劉孟暉

（鄭州大學(xué) 商學(xué)院，鄭州 450001）

0 引言

進(jìn)入21世紀(jì)以后，我國壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)快速發(fā)展，取得了巨大的進(jìn)步。2000～2008年，壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)原保險(xiǎn)保費(fèi)收入由851.17億元上升到6658.37億元，年均增幅高達(dá)29.32%；在此期間，壽險(xiǎn)業(yè)務(wù)原保險(xiǎn)保費(fèi)收入占原保險(xiǎn)保費(fèi)收入的比重也由52.90%上升到68.05%[1]。保費(fèi)收入的快速增長，為我國保險(xiǎn)市場(chǎng)積累了大量可用資金。截止2008年底，我國保險(xiǎn)公司總資產(chǎn)高達(dá)33418.83億元，其中壽險(xiǎn)公司總資產(chǎn)為27138.45億元；資金運(yùn)用余額30552.83億元[2]。按照同樣的比例進(jìn)行測(cè)算，可以估算出我國壽險(xiǎn)公司可用資金余額在25000億元左右。如此龐大的壽險(xiǎn)可用資金，應(yīng)如何選擇最優(yōu)的投資組合，才能使投資收益最大、風(fēng)險(xiǎn)最小，成為中國壽險(xiǎn)公司所面臨的首要問題。然而，目前的現(xiàn)狀是：中國壽險(xiǎn)公司資金投資效率低下，且投資渠道單一，過分依賴銀行存款[3]。從資金特點(diǎn)來看，與財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)資金相比，壽險(xiǎn)資金一般為長期資金，對(duì)流動(dòng)性的要求相對(duì)較低，適合進(jìn)行長期投資，獲取穩(wěn)定的投資收益。Davis（2000）指出：壽險(xiǎn)資金和養(yǎng)老金投資特點(diǎn)也不完全一致，盡管一般限制對(duì)壽險(xiǎn)資金的損害更小，但謹(jǐn)慎規(guī)則也是一個(gè)較好的選擇。由此可見，壽險(xiǎn)資金投資對(duì)穩(wěn)定收益要求較高。然而，與收益相伴隨的，是壽險(xiǎn)資金運(yùn)用過程中的風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建壽險(xiǎn)公司最優(yōu)投資策略時(shí)，需綜合權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系。基于這樣的考慮，本文擬從一系列假設(shè)出發(fā)，構(gòu)建壽險(xiǎn)公司投資組合的非線性多目標(biāo)規(guī)劃模型，并對(duì)模型最優(yōu)解的存在性進(jìn)行論證；最后結(jié)合中國的實(shí)際數(shù)據(jù)，對(duì)壽險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資組合進(jìn)行驗(yàn)證。

1 壽險(xiǎn)投資組合的非線性規(guī)劃模型

1.1 模型假設(shè)

為了方便建模和分析計(jì)算，在不失模型一般性的情況下，本文作出如下假設(shè)：

（1）資本市場(chǎng)是有效的。資本市場(chǎng)存在大量的投資者，壽險(xiǎn)公司作為法人參與投資，是價(jià)格的接受者。投資者是理性的，他們完全根據(jù)投資產(chǎn)品的收益和風(fēng)險(xiǎn)情況追求相同收益水平下的風(fēng)險(xiǎn)最小化組合，或者相同風(fēng)險(xiǎn)情況下的收益最大化組合。

（2）不存在交易成本和稅收。資本市場(chǎng)是無摩擦的，不存在交易成本，所有投資者擁有的信息完全相同，且對(duì)投資產(chǎn)品具有相同的預(yù)期。同時(shí)，不考慮稅收因素的影響，投資者所獲得的投資收益可以全部進(jìn)行下期的投資。

（3）所有投資產(chǎn)品的期限均可以劃分為若干個(gè)相等的時(shí)期。投資者在期初進(jìn)行投資，期末獲得資本金和投資收益。在以上基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步假設(shè)資本市場(chǎng)存在1種無風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品和n種風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品。投資者在時(shí)期t進(jìn)入資本市場(chǎng)，可以在(n+1)種投資產(chǎn)品上分配自己的投資。無風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品存在確定的收益率r0，標(biāo)準(zhǔn)差為σ0；風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品的收益率是隨機(jī)的，分別為r1,r2,...,rn，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1,σ2,...,σn。壽險(xiǎn)公司A把可用的壽險(xiǎn)資金投資于這(n+1 )個(gè)壽險(xiǎn)投資產(chǎn)品，形成一個(gè)壽險(xiǎn)資金投資組合，其在每種壽險(xiǎn)品種投資比例分別為ω0,ω1,ω2,...,ωn，則比例滿足ω0+ω1+ω2+...+ωn≤1。根據(jù)馬科維茨（Markowitz，1952,1959）的均值——方差模型可以得到該投資組合的收益為：

該投資組合的風(fēng)險(xiǎn)為：

1.2 非線性多目標(biāo)規(guī)劃模型

約束條件1：壽險(xiǎn)公司的投資組合滿足

r0代表無風(fēng)險(xiǎn)收益率，在不考慮通貨膨脹的條件下，r0是一個(gè)大于0的數(shù)。該約束條件表明壽險(xiǎn)公司選擇投資于有風(fēng)險(xiǎn)的產(chǎn)品時(shí)，必須要獲得比無風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品更高的收益水平，如果這個(gè)條件不能得到滿足，理性的壽險(xiǎn)公司將會(huì)選擇無風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品，而不會(huì)選擇承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)把壽險(xiǎn)資金投入到其它產(chǎn)品。

這是一個(gè)投資產(chǎn)品的投資比例限制條件。一般情況下，為了保證壽險(xiǎn)投資資金的安全性，監(jiān)管部門通常會(huì)對(duì)壽險(xiǎn)資金投資于某種風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品進(jìn)行比例限制?？紤]約束條件1、2和3，可以得到投資組合模型為：求解非線性多目標(biāo)規(guī)劃問題P1，就可以得到壽險(xiǎn)公司的最優(yōu)投資結(jié)構(gòu)。在已知各投資產(chǎn)品的收益率的情況下，可以得出最優(yōu)投資結(jié)構(gòu)中壽險(xiǎn)公司在各投資產(chǎn)品上的比例。

2 模型最優(yōu)解的存在性

對(duì)于多目標(biāo)規(guī)劃問題，常用的解法是化多為少，將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題。考慮線性加權(quán)和法，引入變量α（收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)），并把最大化問題轉(zhuǎn)化為最小化問題，得到新的目標(biāo)函數(shù)：

收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)α代表著壽險(xiǎn)公司對(duì)收益與風(fēng)險(xiǎn)的偏好程度：若α取值較大，表明壽險(xiǎn)企業(yè)更注重投資帶來的風(fēng)險(xiǎn)，是一種保守型的投資策略；若α取值較小，表明壽險(xiǎn)企業(yè)更注重投資帶來的收益，是一種冒險(xiǎn)型的投資策略。

加上P1規(guī)劃中的約束條件，成為一個(gè)非線性多目標(biāo)約束規(guī)劃問題P2，即

由于規(guī)劃問題為凸規(guī)劃，其目標(biāo)函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，R為其可行域，對(duì)任一給定實(shí)數(shù)ε，滿足R={x|f(x)≤ε}任取兩點(diǎn)x1∈R1，x2∈R1，則有f(x1)≤ε，f(x2)≤ε。取α(0＜α＜1)，因?yàn)閒(x)為凸函數(shù)，故：

可以看出：該目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于ωi的非線性函數(shù)，約束條件是關(guān)于ωi的線性函數(shù)。求解帶有約束條件的非線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，首先需要如下定義。

定義1若目標(biāo)函數(shù)f(x)為凸函數(shù)，約束條件gi(x)為凹函數(shù)，則規(guī)劃問題P2為凸規(guī)劃。

如果規(guī)劃問題P2滿足定義條件，可以進(jìn)一步給出如下定理。

定理1若規(guī)劃問題為凸規(guī)劃，一定存在局部最優(yōu)解，且局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。

證明：

首先證明局部最優(yōu)解的存在。

因此，αx1+(1 -α)x2∈R1，故R1為凸集，存在局部最優(yōu)解。

其次，證明局部最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。

由于f(x)為凸函數(shù)，故：

化簡得到：

由此可以得出，x*是全部極小值。證畢。

3 實(shí)證

運(yùn)用上述定義和定理，可以計(jì)算壽險(xiǎn)企業(yè)最優(yōu)投資組合問題。根據(jù)我國《保險(xiǎn)法》規(guī)定，我國保險(xiǎn)資金運(yùn)用形式有：銀行存款、買賣債券、股票、證券投資基金份額等有價(jià)證券、投資不動(dòng)產(chǎn)和其他資金運(yùn)用形式，其中，銀行存款可作為無風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品，對(duì)于其收益率，本文用一年期銀行存款利率代表，取r0=0.0238，其對(duì)應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)=0；其他幾種投資產(chǎn)品為風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品，其收益率和風(fēng)險(xiǎn)，用2004～2008年的平均水平表示，具體結(jié)果如表1。

為了衡量風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)狀況，需要計(jì)算σij。根據(jù)協(xié)方差σij的特點(diǎn)，當(dāng)i=j時(shí)，滿足σij=σii=；當(dāng)i≠j時(shí)，滿足σij=σji，且σij=ρijσiσj，其中，ρij為資產(chǎn)i和資產(chǎn)j之間的相關(guān)系數(shù)， ||ρij≤1，ρij=ρji。根據(jù)表1的4種風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品的年收益率數(shù)據(jù)，計(jì)算得到其相關(guān)系數(shù)如表2所示。

根據(jù)表1的風(fēng)險(xiǎn)（收益的標(biāo)準(zhǔn)差）數(shù)值和表2的相關(guān)系數(shù)數(shù)值，可以計(jì)算5種風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品投資組合的風(fēng)險(xiǎn)。用ω0，ω1，ω2，ω3，ω4和ω5分

別代表投資于銀行存款、股票、國債、企債、基金和不動(dòng)產(chǎn)的比例?！侗ｋU(xiǎn)資金運(yùn)用管理暫行辦法》明確規(guī)定保險(xiǎn)資金在各種風(fēng)險(xiǎn)產(chǎn)品上的投資比例要求，即ω1+ω4≤0.2，ω3≤0.2，ω4≤0.15。規(guī)劃問題P2具體化為規(guī)劃問題P3。

表1 風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品收益與風(fēng)險(xiǎn)狀況

表2 風(fēng)險(xiǎn)投資產(chǎn)品的相關(guān)系數(shù)矩陣

容易驗(yàn)證，該規(guī)劃問題是一個(gè)凸規(guī)劃，存在全局最優(yōu)解。利用軟件WinQSB，給定不同的收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)α值，可以得到表3的計(jì)算結(jié)果。

由計(jì)算結(jié)果可知：收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)α值反映了壽險(xiǎn)公司不同的收益與風(fēng)險(xiǎn)偏好程度，壽險(xiǎn)公司具有多樣化的投資組合選擇；隨著收益風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)α值逐漸增大，壽險(xiǎn)公司投資于銀行存款和國債的比例逐漸增大，對(duì)應(yīng)的投資組合收益和風(fēng)險(xiǎn)逐漸下降，滿足風(fēng)險(xiǎn)與收益正之間的正向關(guān)系；隨著α值逐漸增大，壽險(xiǎn)公司投資于企債的比例基本保持不變，均接近20%；隨著α值的改變，投資于股票和基金的比例變化較大，這兩種投資品并非壽險(xiǎn)公司投資的主要形式。之所以存在這樣的組合結(jié)果，與銀行存款、國債和企債的低風(fēng)險(xiǎn)狀況有關(guān)，相對(duì)而言，股票和基金具有較大的投資風(fēng)險(xiǎn)，與壽險(xiǎn)資金對(duì)穩(wěn)定收益要求較高的特點(diǎn)不一致，使得這兩種選擇無法成為壽險(xiǎn)公司投資的主要形式。

進(jìn)一步分析組合收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系，當(dāng)α值由0.5降低到0.2時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)增加幅度較小，而收益出現(xiàn)了較大幅度的上升，這主要得益于股票投資比例的上升所致，表明了壽險(xiǎn)公司在股票投資方面仍存在較大的操作空間。

表3 投資組合模型計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

在一系列假設(shè)條件的基礎(chǔ)上，本文建立了壽險(xiǎn)資金的非線性多目標(biāo)規(guī)劃模型，提出了最優(yōu)解存在性定理，并利用中國金融市場(chǎng)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析。所得結(jié)論表明：

(1)壽險(xiǎn)公司最有投資組合模型是一個(gè)凸規(guī)劃，存在最優(yōu)解，且最優(yōu)解為全局最優(yōu)解。

(2)壽險(xiǎn)公司具有多樣化的投資組合選擇。在不同的投資組合情況下，壽險(xiǎn)公司存在不同的壽險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)偏好，反映了壽險(xiǎn)公司對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡。

(3)因?yàn)檩^低的風(fēng)險(xiǎn)水平，銀行存款、國債和企債仍為壽險(xiǎn)公司投資選擇的主要形式，基金和股票投資因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)水平較高而無法成為壽險(xiǎn)公司投資的主要形式。

[1]中國保險(xiǎn)年鑒編委會(huì).中國保險(xiǎn)年鑒2009年[M].北京：中國保險(xiǎn)年鑒編輯部，2009.

[2]中國國家統(tǒng)計(jì)局.中國統(tǒng)計(jì)年鑒2009年[M].北京：中國統(tǒng)計(jì)出版社，2009.

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