宋孟軍 張明路 張建華

河北工業(yè)大學，天津，300130

0 引言

在對串聯(lián)機器人進行運動學求解的過程中，需要建立機器人的運動學坐標系。傳統(tǒng)的構建方法是依據(jù)D－H參數(shù)法則將坐標系建立在機器人的轉動或移動關節(jié)處，然后在此基礎上應用相應的坐標系變換法則進行相應的坐標系構建[1－4]。這種方法在某些情況下影響了坐標系構建的多樣性，且給結構多樣的串聯(lián)機器人的分析工作帶來過多的分析步驟，不僅影響了串聯(lián)機器人設計的效率，而且可能在某種程度上給后續(xù)的分析工作帶來一定的困難（如存在機器人機構模型不一致的現(xiàn)象從而給分析工作帶來困難）。針對這個問題，本文提出冗余坐標系的概念以解決串聯(lián)機器人運動學坐標系快速構建的問題，從而為串聯(lián)機器人坐標系的快速構建提供一種新的解決方案；同時沿Y軸進行坐標變換，進一步提高機器人運動學模型構建的效率。構建冗余坐標系及沿Y軸構建運動學模型，兩種方法均可提高機器人運動學坐標系構建的效率。

1 D－H法則坐標系的構建

首先，應用D－H 法則[5－6]對一種多足移動機器人的腿部構建全局坐標系，如圖1所示，其中連桿參數(shù)和關節(jié)變量如表1所示。

圖1 基于D－H法則構建坐標系

表1 基于D－H法則連桿及關節(jié)變量參數(shù)

依據(jù)運動學方程求解公式可以求出多足機器人末端坐標系相對于固定參考系的位姿解。求解運動學方程，所得位姿解具體情況如表2所示。其中，c1＝cosθ1，s1＝sinθ1，c12＝cos（θ1＋θ2），s12＝sin（θ1＋θ2），余同。

表2 新型移動機器人位姿

2 冗余坐標系的構建

冗余坐標系就是建立在機器人非運動關節(jié)處，為機器人整體運動學坐標系的構建起到過渡作用的坐標系，在機器人進行運動時，冗余坐標系并不參與相應的運動（如移動或轉動），即冗余坐標系的變換始終為常量。

冗余坐標系的構建仍以本例多足移動機器人為研究對象。首先構建圖2所示全局坐標系。

圖2 全局坐標系構建

仍依據(jù)圖1所示坐標系構建方法對多足移動機器人的坐標系進行構建，將基座固定坐標系O0X0Y0Z0通過連桿坐標系進行傳遞，同時推導末端坐標系O4X4Y4Z4的位姿形態(tài)，推導結果如表3所示。

表3 全局坐標系的連桿及關節(jié)參數(shù)

推導進行到坐標系O3X3Y3Z3時，再依據(jù)D－H坐標系的確定方法很難將坐標系O3X3Y3Z3變換到坐標系O4X4Y4Z4，因此本文將采用構建冗余坐標系的方法，在冗余坐標系概念基礎上，構建圖3所示的全局坐標系。

圖3 冗余坐標系構建圖

如圖3所示，在圖2所構建的坐標系的基礎上，在原關節(jié)3的位置（O2X2Y2Z2）構建冗余坐標系O3X3Y3Z3，從而在表3推導結果的基礎上繼續(xù)對末端坐標系的位姿進行推導，推導結果如表4所示。

表4 冗余坐標系的連桿及關節(jié)參數(shù)

由表4可以看出，每增加一個冗余坐標系就會增加一個坐標系的傳遞過程（即推導過程）。與表1所示傳遞推導過程相比較，冗余坐標系的構建簡化了全局坐標系變換的規(guī)則，改變了變換的思路，從而有利于快速構建運動學全局坐標系，并且為較復雜的關節(jié)變換關系提供了良好的解決方案，有利于構建具有復雜關節(jié)變換關系的坐標系系統(tǒng)。

對全局坐標系下的各個變換矩陣進行求解[4]，可以求得上述各個傳遞推導過程的變換矩陣分別如下：

可以看出，增加了冗余坐標系的變換矩陣與沒有增加冗余坐標系的變換矩陣相比，變換矩陣的結構得到了簡化，從而便于分析計算。

利用已經(jīng)求得的各個變換矩陣A1～A5，可以首先得出運動學方程T5：

進而求得運動學方程的正解如表5所示。

表5 新型移動機器人冗余坐標系下位姿

如圖1、圖3所示，在兩種建立全局坐標系的方法中，基坐標系所選擇的姿態(tài)均相同，而末端姿態(tài)略有不同，圖3建立的末端坐標系O5X5Y5Z5與圖1建立的末端坐標系O4X4Y4Z4，其姿態(tài)解并不完全相同，需進行相應的旋轉變換，如圖4所示。

圖4 末端坐標系構建圖

由圖4可以看出，經(jīng)過變換后的末端坐標系與圖1構建的坐標系具有相同的位姿解。在表2的基礎上繼續(xù)對坐標系O6X6Y6Z6在基座固定坐標系中的位置姿態(tài)進行推導，結果如表6所示。

表6 末端連桿及關節(jié)參數(shù)

表6所示傳遞過程的變換矩陣可表示為

在變換矩陣A6的基礎上，可以得到運動學方程：

同理，可以求得運動學方程T6的正解如表7所示。表7所列θ5與表2所列θ4為同一關節(jié)轉角變量，即｜θ5｜＝｜θ4｜，而在各自的全局坐標系中，兩變量所在坐標系的Z軸相互夾角為180°。當－θ5＝θ4時，將表2所得結果與表7所得結果進行比較可知，兩坐標系末端具有相同的位姿正解。

表7 基于冗余坐標系的機器人位姿

3 冗余坐標系的仿真驗證

由前面分析可知，應用冗余坐標系構建坐標系所得的位姿結果與應用D－H法則構建坐標系所得位姿結果一致，如表2和表7所示。由表2和表5可知，若兩種方法所得末端坐標系不進行相應的轉換，則結果并不相同（圖5）。圖5所示為各個關節(jié)變量以不同的非線性函數(shù)進行輸入時的情況（對正解隨機輸入的情況進行模擬）。

圖5 各關節(jié)角度輸入情況

應用D－H法則構建的坐標系下，各關節(jié)變量輸入如圖5所示，所得末端坐標系的空間運動軌跡點的X、Y、Z坐標在平面上的投影如圖6所示。

在應用冗余坐標系構建方法所構建的坐標系下，各關節(jié)變量輸入如圖5所示，所得末端坐標系的空間運動軌跡在平面內(nèi)的投影如圖7所示。

由圖6和圖7可知，由于構建坐標系的方法不同，導致部分關節(jié)轉角的旋向并不相同。將θ5逆向旋轉，如圖8所示。將圖8所示角度應用到冗余坐標系構建方法中，所得結果與圖6所示結果相一致。這也進一步證明了冗余坐標系建立的正確性。

圖6 D－H法則坐標系末端軌跡投影輸出情況

圖7 冗余坐標系末端軌跡投影輸出情況

圖8 θ5變換后各關節(jié)角度輸入情況

4 沿Y軸構建坐標系

沿Y軸構建坐標系，仍以本例多足移動機器人為研究對象。

依據(jù)圖1所示坐標系構建方法對多足移動機器人的坐標系進行構建，將基座固定坐標系O0X0Y0Z0通過連桿坐標系進行傳遞，仍對末端坐標系O4X4Y4Z4的位姿形態(tài)進行推導，推導結果如表8所示。

表8 前兩關節(jié)變換的連桿及關節(jié)參數(shù)

推導進行到坐標系O3X3Y3Z3時，仍依據(jù)D－H坐標系變換方法將坐標系O3X3Y3Z3變換到坐標系O4X4Y4Z4會存在一定的困難。本文將繼續(xù)分析坐標變換規(guī)則，采用將運動學坐標系沿Y軸進行變換的方法，構建圖9所示的全局坐標系。

圖9 應用坐標變換規(guī)則構建全局坐標系

如圖9所示，在圖1所構建的坐標系的基礎上，將關節(jié)3處坐標系O2X2Y2Z2變換到關節(jié)4處坐標系O3X3Y3Z3，沿Y軸進行旋轉變換。將Z軸直接變換到旋轉關節(jié)4處，這樣便減少了變換步驟。如圖1所示，將關節(jié)3變換到關節(jié)4處須進行兩次旋轉變換，增加了變換的步驟。利用圖9所示方法對末端坐標系的位姿進行推導，推導結果如表9所示。由表9可知，坐標系變換既繞Z軸進行旋轉和平移變換，同時又繞Y軸進行旋轉和平移變換。

表9 后兩關節(jié)變換的連桿及關節(jié)參數(shù)

下面依據(jù)D－H坐標系的確定方法[4]和沿Y軸進行坐標系變換的方法相結合，對全局坐標系下的各個變換矩陣進行求解。由表8、表9和表1可知，兩種方法所對應的前兩種關節(jié)變換矩陣相同，后兩種關節(jié)變換矩陣不同，上述各個傳遞過程的變換矩陣如下：

其中，A3Y、A4Y為在Y軸方向進行坐標變換后所得的變換矩陣，與沒有添加冗余坐標系的變換矩陣相比，變換矩陣的計算過程得到了進一步簡化，即轉換步驟得到了一定程度的簡化。

利用求得的變換矩陣A1Y～A4Y可以首先計算出運動學方程T4Y：

進而求得運動學方程的正解如表10所示。

表10 沿Y軸變換機器人位姿

如圖1和圖9所示，兩種建立全局坐標系的方法中，基坐標系選擇均相同，而末端姿態(tài)有所不同，即圖9建立的末端坐標系O4X4Y4Z4與圖1所建立的末端坐標系O4X4Y4Z4姿態(tài)并不完全相同，需進行相應的旋轉變換，如表11所示。

表11 末端坐標系變換連桿及關節(jié)參數(shù)

由表11所進行的變換可知，經(jīng)過變換后的末端坐標系與圖1所構建的末端坐標系具有相同的位姿解，表11所示傳遞過程的變換矩陣可以表示為

在變換矩陣A5Y的基礎上，可以得到運動學方程T5Y：

同理，可以求得運動學方程T5Y的正解如表12所示。

表12 沿Y軸變換機器人最終位姿

表12所列θ5與表2所列θ4為同一關節(jié)轉角變量，即｜θ5｜＝｜θ4｜，且在各自的全局坐標系中兩變量相差180°。當－θ5＝θ4時，表2與表12將具有相同的結果，即兩坐標系末端將具有相同的位姿正解。

通過以上求解證明可以發(fā)現(xiàn)，沿Y軸進行坐標系變換與使用D－H法則進行坐標系變換，兩種方法具有相同的運動學求解結果。

5 結論

本文針對機器人運動學分析過程中坐標系快速構建問題，提出了冗余坐標系的概念，并對冗余坐標系進行了求解，進行了仿真驗證，研究結果表明，冗余坐標系的構建可以更加直接、快速地求解機器人的運動學問題，并且可以為運動學求解提供較為準確的運動學模型。

本文進一步沿Y軸進行了坐標變換，構建了多足移動機器人運動學模型，求解了運動學方程，并證明了這種方法的正確性，為快速構建運動學模型、求解運動學方程提出了另一種新的解決方案。

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