趙黎明

(廣東海洋大學(xué)信息學(xué)院，廣東湛江524003)

混沌系統(tǒng)是一類普遍存在且重要的非線性系統(tǒng)，具有復(fù)雜和難以預(yù)測等行為，而Duffing方程系統(tǒng)，不僅是描述共振現(xiàn)象、調(diào)和振動的簡單數(shù)學(xué)模型，而且是一個典型的非線性振動系統(tǒng)，極具代表性，許多工程實際問題都可轉(zhuǎn)化為該類方程系統(tǒng)來研究。同時，在一定條件下存在奇異吸引子，并產(chǎn)生混沌現(xiàn)象［1］。因此，研究Duffing方程混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問題具有重要的理論與實際意義。

針對Duffing方程混沌系統(tǒng)，已提出許多不同的控制方法［2－8］，其中:文獻［2］研究了基于 Lyapunov方法的穩(wěn)定控制問題;文獻［3］研究了基于狀態(tài)觀測器的混沌控制方法;文獻［4－5］研究了外加激勵的混沌控制方法;文獻［6］研究了狀態(tài)反饋混沌控制方法;文獻［7－8］研究了自適應(yīng)混沌控制方法。由于Duffing方程混沌系統(tǒng)中存在不確定性，因此研究不確定Duffing方程混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問題必將具有重要的實際意義。而由于滑模變結(jié)構(gòu)控制方法是一種重要的魯棒控制方法，因此本文重點研究Duffing方程混沌系統(tǒng)的Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制，并設(shè)計一種全局快速Terminal滑模面。

1 Duffing方程混沌系統(tǒng)描述及研究內(nèi)容

考慮Duffing方程混沌系統(tǒng)［2］

其中，x=(x1，x2)T為系統(tǒng)狀態(tài)，p1、p2、p、q、w 為系統(tǒng)的不確定參數(shù)且在一定范圍內(nèi)變化。

當(dāng) p1= －1、p2=1、p=0.25、q=0.27、w=1，x1=1、x2=1時，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象，其對應(yīng)混沌吸引子的相軌跡如圖1所示。

圖1 Duffing系統(tǒng)混沌吸引子的相軌跡

研究混沌系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定控制問題，即設(shè)計控制律，使系統(tǒng)(1)狀態(tài)x漸近收斂至x=0，其受控系統(tǒng)為

其中f(x)= －p1x1－p2x31－px2+qcos(ωt)為系統(tǒng)的不確定性。根據(jù)混沌系統(tǒng)有界性可知，f(x)滿足有界性條件。

由于系統(tǒng)(1)存在不確定性，而滑模變結(jié)構(gòu)控制具有很強的魯棒性，因此本文研究其滑模變結(jié)構(gòu)控制問題。在傳統(tǒng)的滑模變結(jié)構(gòu)控制中，通常通過構(gòu)造一個線性的滑模面，在控制律作用下使系統(tǒng)到達滑模面后，系統(tǒng)狀態(tài)沿期望的滑動模態(tài)漸進地收斂到零點。為了改善系統(tǒng)狀態(tài)的漸進特性，一些學(xué)者研究了 Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制［9－11］，通過設(shè)計非線性滑模面，使得當(dāng)系統(tǒng)到達滑模面后，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間范圍內(nèi)到達閉環(huán)零點。

2 基于全局快速Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

針對系統(tǒng)(1)，根據(jù)全局快速Terminal滑模變結(jié)構(gòu)控制原理［12］，設(shè)計了一種新的全局快速Terminal滑模面，其形式為

其中，α，β ＞0，0＜ σ ＜1。正是由于非線性項 β·sign(x1)|x1|σ的存在，改善了系統(tǒng)狀態(tài)沿滑模面趨向于平衡點的速度，并使其在有限時間范圍內(nèi)收斂至x=0。

由于系統(tǒng)不確定性f(x)的存在，因而為其設(shè)計魯棒控制律，根據(jù)文獻［12］可得，控制律u為

其中，γ1，γ2＞0，0 ＜ σ1＜1。同時，為了滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定條件γ2應(yīng)滿足

并選擇 γ2為

其中，δ＞0，L為|f(x)|的上界。

3 穩(wěn)定性分析

Duffing方程混沌系統(tǒng)(1)在控制律(4)作用下，其受控系統(tǒng)如式(2)所示。針對受控系統(tǒng)(2)，定義Lyapunov函數(shù)V為

對其求導(dǎo)，可得

由于 γ2－f(x)/(sign(s)|s|σ1)＞0，可知式(9)滿足

可見，在控制律(4)作用下，受控閉環(huán)系統(tǒng)(2)滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件。

4 仿真實驗

令Duffing方程混沌系統(tǒng)(1)狀態(tài)的初始值為x1=1、x2=0，系統(tǒng)參數(shù)選取為 p1= －1、p2=1、p=0.25、q=0.27、w=1，控制律(4)參數(shù)選取為 α =2、β =1、σ =0.75、γ1=90，γ2=L/|s|0.4+ δ、δ=1.2、σ1=0.4進行仿真，仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)仿真效果圖

由仿真結(jié)果可以看出，采用本文提出的控制方法，不僅能夠很好地抑制Duffing方程混沌系統(tǒng)(1)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，而且使得受控Duffing方程混沌系統(tǒng)(1)實現(xiàn)了穩(wěn)定控制。

5 結(jié)論

本文研究了Duffing方程混沌系統(tǒng)基于全局快速Terminal滑模的有限時間穩(wěn)定控制問題。通過設(shè)計一種新的全局快速Terminal滑模面，使得當(dāng)系統(tǒng)到達滑模面后，系統(tǒng)狀態(tài)能在有限時間范圍內(nèi)到達閉環(huán)零點。由仿真結(jié)果可以看出，采用本文提出的控制方法，對于具有典型非線性振動特性的Duffing方程混沌系統(tǒng)具有很強的魯棒性，不僅能夠很好地抑制其混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生，而且使得受控系統(tǒng)實現(xiàn)了有限時間穩(wěn)定控制。

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