equation of the elliptic pipe on ellipsoidal head is derived, and general program for development of elliptic pipe is given. Finally, some examples are given to indicate that the method is simple and convenient in practical use.

computer application; development; geometrical theory; ellipsoidal head; elliptic pipe; intersection

TB 21

A

1003-0158(2011)05-0016-04

2009-11-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60975046）

王金敏（1963-），男，河南舞陽人，教授，博士，主要研究方向?yàn)橹悄懿季?、?jì)算機(jī)圖形學(xué)。