王金濤，余文力，王 濤，羅永鋒，王少龍

（1.第二炮兵工程大學，陜西 西安 710025；2.第二炮兵裝備研究院二所，北京 100085）

SPH算法是一種無網格的自由Lagrange方法，在求解空間導數時無需使用任何網格單元，通過一個稱為“核函數”的積分核進行“核函數估值”近似將流體動力學方程轉換成數值計算的SPH方程。在模擬物體大變形時，可以避免傳統(tǒng)Lagrange方法產生的網格扭曲和無物理意義的侵蝕算法對網格的刪除，同時也克服了Euler方法難以清晰跟蹤物質變形和不能識別材料界面位形的缺點。SPH算法在結構動力學應用方面得到了快速的發(fā)展，L.D.Libersky等［1］將材料強度效應引入SPH算法，并成功應用于高速碰撞數值模擬領域；G.R.Johnson等［2］和J.Campbell等［3］分別將SPH算法應用于侵徹貫穿問題的研究。A.N.Parshikov［4］基于黎曼解的思想來描述粒子之間的相互作用，改進了界面的計算精度。

本文中基于Autodyn顯式有限元分析軟件，應用SPH算法，對長桿彈斜侵徹多層金屬間隔靶板進行了數值模擬，得到了侵徹過程的物理圖像，數值模擬與實驗現象吻合較好。

1 SPH算法的基本理論

SPH算法的核心是一種插值算法。設任意宏觀變量（如密度、壓力、溫度等）在空間中某一點r處的場f（r），通常稱〈f（r）〉為f（r）的一個核估計，〈f（r）〉可以通過函數f（r）在一組無序點上的值表示成積分插值并計算得到

核函數W 的意義在于圍繞場f（r）產生一個光滑器或過濾器的作用，將其中的局部統(tǒng)計漲落都過濾掉，從而產生一個場f（r）的估計。

設函數f（r）在粒子j上的值為fj，則式（1）可以改寫成粒子求和的形式

式中：N為求解區(qū)域內的粒子總數，mj、fj、ρj分別為位于空間點rj處粒子j的質量、待求參數和密度。同樣，函數f（r）在粒子i上一階導數的核估計為

核函數的形式有很多種，例如，采用B樣條函數作為核函數

在全應力張量空間中，連續(xù)介質力學中質點的運動方程以及粒子的質量、動量、能量守恒方程用SPH插值公式可表示為

式（5～8）中：vα、vβ為粒子速度矢量分量，α、β表示空間坐標軸方向。

2 數值模擬

2.1 材料模型

高速碰撞過程是一個極為復雜的瞬態(tài)物理過程。對高速碰撞現象的描述涉及連續(xù)介質力學的多個方面，需要綜合考慮如濺射等多種復雜的物理現象，對于數值模擬來說，材料模型的選取和材料參數的設定是有效完成數值模擬的重要環(huán)節(jié)。

高速碰撞過程中材料的應變率可達105s－1甚至更高，在這樣高應變率條件下，材料的動態(tài)力學性能通常會發(fā)生巨大的變化。Johnson－Cook模型能夠在較大的應變率范圍內較好地描述材料的本構關系，它定義屈服應力為

式中：εp為等效塑性應變?yōu)橐?guī)范等效塑性應變率，T＊＝（T－Tr）／（Tm－Tr），Tr為室溫，Tm為熔化溫度。參數A、B、C、n、m根據材料動力學實驗得到。

為了描述材料在高壓下的流動壓力與密度、內能等的關系，選用Mie－Grüneisen狀態(tài)方程

式中：pr（υ）和er（υ）分別為參考壓力和參考內能，υ為比體積，Γ （υ）為 Grüneisen 系數。

長桿彈與3層靶板的材料分別采用鎢合金、603裝甲鋼、45鋼及LY12鋁，相關力學性能參數如表1所示，其中ρ為材料密度，E為材料的楊氏模量，γ為材料的剪切模量，σy為材料屈服極限，ν為泊松比。

表1 材料的力學性能Table1 Mechanical properties of materials

2.2 有限元模型

設計2種長徑比均為10的長桿彈。彈種1，質量為200g，直徑為12mm，長為120mm；彈種2，質量為400g，彈直徑為16mm，長為160mm。第1層靶板厚45mm，第2層靶板厚14mm，第3層靶板厚2mm，第1、2層靶間隔2.7m，第2、3層靶間隔1.5m。2種長桿彈的初始條件相同，彈著角均為60°，初始速度均分別為1000、1500m／s。對應4種工況，進行實彈打靶實驗。

對長桿彈和第1層靶板采用SPH算法建模，第2、3層靶板使用Lagrange有限元網格，以降低計算時間。長桿彈與第1層靶板的SPH模型如圖1（a）所示。第2、3層靶板如圖1（b）所示。

圖1 有限元模型Fig.1 Finite elements model

3 結果分析

利用Autodyn軟件分別對4種工況進行仿真，以400g長桿彈、1500m／s初速的工況為例，數值模擬結果如圖2所示。長桿彈貫穿第1層靶板后，殘余彈體與大量高能破片對第2層靶板造成貫穿打擊，形成5個貫穿孔洞及大量小彈坑。貫穿第2層靶板后，彈體已完全破碎，但仍然有相當數量的高動能破片，且破片散布范圍更大，在第3層靶板上形成大量大小不等的孔洞。

下面主要以初速度為1500m／s的400g長桿彈為例，對整個侵徹過程進行詳細分析。

圖2 長桿彈侵徹3層靶板Fig.2 The three targets impacted by projectile

3.1 彈體對第1層靶板的侵徹

400g長桿彈以1500m／s初速度斜侵徹第1層靶時，鎢合金彈頭在侵徹初期碰撞速度最大，相應的碰擊應力也最大，遠遠超過了彈體和靶體的動態(tài)強度。鎢合金表現出良好的塑性流動特性，彈體頭部材料主要以反向塑性流動而發(fā)生損耗，不斷向抗力最小的方向飛濺排除，形成動態(tài)穩(wěn)定的侵徹頭部形狀。與此同時，靶板表面的彈坑不斷擴大，在靶內建立起相對穩(wěn)定的高壓、高應變和高應變率狀態(tài)，形成有利于侵徹正常進行的條件，如圖3（a）所示。此時，由于在彈體和靶板內各存在沖擊波向遠離接觸面的方向傳播，在彈體和靶板內分別形成塑性和彈性等2個響應區(qū)。在很短的時間內，彈體與靶體接觸部分發(fā)生劇烈的破壞、變形，加之兩者之間強烈的相互摩擦，把彈體的一部分動能迅速轉換為熱能，碎片被加熱到熾熱的程度飛濺出去，從而在彈、靶接觸初期看到一片“火光”，如圖3（b）所示。

圖3 彈體侵徹第1層靶板初期Fig.3 Beginning period of the first target impacted by projectile

圖4 彈體侵徹第1層靶板中后期Fig.4 Medium and late period of the first target impacted by projectile

圖5 靶板正面與背面的彈孔Fig.5 The front and back holes

在開坑階段結束時轉而進入相對穩(wěn)定侵徹階段。彈、靶材料繼續(xù)破壞、飛濺。隨著彈體長度不斷縮短，彈坑也不斷擴大，出現新的接觸面，彈體不斷碰撞彈坑的新表面，使彈坑不斷加深。

在斜侵徹過程中，由于彈體頭部受到的抗力方向并不均勻，大部分破碎的彈體和靶板碎片向著抗力最小的方向飛濺出彈坑。在高速碰撞中，彈體的跳飛趨勢并不明顯，彈坑沒有呈現明顯的下凹形狀，數值模擬和實驗觀察都體現了這一點，如圖4（a）所示。隨著侵徹的不斷深入，當侵徹深度超過靶厚的1／2后，彈體和靶板的碎片都不容易順利排出，碎片擠在彈體頭部周圍使得侵徹孔洞不斷擴大，同時在靶板背表面形成鼓包，并出現裂紋。

在侵徹的最后階段，由于靶板背表面鼓包的增大和裂紋的持續(xù)發(fā)展，彈體受到的抗力迅速下降，鼓包的薄弱處在剪切力作用下發(fā)生斷裂，出現沖塞塊和大量破片，伴隨著殘余

彈體穿孔噴出，侵徹過程結束，如圖4（b）所示。所形成的實際彈孔形狀如圖5所示。

4種工況下長桿彈貫穿第1層靶板后形成的彈孔尺寸如表2所示?？梢钥闯觯嬎阒蹬c實際尺寸吻合得較好。

3.2 殘余彈體對第2、3層靶的侵徹

殘余彈體對第2層靶板的侵徹作用是考核長桿彈殺傷效能的重要指標，彈體貫穿第1層靶板后，殘余彈體和破片對第2、3層靶板仍具有較強的侵徹能力。以殘余彈體為例，即使對于1g的破片，穿過第1層靶板后，破片的剩余速度為1 334.6m／s，剩余動能為890J，如圖6所示，遠遠大于對人員的殺傷標準78J［9］，整個彈體的總動能在貫穿第1層靶板后仍保持在200kJ的數量級（計算時采用1／2模型）。第3層靶板上的彈孔數量更多，如圖7所示，說明了長桿彈的破碎更為嚴重，因此數值仿真在模擬材料破碎方面與實驗結果還有較大出入。

表2 第1層靶板彈洞尺寸Table2 Hole sizes in the first target

圖6 長桿彈速度與動能的時間歷程曲線Fig.6 Velocity and kinetic curves of a 400g projectile with the initial velocity of 1500m／s after its penetration into the first target

圖7 殘余彈體侵徹第2、3層靶板Fig.7 The second and third targets impacted by the residual projectile

3.3 剩余速度與剩余動能

4種工況的數值模擬與實驗結果基本吻合，如表3所示。可以看出，由于長桿彈具有較強的侵徹能力，在貫徹第1層靶板后，形成的破片仍然保持有非常高的動能，足以對后續(xù)靶板進行有效打擊。

3.4 彈靶的破片飛散

根據數值模擬結果，彈體貫穿第1層靶板后形成大量破片（彈體和第1層靶板形成的破片均包含在內），統(tǒng)計數據如表4所示?？梢钥闯觯诔跛俣认嗤那闆r下，400g長桿彈所形成的質量大于1g的破片和高動能破片（Ek＞100J）的數量均多于200g長桿彈；而對于同種長桿彈在初速度不同的情況下，以1500m／s的初速度貫穿第1層靶板后，雖然形成的質量大于1g的破片數量少于初速度為1000m／s時的情形，但是高動能破片數量明顯多于低速情況。這也說明了鎢合金在高速侵徹時具有良好的易碎性，容易形成大量破片，從而擴大殺傷范圍。

表3 貫穿第1層靶板后的剩余速度與剩余動能Table3 The residual velocity and kinetic energy of projectiles after their penetration into the first target

表4 破片數量統(tǒng)計Table4 The number of fragments

圖8為400g長桿彈以1500m／s的初速度侵徹第1層靶板后破片的飛散情況，除了幾塊質量和動能都比較大的破片外，絕大多數都是質量非常小的金屬微粒，這些微粒具有非常高的溫度，看上去如同大片“火光”，“火光”的范圍與數值模擬結果所展示的微粒飛散范圍大致相同。對于質量和動能都較大的破片，能夠將第2層靶板貫穿，如圖7所示，仿真結果顯示在第2層靶板形成了5個彈洞，彈洞的數量和分布與實驗現象基本吻合。

圖8 400g長桿彈貫穿第1層靶板后的破片飛散情況Fig.8 Fragments after a 400g projectile penetrating into the first target

4 結 論

本文中應用SPH算法模擬了長桿彈對多層靶板的侵徹過程，得到了2種長桿彈高速侵徹的數值模擬結果，詳細分析了長桿彈貫穿第1層中厚靶的3個階段及貫穿后破片的形成和飛散過程，并統(tǒng)計了破片的質量、動能及數量。動態(tài)實驗結果表明：數值計算結果與實驗現象吻合很好；采用SPH算法對高速侵徹過程進行數值模擬能夠較好地描述長桿彈對多層間隔靶板的高速侵徹過程。

［1］Libersky L D，Petschek A G.Smooth particle hydrodynamics with strength of materials［C］∥Advances in the Free Lagrange Method，Lecture Notes in Physics.Oxford：AWE Hunting Press，1991：248－257.

［2］Johnson G R，Beissel S R.Normalized smoothing functions for SPH impact computations［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，39（16）：2725－2741.

［3］Campbell J，Vignjevic R，Libersky L D.A contact algorithm for smoothed particle hydrodynamics［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2000，184（1）：49－65.

［4］Parshikov A N，Medin S A，Loukashenko I I，et al.Improvements in SPH method by means of interparticle contact algorithm and analysis of perforation tests at moderate projectile velocities［J］.International Journal of Impact Engineering，2000，24（8）：779－796.

［5］張鎖春.光滑質點流體動力學（SPH）方法：綜述［J］.計算物理，1996，13（4）：385－397.ZHANG Suo－chun.Smoothed particle hydrodynamics（SPH）method：A Review［J］.Chinese Journal of Computational，1996，13（4）：385－397.

［6］徐志宏，湯文輝，羅永.SPH 算法在高速侵徹問題中的應用［J］.國防科技大學學報，2005，27（4）：45－48.XU Zhi－h(huán)ong，TANG Wen－h(huán)ui，LUO Yong.Smoothed particle hydrodynamics algorithm applied in penetration problem［J］.Journal of National University of Defense Technology，2005，27（4）：45－48.

［7］毛益明，武文遠，陳廣林，等.高速碰撞問題的SPH方法模擬［J］.解放軍理工大學學報：自然科學版，2003，4（5）：86－89.MAO Yi－ming，WU Wen－yuan，CHEN Guang－lin，et al.Numerical simulation of high velocity impact problems with SPH method［J］.Journal of PLA University of Science and Technology：Natural Science Edition，2003，4（5）：86－89.

［8］崔偉峰，曾新吾.SPH 算法在超高速碰撞數值模擬中的應用［J］.國防科技大學學報，2007，29（2）：47－50.CUI Wei－feng，ZENG Xin－wu.Smoothed particle hydrodynamics algorithm applied in numerical simulation of hypervelocity impact［J］.Journal of National University of Defense Technology，2007，29（2）：47－50.

［9］隋樹元，王樹山.終點效應學［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2000.