鄒 翔 鐘子發(fā) 張 旻

(電子工程學(xué)院 合肥 230037)

(安徽省電子制約技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 合肥 230037)

1 引言

波束形成是陣列信號處理中廣泛應(yīng)用的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，如雷達(dá)、聲納、MIMO無線通信、醫(yī)療成像、麥克風(fēng)語音處理等領(lǐng)域。傳統(tǒng)的自適應(yīng)波束形成方法假定期望信號(Signal Of Interest,SOI)的導(dǎo)向矢量是精確已知的，然而，實(shí)際應(yīng)用中導(dǎo)向矢量失配誤差會引起波束形成性能急劇下降，近年來涌現(xiàn)了幾種穩(wěn)健的波束形成方法來解決這種失配問題[1-5]。Li等人[1,2]對導(dǎo)向矢量的不確定集進(jìn)行建模，通過對角加載(Diagonal Loading,DL)的方法，相當(dāng)于對輸出矢量增添了2-范數(shù)懲罰項(xiàng)，獲得與該不確定集參數(shù)有關(guān)的穩(wěn)健自適應(yīng)算法。Vorobyov等人[3,4]分別提出了基于最壞情況性能最優(yōu)(Worst Case)和基于概率約束的方法，其中最壞情況性能最優(yōu)最終也可以轉(zhuǎn)化為對角加載方法[3,6]。由于對角加載方法具有簡單有效的優(yōu)點(diǎn)，許多研究者對其進(jìn)行了深入的研究[7-10]。

標(biāo)準(zhǔn)對角加載方法在加載電平合適時能有效地提高導(dǎo)向矢量不確定時波束形成器的穩(wěn)健性，其對應(yīng)的先驗(yàn)分布是高斯的，范數(shù)p=2。然而，由于實(shí)際應(yīng)用中不確定性誤差不僅來自于導(dǎo)向矢量，還來自于采樣方差矩陣估計(jì)，而后者和快拍數(shù)、信噪比、干噪比、干擾個數(shù)以及信號與干擾的來波方位都有關(guān)系，這種不確定性非常難以建模，從而造成波束形成器整體性能的下降。為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向矢量誤差和樣本方差矩陣誤差的總體最優(yōu)修正，通過對穩(wěn)健波束形成的優(yōu)化問題進(jìn)行分析，本文提出了一種基于p范數(shù)的對角加載方法，p∈(1,2)，用來對整個不確定性進(jìn)行綜合考慮，我們稱之為超高斯加載的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成(Super-Gaussian Loading,SGL)，文中采用遺傳算法(Genetic Algorithm,GA)得到最優(yōu)的p值。SGL方法把復(fù)雜的模型估計(jì)問題利用非整范數(shù)轉(zhuǎn)化為相對描述簡單的超高斯加載問題，避免了建模帶來的估計(jì)誤差，文中對p范數(shù)優(yōu)化問題給出了基于凸優(yōu)化的解決方案。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，當(dāng)使用范數(shù)p∈(1,2)時，SGL都比DL方法有更高的輸出信干噪比；而使用最優(yōu)的p時，可以獲得最優(yōu)的性能提高，穩(wěn)健性更強(qiáng)。

2 超高斯加載的自適應(yīng)波束形成

假設(shè)M陣元均勻線陣，接收L個窄帶信號，則在時刻t陣列接收到的信號為

其中xs(t),xi(t),n(t)分別是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的期望信號、干擾和噪聲。這里xs(t)=,s0(t)是期望信號波形，a0=a(θ0)是期望信號的實(shí)際導(dǎo)向矢量。

自適應(yīng)波束形成器的輸出

其中w=[w1,…,wM]T∈CM是波束形成權(quán)值復(fù)向量，(?)T和(?)H分別代表矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

樣本數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣為

這里,分別是期望信號和第i個干擾的功率。

基于輸出功率最小準(zhǔn)則，則自適應(yīng)波束形成可以寫成以下優(yōu)化問題：

最優(yōu)解是

這里Rin是干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，由于在實(shí)際處理中無法得到Rin，通常用Rx的估計(jì)值來代替，即在時間上多次快拍采樣對X(i)XH(i)求平均來完成，N為快拍數(shù)，令Rx的估計(jì)值為

樣本矩陣直接求逆方法(Sample Matrix Inversion,SMI)給出的解為

在很多情況下，無法精確得到期望信號的方向，或者期望信號的DOA在一定方位內(nèi)緩慢移動，這種情況下，來波估計(jì)會存在一定的估計(jì)誤差，從而導(dǎo)致波束形成器性能的下降。這就需要穩(wěn)健的自適應(yīng)波束形成算法來提高其魯棒性，尤其當(dāng)Δθ=|-θ0|處于的較小鄰域內(nèi)，是期望信號DOA的估計(jì)值。對角加載方法是解決此類問題的有效手段之一，其優(yōu)化問題描述和解分別為

比較式(4)和式(8)就可以看出，對角加載方法不但使用代替a0，還使用代替Rx，所以對樣本方差矩陣的估計(jì)誤差不能夠忽略。觀察式(8)發(fā)現(xiàn)，如果使用?2范數(shù)“懲罰”w，來修正導(dǎo)向矢量的不確定性(對應(yīng)線性相乘wH，見式(4))，那么就會“過于懲罰”的不確定性(對應(yīng)二次方相乘wH)，由此可見使用2-范數(shù)可能不是最優(yōu)的?？紤]到整個波束形成器的不確定性，我們將其轉(zhuǎn)化為p-范數(shù)懲罰將更為合理。

其中p-范數(shù)表示為

這里wi是w的第i個元素，γp是加載電平。

2.1 廣義高斯分布

廣義高斯分布的概率密度函數(shù)f(w)如下所示：

其中

這里Γ(?)代表Gamma函數(shù)，Γ(z)=。參數(shù)u,σ,β,p分別稱為廣義高斯分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)方差，尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，尺度參數(shù)β是方差控制參數(shù)。本文情況μ=0,γp=1/βp。當(dāng)p=2時，就是標(biāo)準(zhǔn)對角加載特例，其先驗(yàn)分布就是高斯分布。當(dāng)1≤p＜2，其先驗(yàn)分布就是超高斯的。當(dāng)p變化時，γp也會跟著變化從而使得前后方差一致。例如，如果標(biāo)準(zhǔn)對角加載的加載電平為γ2，那么當(dāng)使用?p范數(shù)時其加載電平則變化為

2.2 算法求解

盡管式(10)不能夠通過推導(dǎo)來求得w的顯式解，但是我們可以借鑒最差性能最優(yōu)算法[3]利用凸優(yōu)化來求解。根據(jù)凸優(yōu)化理論，任何p＞1的范數(shù)都是凸函數(shù)，所以式(10a)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于w的凸函數(shù)。所以此優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃的形式[11]，使用內(nèi)點(diǎn)法可以高效地求解權(quán)值w[12,13]。

2.3 最優(yōu)p的確定

任意給定p，由利用2.2節(jié)方法從式(10)可以得到w，即w是p的一個函數(shù)。輸出信干噪比(Signal to Noise-plus-Interference,SINR)是衡量數(shù)字波束形成算法的最重要指標(biāo)之一。于是定義p為

然而，實(shí)際上為我們只能得到，無法得到，它們是未知的。但通過特征分解，得到

可以看出，變成了信號和干擾的方差矩陣的近似，而僅代表噪聲自相關(guān)矩陣的近似。由于輸出權(quán)值用來零陷干擾，w(p)在干擾子空間上的投影是很小的，所以這種置換是合理的。

遺傳算法是一種基于自然遺傳演化機(jī)制的高效搜索算法，由遺傳算法理論得知，當(dāng)選定初始種群以后，把式(17)作為適應(yīng)度函數(shù)，經(jīng)過若干代的進(jìn)化淘汰，最后的種群應(yīng)該是最優(yōu)的p值群。本文設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)采用遺傳算法求取最優(yōu)p的精確解。仿真實(shí)驗(yàn)中假設(shè)陣列為半波長均勻線陣，所加噪聲為零均值的高斯白噪聲，假設(shè)期望信號的方向角為0°,3個干擾，其中實(shí)驗(yàn)結(jié)果來自100次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

具體求解p遺傳算法包括以下5個步驟：

(1)初始化種群。選取P{p|1.000＜p≤5.000}，即在(1.0,5.0]區(qū)間隨機(jī)產(chǎn)生40個個體，每個p精確到小數(shù)點(diǎn)三位。

(2)編碼。用一個整數(shù)排列表示。設(shè)任意

其中sj∈{0,1}。由于12位可以表示0～212-1之間的數(shù)，例如1.500=(010111011100)2/1000這樣，每個個體都被表示成一個12位整數(shù)列的形式。

(3)適應(yīng)度評價(jià)。令

作為適應(yīng)度函數(shù)，φ值越大，適應(yīng)度越高。

(4)遺傳操作。個體的遺傳操作主要包括交叉、變異和選擇。交叉采用隨機(jī)單點(diǎn)交叉的方式，交叉概率pc取0.6＜pc＜0.8。變異方式為單點(diǎn)變異，變異概率pm取0.001＜pm＜0.01。對個體選擇采用常用的輪盤賭的方法，由于選擇、交叉、變異等操作的隨機(jī)性，可能會破壞當(dāng)前群體中最好的個體，所以采用最優(yōu)保留策略確保最好的個體始終遺傳到下一代。

最后一代輸出的分布示意圖如圖1所示，其算術(shù)平均值為1.255。

2.4 范數(shù)p的泛化性

上節(jié)中獲得的最優(yōu)p是在固定參數(shù)情況下得到的，在實(shí)際情況下，參數(shù)如、信噪比(SNR)和干噪比(INR)是變化的(實(shí)際應(yīng)用中陣元數(shù)基本不變)，從而導(dǎo)致最優(yōu)的p有一定的波動范圍，但是通過分析式(10)得知，,都是因?yàn)樽兓兓?/p>

于是我們定義導(dǎo)向矢量失配誤差

則ε是角度的函數(shù)，也就是說，ε是影響最優(yōu)p的主要因素。如果在不同的誤差情況下遺傳算法給出的最優(yōu)p≈1.255都有很好的性能，則說明p=1.255具有很好的泛化性，是比較理想的選擇。

當(dāng)固定陣元數(shù)M=10,SNR=INR=10dB時，輸出信干噪比在不同誤差ε情況下與p的關(guān)系如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)，隨著角度誤差的增大，SINR的峰值在減小，但是無論誤差大小如何，最大的SINR總出現(xiàn)在p≈1.255處。另外，通過變化信噪比和干噪比，也發(fā)現(xiàn)p在1.255附近一直有著最好的性能，說明p=1.255具有很強(qiáng)的穩(wěn)健性，驗(yàn)證了遺傳算法求解的正確性。由此可以判定，當(dāng)使用對角加載方法時，最優(yōu)的懲罰項(xiàng)不應(yīng)該是2-范數(shù)的，而應(yīng)該是p-范數(shù)的，p≈1.255。當(dāng)使用這一范數(shù)時，總會獲得比2-范數(shù)更好的輸出信干噪比。

圖1 最后種群的p值分布圖

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證算法的有效性，仿真實(shí)驗(yàn)比較了SGL和DL算法在不同加載電平，不同快拍數(shù)、不同信噪比和不同導(dǎo)向矢量誤差下的性能。假設(shè)陣列為半波長均勻線陣，所加噪聲為零均值的高斯白噪聲。假設(shè)3個干擾分別從30°,70°和-30°入射，期望信號的方向角為0°，實(shí)驗(yàn)結(jié)果來自100次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)1實(shí)驗(yàn)1仿真SGL和DL兩種方法在不同加載電平下的輸出信干噪比SINR。此時固定SGL范數(shù)p=1.255，快拍數(shù)K=200，陣元數(shù)M=10，SNR=-5dB,INR=30dB，圖3分別給出了不同觀測誤差下的性能比較圖，可以看出盡管輸出SINR隨著加載電平的增大有一定的波動，但在所有的加載電平下SGL比DL有更好的輸出信干噪比，高出3dB左右。

圖2 輸出SINR與范數(shù)p的關(guān)系曲線

實(shí)驗(yàn)2下面兩個實(shí)驗(yàn)固定DL算法中的加載電平為10，相應(yīng)地，SGL中的加載電平根據(jù)式(14)得到，這出于幾種原因：一是目前還沒有根據(jù)和觀測角度就能確定加載電平的標(biāo)準(zhǔn)方法；二是從實(shí)驗(yàn)1可以知道，加載電平在較大的范圍內(nèi)波動卻可以產(chǎn)生近似的SINR。為簡便起見，本實(shí)驗(yàn)固定SNR=0 dB，其余條件同實(shí)驗(yàn)1。仿真幾種算法在不同快拍數(shù)下輸出信干噪比。如圖4所示，從圖4(a)-4(c)觀測誤差依次增大，可以發(fā)現(xiàn)，無論觀測誤差大小如何，在相同的快拍數(shù)條件下，SGL比DL方法的輸出信干噪比高出2 dB左右。

實(shí)驗(yàn)3實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn)1，仿真輸出SINR與角度失配誤差Δθ的關(guān)系。如圖5，從圖中可以看出，隨著信號方向失配的變化，輸出SINR也跟著變化，當(dāng)失配的角度誤差在[-3°,3°]時，SGL有較高的輸出SINR。而且在仿真實(shí)驗(yàn)中，SGL方向圖也準(zhǔn)確指向了實(shí)際的信號方向。因此，SGL波束形成算法在信號失配情況下具有良好的穩(wěn)健性。

圖3 輸出SINR與加載電平的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)4仿真幾種算法在不同輸入SNR情況下輸出 SINR的大小，這也是衡量波束形成算法性能好壞最常用的評價(jià)方法。從圖6(a)-6(c)角度觀測誤差Δθ依次為0.5°,1.5°,3.5°，其余實(shí)驗(yàn)條件同實(shí)驗(yàn) 1?？梢园l(fā)現(xiàn)在角度誤差Δθ較小時(小于2°)，SGL比Worst Case有更好或相當(dāng)?shù)男阅埽钱?dāng)觀測誤差Δθ較大時(大于3°),Worst Case在高信噪比區(qū)域比SGL方法稍好，實(shí)驗(yàn)3的結(jié)果也從側(cè)面驗(yàn)證了這一點(diǎn)。幾乎在任何信噪比區(qū)域，超高斯加載方法都有比對角加載方法更為優(yōu)越或相當(dāng)?shù)男阅?，這是因?yàn)镾GL利用非整范數(shù)，對導(dǎo)向矢量和樣本方差矩陣的失配進(jìn)行了綜合考慮和折中，在穩(wěn)健性和自適應(yīng)性之間找到了平衡，從而達(dá)到總體性能的最優(yōu)。

圖4 輸出SINR與快拍數(shù)的關(guān)系

圖5 輸出SINR與角度估計(jì)誤差Δθ的關(guān)系

4 結(jié)論

本文提出了一種超高斯加載的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法，其中使用的最優(yōu)范數(shù)p1 .255，用來實(shí)現(xiàn)對角度估計(jì)誤差和協(xié)方差矩陣誤差的總體最優(yōu)修正。文中對p范數(shù)優(yōu)化問題給出了基于凸優(yōu)化的解決方案，設(shè)計(jì)的一系列實(shí)驗(yàn)顯示，提出的算法有更高的輸出信干噪比，提高了穩(wěn)健性和性能優(yōu)勢。在角度誤差和加載量相同的情況下，比對角加載方法有更好的性能；在失配量較小時，穩(wěn)健性也稍優(yōu)于最差情況性能最優(yōu)算法。

圖6 幾種算法的輸出SINR比較

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