王 威，田 杰，王志濤，馬東輝，蘇經(jīng)宇

(1.北京工業(yè)大學抗震減災研究所，北京100124;2.北京工業(yè)大學 建筑工程學院，北京100124)

0 引言

目前對邊坡地震穩(wěn)定性評價的精確方法主要有擬靜力法、Newmark分析法、動力有限元時程分析法、完全動力分析法等［1-2］，為研究邊坡在動力作用下的破壞機理及穩(wěn)定性評價提供了基礎資料.結(jié)合我國歷史地震資料，一些學者提出了更適合我國的邊坡地震崩滑兩極預測方法，其中一級預測方法為地震崩滑的初判準則;二級預測提出了多種方法.例如：高科等［3］利用突變級數(shù)法對邊坡的地震穩(wěn)定性進行了綜合評價研究;王余慶等［4］探討了灰色理論中的灰色聚類方法預測其地震的穩(wěn)定性;董隴軍，文暢平等［5-6］基于未確知測度/屬性數(shù)學理論建立巖土邊坡地震崩滑預測與危險性分級的屬性識別模型;馬毅等［7］綜合考慮邊坡地震穩(wěn)定性評價因素的多源模糊性研究了巖質(zhì)邊坡地震穩(wěn)定性多模型組合評價方法;高艷平等［8］從人工神經(jīng)網(wǎng)絡的基本原理出發(fā)，建立了邊坡抗震抗滑穩(wěn)定性評判的人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型.這些研究從不同角度對邊坡的地震穩(wěn)定性進行了探討，取得了諸多研究成果.由于影響邊坡地震穩(wěn)定性的因素多，且這些指標在獲取時具有一定的片面性、隨機性和不確定性，一些評價技術(shù)和方法不能全面地反映邊坡地震穩(wěn)定性特性，有時甚至會出現(xiàn)誤判，且不同方法常得出矛盾的結(jié)論.基于此，筆者利用分形理論在揭示復雜現(xiàn)象與規(guī)律上的突出優(yōu)勢［9-10］，建立了邊坡地震穩(wěn)定性評價的分形-插值模型，試圖從新的角度探索邊坡地震穩(wěn)定性評價方法.

1 邊坡地震穩(wěn)定性評價的分形-插值模型

1.1 單個指標分維數(shù)的計算

式中：n為待評價因素的樣本個數(shù);m為待評價對象的指標個數(shù).

(1)數(shù)據(jù)預處理.對于正向指標可采用

對于負向指標采用

將指標值變換到［0，1］區(qū)間，即得到數(shù)據(jù)規(guī)劃后的指標數(shù)據(jù)向量為

(2)建立1～9維相空間(需要時可更大些)

一維相空間 二維相空間 九維相空間

(3)分別計算每維相空間兩點之間的距離rpq(s)與平均距離 Δxs，計算公式為［9］

式中：p，q=1，2，…，n-s+1(不同相空間的點數(shù)——列數(shù));s=1，2，…，ω(相空間維數(shù))，其中ω為最大相空間維數(shù).

(4)分別計算每維相空間兩點之間距離小于rsk的概率Ck(s)，計算公式為

式中：rsk為指定的距離上限;H為Heaviside函數(shù)，其值分別由下式確定.

①距離上限：

式中：b 為指定常數(shù);k=1，2，…，14;本例用前者.

②Heaviside函數(shù)：

(5)如果存在分形，則每維相空間有：

根據(jù)每維相空間求出的一組(k=14)Ck(s)值，在Ck(s)和rsk雙對數(shù)圖上若為直線，則分形存在，其斜率為分維數(shù)，即［10］

(6)若分維數(shù)隨著相空間維數(shù)的升高趨向極限，則此極限值為空間的分維數(shù).在實際選擇時，若分維數(shù)沒有嚴格地趨向某一極限，則采取比較不同相空間的分維數(shù)，選擇其趨于穩(wěn)定的最大者或相鄰空間分維數(shù)之差滿足一定精度者，作為該邊坡地震穩(wěn)定性評價單個指標的分維數(shù).根據(jù)上述原理可求出邊坡地震穩(wěn)定性評價指標的分維數(shù)向量D.分維數(shù)越大說明該指標越重要.

1.2 分形-插值評價模型的構(gòu)建

(1)對邊坡地震穩(wěn)定性評價指標進行數(shù)據(jù)預處理，消除指標的量綱和統(tǒng)一指標的變化方向;

(2)在各評價標準等級范圍內(nèi)按均勻分布隨機產(chǎn)生l個樣本，對于每個指標采用同一組隨機數(shù)值，若有T個評價標準等級，則可形成l×T個評價樣本，每個評價樣本對應的經(jīng)驗等級為y(j);

(3)根據(jù)公式(1)～(9)計算指標分維數(shù)Di，利用公式(10)可求得第j個樣本的評價值：

(4)對于T個評價等級，設第t個評價等級對應的評價值z(j)∈[St，St)，根據(jù)第j個樣本計算的評價值z(j)與經(jīng)驗等級y(j)，建立z(j)-y(j)的散點圖，則可根據(jù)散點圖可得到相應的分形插值評價值.

2 邊坡地震穩(wěn)定性評價模型

2.1 評價指標的選取及分類標準的確定

地震作用下，邊坡的破壞模式、分布、規(guī)模等取決于地震能量以及邊坡的幾何和物理特征，而邊坡穩(wěn)定性的影響因素則可歸納為邊坡所處的地質(zhì)背景、邊坡的巖體結(jié)構(gòu)類型和地層巖性組合、邊坡的地形地貌條件以及邊坡的水文地質(zhì)條件等［3-7］.筆者選取巖土體特性x1、新構(gòu)造運動特性x2、坡高x3、坡角x4、年均降雨量x5和場地地震烈度x6等6個參數(shù)對巖土邊坡地震崩滑進行分析評價，將邊坡地震穩(wěn)定性狀況分為5個等級：極穩(wěn)定Ⅰ、穩(wěn)定Ⅱ、中等穩(wěn)定Ⅲ、不穩(wěn)定Ⅳ和極不穩(wěn)定Ⅴ，見表1和表2所示.

2.2 分形-插值模型構(gòu)建

(1)數(shù)據(jù)預處理.為消除指標的量綱和統(tǒng)一指標的變化方向，進行了數(shù)據(jù)預處理，見表3.在上述各評價標準等級范圍內(nèi)按均勻分布隨機產(chǎn)生10個樣本，對于每個指標采用同一組隨機數(shù)值，共形成50個評價樣本，將極穩(wěn)定Ⅰ、穩(wěn)定Ⅱ、中等穩(wěn)定Ⅲ、不穩(wěn)定Ⅳ和極不穩(wěn)定Ⅴ分別賦予經(jīng)驗等級1，2，3，4，5 共5 個等級，見表 4 所示.

表1 評價指標的量化分級Tab.1 Slope seismic stability evaluation index level standard

表2 巖土體結(jié)構(gòu)完整性及新構(gòu)造運動特征分級與賦值表Tab.2 Geotectnical mass structural integrity and tectonic movement feature classification and rating assignment

(2)指標分維數(shù)計算.根據(jù)公式(1)～(9)計算邊坡地震穩(wěn)定性評價指標(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的分維數(shù) D=(0.962 1，0.942 5，0.875 1，0.914 2，0.854 1，0.958 1).分維數(shù)越大說明該邊坡地震穩(wěn)定性評價指標越重要.從計算結(jié)果可以看出，在邊坡地震穩(wěn)定性評價時 x3，x5，x4，x2，x6，x16個指標依次重要.

(3)建立邊坡地震穩(wěn)定性評價模型.根據(jù)公式(10)可計算上述50個樣本的綜合評價值，則以經(jīng)驗等級值為縱坐標，以綜合評價值為橫坐標，得到兩者的散點圖，具體見圖1.

從圖1中可以看出，z(j)與y(j)的圖形為階梯形、上升曲線，用 a，b，c，d，e，f，g，h，i，j分段線性插值，得到邊坡地震穩(wěn)定性評價的分形插值等級.

(4)分形插值模型的驗證.為了驗證本研究模型的有效性和可行性，對表5中的工程實例［3-7］進行分析，并將評價結(jié)果與其他評價方法的評判結(jié)果進行對比.

從表5可以看出，10個邊坡樣本分形插值模型的評價結(jié)果與灰色聚類法［4］差別較大，而與突變級數(shù)法［3］、未確知測度分析模型［5］、屬性數(shù)學理論方法［6］有較好的一致性，與模糊可變評價模型［7］評價結(jié)果一致，從而說明將分形插值模型應用于邊坡地震穩(wěn)定性評價的判定中是有效性和可行的.

表3 無量綱處理的單因素指標評價標準Tab.3 Dimensionless indices and classification criterion for assessing slope seismic stability

表4 預處理后的標準樣本Tab.4 Preprocessed standard samples

圖1 綜合評價值與經(jīng)驗等級值的散點圖Fig.1 Scatter dots of comprehensive evaluation value and its grade

表5 分形插值模型評價結(jié)果對比表Tab.5 CoMParison of results obtained with different methods of fractal interpolation model

3 結(jié)論

(1)針對邊坡地震穩(wěn)定性評價中的復雜非線性關(guān)系，利用分形理論較強的非線性數(shù)據(jù)處理能力，構(gòu)建了邊坡地震穩(wěn)定性的分形插值評價模型，該模型可以把多維指標綜合成一維指標，解決了單項評估指標結(jié)果不相容的問題.

(2)針對標準樣本量少的問題，在每級標準之間隨機內(nèi)插構(gòu)建標準樣本集，并分形插值評價模型對10組實測工程邊坡地震穩(wěn)定性進行了研究，評價結(jié)果與用其他方法的分類結(jié)果基本一致，驗證了該方法的客觀性、可信性，對邊坡地震穩(wěn)定性評價具有很好的適用性.

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