王 剛, 朱思念, 鄭 婷

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221008)

有解 x(t)滿足條件 (2)的充要條件是

事實(shí)上,若解 x(t)滿足條件 (2),則從式 (5)有

根據(jù)條件 (C1),得到 Q1y=Q2y=0。另一方面,如果式 (6)成立,令

其中,a、b是任意常數(shù),則易知 x(t)是方程 (5)且滿足式 (2)的解,從而式 (4)成立。

一類共振條件下三階多點(diǎn)邊值問題解的存在性

王 剛, 朱思念, 鄭 婷

(中國礦業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 徐州 221008)

利用Mawhin的連續(xù)性定理及迭合度理論研究多點(diǎn)邊值問題,討論三階非線性微分方程多點(diǎn)邊值問題共振時(shí)解的存在性,獲得解存在的充分條件,推廣了現(xiàn)有的結(jié)果。

非線性微分方程;多點(diǎn)邊值問題;迭合度

Abstract:This paper discusses the existence of solutions ofmulti-point boundary value problems for third-order nonlinear differetial equation at resonance by usingMawhin’s continuous theorem and coincidence degree theory and features the sufficient conditions for the boundary value problems,generalizing known results.

Key words:nonlinear differential equation;multi-point boundary value problem;coincidence degree

0 引 言

共振條件下邊值問題因其在眾多領(lǐng)域中的大量應(yīng)用而受到了人們的廣泛關(guān)注,取得了豐富的研究成果[1-9]。比如在工程學(xué)中,微分方程在共振條件下的邊值問題常常被用來刻畫梁在不同支撐條件下的靜態(tài)形變。文獻(xiàn)[1]討論了幾類二階多點(diǎn)共振邊值問題的可解性。多點(diǎn)邊值問題是非局部邊值問題的一種特殊情況,越來越多的人運(yùn)用Mawhin連續(xù)性定理來研究多點(diǎn)邊值問題,如文獻(xiàn) [2]研究的共振邊值問題,其核是一維的。受此啟發(fā),筆者主要考慮非局部邊值問題其中,f∈C[0,1]×R3是連續(xù)的,e(t)∈L1[0,1],0<ξ1<ξ2<… <ξm-2<1,0<η1<η2<… <ηm-2<1,αj∈R,βj≥0,在共振條件下解的存在性問題 (其核是二維的),通過應(yīng)用迭合度基本知識及理論[9]建立該問題解的存在性的充分條件。

1 預(yù)備知識

定理 1[3](Mawhin連續(xù)性定理) 設(shè)Ω?Y是一個(gè)有界開集,L是一個(gè)指標(biāo)為零的 Fredho lm算子,N是 L-緊的,如果下面條件成立:

2 主要結(jié)果

引理 1假設(shè) (C1)、(C2)成立,則 L:domL?Y→Z是一個(gè)指標(biāo)為零的 Fredho lm算子,投影算子Q:Z→Z可以被定義為

有解 x(t)滿足條件 (2)的充要條件是

事實(shí)上,若解 x(t)滿足條件 (2),則從式 (5)有

根據(jù)條件 (C1),得到 Q1y=Q2y=0。另一方面,如果式 (6)成立,令

其中,a、b是任意常數(shù),則易知 x(t)是方程 (5)且滿足式 (2)的解,從而式 (4)成立。

[1] L IU B ING.Solvability of multi-point boundary value problem at resonance( IV)[J].Appl Math Comput,2003,143(2/3):275-299.

[2] DU ZENGJI,L IN X IAOJIE,GE WEIGAO.On a third-order multi-point boundary value problem at resonance[J].J Math A-nalAppl,2005,302(1):217-229.

[3] 葛渭高.非線性常微分方程邊值問題[M].北京:科學(xué)出版社,2007:68-226.

[4] L IU B ING,ZHAO ZH ILI ANG.A note onmulti-point boundary value problems[J].NonlinearAnal,2007,67(9):2 680-2 689.

[5] L IU B ING.Periodic solutions of a nonlinear second-order differential equationwith deviating argument[J].MathAnalAppl,2005,309(1):313-321.

[6] BAIZHANB ING,GEWEIGAO,LIWEIGUO.Existence and multiplicity of solutions for four-point boundary value problems at resonance[J].NonlinearAnal,2005,60(6):1 151-1 162.

[7] KOS MATOV N.A multi-point boundary value problem with two critical conditions[J].NonlinearAnal,2006,65(3):622-633.

[8] L IU B ING.Solvability of multi-point boundary value problem at resonance(II)[J].Appl Math Comput,2003,136(2/3):353-377.

[9] 劉丙鐲,車曉飛,陳春香.一類三階微分方程非局部邊值問題的可解性[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào),2010,20(3):237-242.

(編輯 晁曉筠)

Existence of solutions for third-ordermulti-point boundary value problem s at resonance

WANG Gang, ZHU Sinian, ZHENG Ting
(College of Sciences,China University ofMining&Technology,Xuzhou 221008,China)

O175.8

A

1671-0118(2011)01-0081-04

2010-12-19

王 剛 (1985-),男,安徽省安慶人,碩士,研究方向:微分方程,E-mail:wangg0824@163.com。