薛麗

（鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 管理科學(xué)與工程學(xué)院，鄭州 450000）

0 引言

c圖是由休哈特博士首先提出的，主要應(yīng)用于監(jiān)控產(chǎn)品缺陷數(shù)。由于傳統(tǒng)的休哈特控制圖的統(tǒng)計變量是由當(dāng)前觀測值得出的,忽略了大量的歷史信息，因而它只對過程出現(xiàn)的大偏移靈敏。為了更好地監(jiān)控過程的微小波動，羅伯特于1959年提出了EWMA控制圖[1]，由于它將整個歷史信息進(jìn)行累積，故對過程的小偏移比較靈敏[2]。傳統(tǒng)的c圖是建立在過程服從泊松分布這個假設(shè)基礎(chǔ)上，但是，事實上這個假設(shè)在使用中很少能得到證實，其分布經(jīng)常服從幾何分布[3]。因此,針對計數(shù)型質(zhì)量特征值,為了能更有效地發(fā)現(xiàn)過程均值的微小變化,本文擬在單位缺陷數(shù)服從幾何分布的假設(shè)下,提出幾何EWMA控制圖模型。為了提高控制圖的監(jiān)控效率，Reynolds等[4]提出了具有可變抽樣區(qū)間的休哈特均值控制圖,由此形成了動態(tài)控制圖這一新的研究領(lǐng)域[5～8]。眾多學(xué)者研究表明,可變抽樣區(qū)間控制圖較固定抽樣區(qū)間控制圖具有很大的優(yōu)越性,它可以顯著提高控制圖的效率。因此,本文將對幾何EWMA控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計,并且利用馬爾可夫鏈方法計算出其平均報警時間,以期證明,與固定抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖相比,可變抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖在過程失控時具有較短的平均報警時間,從而能夠更有效地提高生產(chǎn)效率。

1 幾何EWMA控制圖描述

傳統(tǒng)的c圖建立在過程服從泊松分布這個假設(shè)的基礎(chǔ)上，但事實上這個假設(shè)在使用中很少能得到證實，其分布經(jīng)常服從幾何分布：

若取樣本容量為n，則在一個樣本中的總?cè)毕輸?shù)就可以表示為Y=x1+x2+...+xn，它服從負(fù)二項分布：

由于服從的是負(fù)二項分布，則Y的均值和方差為：

若要用EWMA控制圖對這個過程進(jìn)行監(jiān)控，可以定義幾何EWMA統(tǒng)計量為：

根據(jù)（3）、（4）可得：

當(dāng)t充分大時，可以得到Zt方差的漸進(jìn)形式：

其中，λ為平滑系數(shù)。則幾何EWMA控制圖的控制限UCL，LCL和中心線CL分別為：

其中，k1為上控制限系數(shù)，k2為下控制限系數(shù)，且k1≥k2。因為X1,X2,...,Xn獨(dú)立同分布于參數(shù)為p的幾何分布，所以由（4）式知幾何EWMA統(tǒng)計量Zt為非負(fù)數(shù)。當(dāng)下控制限小于或等于0時，對過程均值的向下偏移就不會發(fā)出報警信號，即不能檢測出過程的向下偏移，所以這時取k1≠k2就很有必要。

2 可變抽樣區(qū)間的幾何EWMA控制圖

可變抽樣區(qū)間(VSI)控制圖是指抽樣區(qū)間不固定且依賴于當(dāng)前樣本統(tǒng)計量值變化的控制圖,為了簡單起見，?？紤]兩個抽樣區(qū)間：長抽樣區(qū)間和短抽樣區(qū)間。其設(shè)計思路為:如果當(dāng)前樣本統(tǒng)計量值非?？拷怀隹刂葡?則等待較短的時間抽取下一個樣本以較快地發(fā)現(xiàn)過程的變化；如果當(dāng)前樣本統(tǒng)計量值靠近中心限,表示過程穩(wěn)定,則等待較長的時間抽取下一個樣本以避免不必要的浪費(fèi)。自從Reynolds于1988年[4]提出了可變抽樣區(qū)間控制圖以來，許多學(xué)者均對它進(jìn)行了研究，其中Saccucci等于1992年[6]提出了可變抽樣區(qū)間的EWMA控制圖。他們的研究均表明，可變抽樣區(qū)間控制圖較固定抽樣區(qū)間(FSI)控制圖具有很大的優(yōu)越性,它可以顯著提高控制圖的效率,使得失控過程能夠及早被發(fā)現(xiàn),從而可以提高生產(chǎn)效率。

2.1 幾何分布下VSI EWMA控制圖的設(shè)計

對幾何EWMA控制圖進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計時,將控制圖上的界限分為中心線、警戒限和控制限,警戒限位于中心線和控制限之間,上下警戒限分別記為UWL、LWL,如圖1所示，并定義：

其中w1為上警戒限系數(shù)，w2為下警戒限系數(shù)，且0＜w1＜k1,0＜w2＜k2。則控制圖的受控區(qū)域被分成中心域與警戒域兩部分,區(qū)間I1=[LWL,UWL]為中心域，I2=[UWL,UCL]U(LWL,LCL]為警戒域。選取兩個抽樣區(qū)間長度h1和h2，且h1＞h2＞0，若樣本點(diǎn)落在安全域(LWL≤Zi≤UWL),則下一個抽樣區(qū)間為h1；若樣本點(diǎn)落在警戒域（UWL＜Zi≤UCL或LCL≤Zi＜LWL）,則下一個抽樣區(qū)間為h2；若樣本點(diǎn)超出控制限（Zi＞UCL或Zi＜LCL）,則報警。

2.2 幾何分布下VSI EWMA控制圖的平均報警時間

在統(tǒng)計控制過程中，一般采用平均運(yùn)行長度ARL來度量控制圖的性能，但對于可變抽樣區(qū)間控制圖，由于它的抽樣間隔是變化的，無法采用平均運(yùn)行長度進(jìn)行比較，于是，我們采用另外一種控制圖評價標(biāo)準(zhǔn)：平均報警時間ATS。平均報警時間是指從過程發(fā)生偏移到控制圖發(fā)出報警信號所需的平均時間。當(dāng)過程處于受控狀態(tài)時,為了使過程發(fā)生第一類錯誤的概率很低ATS越大越好,當(dāng)過程處于失控狀態(tài)時,為了使得失控過程能夠及早被發(fā)現(xiàn)ATS越小越好。關(guān)于ATS的計算方法有很多,如馬爾可夫鏈方法,積分方程方法以及蒙特卡洛模擬方法等，本文采用馬爾可夫鏈方法計算幾何分布下VSIEWMA均值控制圖的平均報警時間。具體過程如下：

圖1 可變抽樣區(qū)間控制圖控制區(qū)域的劃分

將第j個區(qū)間的中間點(diǎn)記為mj，則：

將從狀態(tài)Ei(i=1,2,...,2m+1 )一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率記為pij，則：

其中，k0表示中心線處于狀態(tài)Ek0即過程在開始時處于第k0個狀態(tài)。如果控制圖的上下控制限系數(shù)k1=k2時，k0=m+1，即過程在開始時中心線處于狀態(tài)Em+1。

3 兩種控制圖的比較

要對不同控制圖的控制效果進(jìn)行比較,應(yīng)使這些控制圖處于同樣的條件下,一般使受控時的平均運(yùn)行長度相同，然后比較失控時的平均運(yùn)行長度。因為可變抽樣區(qū)間的幾何EWMA控制圖的抽樣區(qū)間不固定，故使控制圖在受控狀態(tài)時具有相同的平均報警時間ATS，進(jìn)而比較失控狀態(tài)的受控平均報警時間，使其最小的控制圖監(jiān)控效果較好。固定n,h1,h2,w1,w2,λ的值，選取合適的k1,k2使得在過程受控時控制圖具有相同的ATS，然后計算過程失控時的ATS進(jìn)行比較，ATS越小控制圖的監(jiān)控效果就越好。

4 結(jié)論

表1 P0=0.05,(h 1,h2)=(1 .5,0.6)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表2 P0=0.05,(h 1,h2)=(1 .05,0.8)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表3 P0=0.1,(h 1,h2)=(1 .5,0.6)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表4 P0=0.1,(h 1,h2)=(1 .05,0.8)時VSI與FSI幾何EWMA控制圖的ATS的比較

表1～4分別給出了n=1，w1=2，w2=1時，λ,δ,h1,h2取不同值時可變抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖和固定抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖的ATS。

由表1～4中的數(shù)據(jù)可以看出，在過程處于受控狀態(tài)(δ=1)并且兩種控制圖的平均報警時間ATS相同的情況下,失控時(δ≠1)VSI幾何EWMA控制圖較FSI幾何EWMA控制圖的平均報警時間ATS要小。例如表3中，當(dāng)λ=0.2時，過程受控時，F(xiàn)SI和VSI幾何EWMA控制圖的ATS分別為230.62和230.94基本相同，而當(dāng)δ=1.3時，F(xiàn)SI幾何EWMA控制圖的ATS為34.34，VSI幾何EWMA控制圖的ATS為27.68。由此可以看出，在同一條件下，當(dāng)過程發(fā)生變化時，VSI幾何EWMA控制圖比FSI幾何EWMA控制圖具有較小的平均報警時間ATS，進(jìn)而能更快地發(fā)現(xiàn)過程中的偏移。

本文對單位缺陷數(shù)服從幾何分布時的情形，設(shè)計了幾何EWMA控制圖，并對它進(jìn)行可變抽樣區(qū)間設(shè)計。用馬爾可夫鏈方法計算可變抽樣區(qū)間幾何EWMA控制圖的平均報警時間。通過兩種控制圖的對比研究表明，VSI幾何EWMA控制圖較常規(guī)的FSI幾何EWMA控制圖具有很大的優(yōu)越性,它可以降低系統(tǒng)的平均報警時間,減少產(chǎn)品的不合格率，從而提高生產(chǎn)效率。

[1]Roberts S.W.Control Chart Tests Based on Geometric Moving Averages[J].Technometrics,1959,(1).

[2]Roberts S.W.A Comparison of Some Control Chart Procedures[J].Technometrics,1966,(8).

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