葛巖巖,王 建＊＊,龐潤(rùn)宏

(1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100;2.東寧電業(yè)局,黑龍江牡丹江157200)

一類含有多重非線性項(xiàng)的雙重退化拋物型方程組正解存在性

葛巖巖1,王 建1＊＊,龐潤(rùn)宏2

(1.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100;2.東寧電業(yè)局,黑龍江牡丹江157200)

本文主要討論了含有內(nèi)部源和非線性邊界流耦合的雙重退化非線性拋物型方程組解的整體存在和爆破性質(zhì),在合理的假設(shè)下,通過(guò)比較原理得到該方程組的所有正解整體存在的充分必要條件。

雙重退化拋物型方程組;全局存在性;爆破;內(nèi)部源;非線性邊界流

0 引言

本文主要考慮下面含有非線性內(nèi)部源和邊界流的雙重退化拋物型方程組:

其中ni,q11,q12,q21,q22>0,mi,pi>1(i=1,2)。拋物方程組(1)來(lái)源于人口動(dòng)力學(xué),化學(xué)反應(yīng),熱傳導(dǎo)等數(shù)學(xué)模型中。特別地,這類方程組經(jīng)常用來(lái)描述在多方條件下與位移速度的切向張力冪相關(guān)的多孔介質(zhì)中的非穩(wěn)定流。此時(shí),方程組(1)稱為非牛頓多方滲流方程組[1-3],當(dāng)mi,pi>1(i=1,2)時(shí),方程組具有雙重退化性。另外,非線性邊界條件物理上可以解釋為一種非線性輻射定律[4]。

近幾年,許多人研究了帶有非線性邊界條件的一些拋物問(wèn)題的解的整體存在性和爆破性[5-9]。

在文獻(xiàn)[5]中G.Acosta和J.D.Rossi研究了高維非退化情形下解的整體存在性和爆破性,此即方程組(1)中mi,pi=1(i=1,2),x∈Ω情形。在文獻(xiàn)[6]中, Song和Zheng考慮了下面的擬線性拋物方程組:

S.Wang[7]和J.Zhou,C.L.Mu[8]分別研究了不含局部源的非牛頓多方滲流方程組的非線性邊值問(wèn)題和含局部源的非牛頓多方滲流方程組的Dirichlet邊值問(wèn)題。在文中作者證明了解局部存在性并且得到了所有正解整體存在及在有限時(shí)間內(nèi)爆破的性質(zhì)主要依賴于初值以及α β和mn(p-1)(q-1)的關(guān)系。

最近,Wu和Gao[9]研究了下面帶有非局部源的發(fā)展的p-Laplace方程組:

作者在文中得到了所有正解整體存在的充分必要條件為:

m1m2≤1,p1p2q12q21≤(1-p1q11)(1-p2q22),

m1p2q21≤1-p2q22和m2p1q12≤1-p1q11。

受到文獻(xiàn)[9]的啟發(fā),本文研究了方程組(1)的解的整體存在性以及爆破性質(zhì),并給出解的性質(zhì)依賴于相關(guān)參數(shù)p1,p2,q11,q12,q21,q22,m1,m2,n1,n2之間的關(guān)系。

本文主要結(jié)果如下。

定理1 問(wèn)題(1)的所有正解整體存在的充分必要條件是n1n2≤1,n1p2q21≤1+(1-m2)p2-p2q22,n2p1q12≤1+(1-m1)p1-p1q11和p1p2q12q21≤[1+(1-m1)p1-p1q11][1+(1-m2)p2-p2q22]。

定理2 如果下列不等式之一成立,

則問(wèn)題(1)的所有正解在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

1 預(yù)備知識(shí)

問(wèn)題(1)的解的局部存在性的證明是標(biāo)準(zhǔn)的,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3]和文獻(xiàn)[9]。

2 定理的證明

引理1 如果n1n2≤1,p1p2q12q21≤[1+(1-m1)p1-p1q11][1+(1-m2)p2-p2q22],n1p2q21≤1+(1-m2)· p2-p2q22并且n2p1q12≤1+(1-m1)p1-p1q11則問(wèn)題(1)的所有正解整體存在。

證明 設(shè)

由l1,l2,d,l滿足的條件以及比較原理可知(u,v )是(1)的上解,這也意味著(1)的解整體存在。

引理2 對(duì)于n1n2>1,則問(wèn)題(1)的所有正解在有限時(shí)間爆破。

證明 由簡(jiǎn)單的證明可知存在ki>0,i=1,2,使得

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Abstract: This paper studys the global existence and blow-up of solutions of doubly degenerate parabolic system coupled with local source and nonlinear boundary flux.Under appropriate hypotheses,by a weak comparison principle,necessary and sufficient conditions on the global existence of all positive solutions are obtained.

Key words: doubly degenerate parabolic system;global existence;blow-up;local source;nonlinear boundary flux

AMS Subject Classifications: 35A01;35B51;35B44;35D30

責(zé)任編輯 朱寶象

Existence of Positive Solutions for A Class of Doubly Degenerate Parabolic System with Multi-Coupled Nonlinearities

GE Yan-Yan1,WANGJian1,PANG Run-Hong2
(1.School of Mathematical Science,Ocean University of China,Qingdao 266100,China;2.Dongning Electric Power Bureau,Mudanjiang 157200,China)

O175.26

A

1672-5174(2011)06-125-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10371050);高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)青年教師科研專項(xiàng)基金項(xiàng)目(201113008)資助

2010-06-30;

2011-03-23

葛巖巖(1987-),女,碩士生。E-mail:geyanyan19871987@163.com

E-mail:pdejwang@163.com