董云達(dá)，黃元元，周書芳

(1.鄭州大學(xué)數(shù)學(xué)系，河南 鄭州450001;2.西安電子科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西西安710071)

0 引言

設(shè)H為實(shí)的Hilbert空間，T：H→H為極大單調(diào)算子.考慮下面的極大單調(diào)包含問(wèn)題：找x∈H使得

鄰點(diǎn)算法［1］是解決此問(wèn)題的一個(gè)經(jīng)典方法.在圖像處理、非線性振蕩器行為分析中，它是設(shè)計(jì)與分析某些實(shí)用快速迭代算法的基礎(chǔ).

但是，在無(wú)窮維的Hilbert空間中，鄰點(diǎn)算法所產(chǎn)生的序列卻可能是弱收斂的.為了克服這一弱點(diǎn)，Kamimula 和 Takahashi［2］建議利用 Halpern方法［3］來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題.任取u∈H和初始點(diǎn)x1∈H，相應(yīng)的Halpern方法的一般迭代格式為：

其中 λn∈(0，+ ∞)，αn∈［0，1).注意當(dāng) αn=0時(shí)，Halpern方法即為鄰點(diǎn)算法.而且，他們還給出了能夠保證該方法強(qiáng)收斂性的一組條件：(1)u=x1;(2)序列{α}n是不可和的，并且它的極限為0;(3)序列{λn}的極限為+∞.

最近，Zhou 等［4］提出不精確 Halpern 方法，它的基本迭代格式為：

式中：en是一個(gè)誤差項(xiàng).

那么，如何估計(jì)這個(gè)不精確Halpern方法的收斂率呢?

筆者借用了文獻(xiàn)［5］中的某些技巧，從而證明了：如果T的逆T-1在原點(diǎn)處是Lipschitz連續(xù)的［1］(不妨記T的唯一零點(diǎn)為z)，并且相應(yīng)的參數(shù)αn與λn適當(dāng)選取的話，那么一定存在一個(gè)正數(shù)C＞0和一個(gè)足夠大的自然數(shù)K使得：

其中‖·‖為Hilbert空間中內(nèi)積〈x，y〉所誘導(dǎo)的范數(shù)‖x‖ =這是Halpern方法的第一個(gè)收斂率估計(jì).

1 預(yù)備知識(shí)

在這一節(jié)中，先給出一個(gè)有用的定義，然后給出并證明一個(gè)重要的引理.

定義1.1 如果算子T-1：H→H的零點(diǎn)存在且唯一，設(shè)為 z，并且存在 L ＞0，δ＞0，使得

‖x-z‖≤L‖w‖，其中 x∈T-1(w)，‖w‖≤δ.則稱算子T在原點(diǎn)處是Lipschitz連續(xù)的.進(jìn)一步的討論參見文獻(xiàn)［5-6］.

引理1.1 任取α∈［0，1］，λ∈(0，+∞).假設(shè)

其中‖e‖≤σ ‖x-y‖，σ∈［0，1).則有下列不等式成立

證明：(a)可由［4，引理2.3］和‖e‖≤σ‖x-y‖，σ∈［0，1)直接得到.下面我們僅證(b)部分.由(3)可知

最后一個(gè)不等式利用了關(guān)系式(4)，這樣，我們就完成了這個(gè)引理的證明.

2 主要結(jié)果

在這一節(jié)中，主要研究不精確Halpern方法的收斂率.

不精確 Halpern 方法［4］：選取 αn∈［0，1］，λn∈(0，+∞)，σ∈［0，1)，εn↓0.任取 x1∈H，u∈H，序列{x}

n由下列迭代格式生成：

下面我們給出并證明本研究的主要結(jié)果.

定理2.1 對(duì)于不精確Halpern方法所產(chǎn)生的序列{x}

n來(lái)說(shuō)，若(1)T-1在原點(diǎn)處是Lipschitz連續(xù)的;(2)序列是不可和的，并且＜+∞，p∈(1，2);(3)limλn=+∞，則一定存在一個(gè)正數(shù)C＞0和一個(gè)足夠大的自然數(shù)K使得：

證明：由式(5)、(6)、(7)和引理1.1 有

現(xiàn)在我們證 2αn〈u-z，yn+en-z〉有界.首先我們給出‖yn-z‖的一個(gè)上界.由式(5)有

由(7)和假設(shè)(2)(3)，依照［4］的證明，我們知道{xn}，{yn}和{en}都是有界的.因 limλn=+∞，則一定存在一個(gè)自然數(shù)K1，使得當(dāng)n＞K1時(shí)，下面的不等式：

成立.根據(jù)T-1在原點(diǎn)處的Lipschitz連續(xù)性：

再由誤差準(zhǔn)則(7)，我們可以得到

所以當(dāng)n＞K1時(shí)，我們有

因?yàn)?limλn=+∞，σ ＜1，則存在 K2≥K1，使得當(dāng) n＞K2時(shí)

將此不等式代入式(8)得

由式(9)我們有

這樣，將此不等式代入式(10)便可得到：

又因?yàn)?limαn=0，且 limλn=+∞，則存在 μ∈(0，1)，M∈(0，+∞)和K≥K2，當(dāng)n＞K 時(shí)并且1-σ2

從而，當(dāng)n＞K時(shí)，下面的不等式必然成立

由此可得

從假設(shè)(2)可知，只要選一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)C，我們要證明的結(jié)果就可以成立.證畢.

注意：假設(shè)條件(2)包含αn=n-1這種情形，卻排除了αn=n-1/2這一情形，然而由(11)直接計(jì)算，我們?nèi)匀豢梢缘玫紿alpern方法的另一個(gè)收斂率，盡管收斂速度較前一種情況要慢.另外，值得指出的是，我們的分析手法也適用于最新發(fā)展的鄰近下降算法，由于推導(dǎo)十分相似，也就不再贅述了。

［1］ROCKAFELLAR R T.Monotone operators and the proximal point algorithm［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，1976，14：877-898.

［2］KAMIMURA S，TAKAHASHI W.Approximating solutions of maximal monotone operators in Hilbert spaces［J］，Journal of Approximation Theory，2000，106(2)：226-240.

［3］HALPERN B.Fixed points of nonexpanding maps［J］.Bulletin of American Mathematics Society，1967，73(6)：957-961.

［4］ZHOU Hai-yun，Wei Li，Tan Bin.Convergence theorems of approximate PPA for zeroes of maximal monotone operators in Hilbert spaces［J］.International Journal of Mathematical Analysis，2007，1(4)：175-186.

［5］DONG Yun-da.An extension of Luque's growth condition ［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22(9)：1390-1393.

［6］LUQUE F J.Asymptotic convergence analysis of the proximal point algorithm［J］.SIAM Journal on Control and Optimization，1984，22(2)：277-293.