趙 妍，張國(guó)新，林易澍，武曉川

（1.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 材料結(jié)構(gòu)研究所，北京 100038；2.河海大學(xué) 水利水電工程學(xué)院，江蘇 南京 210029；3.北方國(guó)際合作股份有限公司，北京 100053）

1 研究背景

混凝土是工程中廣泛應(yīng)用的一種材料，在細(xì)觀層面表現(xiàn)為多相非均質(zhì)性。目前進(jìn)行混凝土力學(xué)試驗(yàn)是研究其力學(xué)特性最基本的方法，但是力學(xué)試驗(yàn)需要花費(fèi)大量的人力、物力，所得到的試驗(yàn)結(jié)果又往往與試驗(yàn)條件、環(huán)境條件等的變化及材料本身的復(fù)雜性有關(guān)，使得試驗(yàn)成果相對(duì)離散。數(shù)值試驗(yàn)是近些年發(fā)展起來(lái)的一種新的方法，采用非線(xiàn)性方法，通過(guò)對(duì)數(shù)值試件細(xì)觀層面的力學(xué)特性的精細(xì)模擬，可以得到試件宏觀力學(xué)性質(zhì)。數(shù)值試驗(yàn)方法可以避免一些不確定因素的影響、可在電腦上進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)、可以節(jié)省大量的人力物力。因此宏觀與細(xì)觀相結(jié)合，以基本物理試驗(yàn)數(shù)據(jù)和靜動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)，用數(shù)值方法模擬混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展及與宏觀力學(xué)性能關(guān)系的細(xì)觀力學(xué)已經(jīng)發(fā)展起來(lái)，成為20世紀(jì)90年代重要研究方向之一。

在細(xì)觀層次上，混凝土是由粗骨料、水泥水化物及骨料與水泥砂漿黏結(jié)帶（界面）等細(xì)觀結(jié)構(gòu)組成的多相復(fù)合材料。為了對(duì)各相材料的力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行細(xì)觀力學(xué)數(shù)值模擬，人們提出了許多研究混凝土斷裂過(guò)程的細(xì)觀力學(xué)模型[1]。最具典型的有格構(gòu)模型（Lattice model）、隨機(jī)粒子模型（Random particle model）、Mohamed A R等提出的細(xì)觀模型、隨機(jī)骨料模型（Random aggregate model）、唐春安等人提出的隨機(jī)力學(xué)特性模型以及馬懷發(fā)提出的隨機(jī)骨料隨機(jī)參數(shù)模型等，這些細(xì)觀模型各具優(yōu)缺點(diǎn)。

目前從細(xì)觀層次上模擬混凝土斷裂，大多都是基于有限元完成的。1996年前后，王宗敏首先用精細(xì)網(wǎng)格有限元模擬混凝土的破壞，當(dāng)單元受拉破壞后，將單元去掉，該方法建大實(shí)用，但是這帶來(lái)了質(zhì)量和能量的不守恒，只能模擬混凝土的拉裂破壞。2004年，朱萬(wàn)成等[2]等利用開(kāi)發(fā)的MFPA2D進(jìn)行了混凝土細(xì)觀力學(xué)性質(zhì)對(duì)宏觀斷裂過(guò)程影響的數(shù)值試驗(yàn)，該系統(tǒng)僅考慮了混凝土各相材料力學(xué)特性分布的隨機(jī)性，未考慮混凝土粗骨料顆粒分布的隨機(jī)性。

于慶磊等[3]等應(yīng)用數(shù)字圖像處理技術(shù)，在細(xì)觀上表征混凝土材料中由骨料的形狀、大小和分布對(duì)混凝土材料造成的非均勻性；采用統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法描述材料的非均勻性，模擬了混凝土單軸荷載作用下的破壞過(guò)程。馬懷發(fā)等[4]等在隨機(jī)骨料模型的基礎(chǔ)上提出了隨機(jī)骨料隨機(jī)參數(shù)模型。該模型不僅考慮了骨料按級(jí)配隨機(jī)分布，而且考慮了混凝土及其細(xì)觀各相單元的抗拉強(qiáng)度和彈性模量均為隨機(jī)參數(shù)，遵循對(duì)數(shù)正態(tài)分布。由于目前的數(shù)值試驗(yàn)難以模擬界面的接觸非線(xiàn)性和界面的壓剪破壞，因此只能模擬拉裂破壞。

石根華提出的數(shù)值流形元法[5]為混凝土斷裂的模擬開(kāi)辟了新的途徑。該方法充分吸收了DDA的塊體模擬和接觸模擬的優(yōu)點(diǎn)，用一套物理網(wǎng)格定義和處理塊體邊界及構(gòu)造面，可以很好地模擬塊體接觸運(yùn)動(dòng)，離散體大位移問(wèn)題。同時(shí)用一套數(shù)學(xué)網(wǎng)格定義塊體內(nèi)部的位移插值函數(shù)，可以像有限元那樣計(jì)算塊體內(nèi)部的應(yīng)力。張國(guó)新[6-10]對(duì)石根華的數(shù)值流形法進(jìn)行了較大的擴(kuò)展，使流形法可以模擬結(jié)構(gòu)的剪斷、完整塊體內(nèi)裂紋的生成及多裂紋的追蹤等。

本文從細(xì)觀角度出發(fā)，假定混凝土為由砂漿基質(zhì)、骨料組成的多相復(fù)合材料，借助蒙特卡羅方法，在試件截面上隨機(jī)確定骨料的位置、形狀和尺寸，產(chǎn)生出隨機(jī)骨料模型。利用改進(jìn)的流形元法特有的兩套網(wǎng)格和完善的一整套接觸搜索的方法，以及裂紋自動(dòng)搜索追蹤的功能，模擬多裂紋擴(kuò)展、貫通等相互作用的特有優(yōu)勢(shì)，來(lái)進(jìn)行混凝土斷裂過(guò)程的模擬，研究混凝土力學(xué)特性以及其斷裂機(jī)理。

2 數(shù)值流形法的破壞模擬

結(jié)構(gòu)的破壞形式主要有兩種：一是沿薄弱部位，如節(jié)理、裂隙、軟弱夾層、混凝土結(jié)構(gòu)的構(gòu)造縫等，這類(lèi)破壞的模擬要求數(shù)值方法不僅能正確計(jì)算沿界面的接觸應(yīng)力，還得能模擬界面的張開(kāi)，滑移等，并且當(dāng)帶有抗拉、抗剪強(qiáng)度時(shí)，要能模擬沿界面的破壞過(guò)程。二是在連續(xù)介質(zhì)中的破壞形態(tài)，模擬這類(lèi)介質(zhì)的破壞以裂紋的產(chǎn)生和擴(kuò)展為主，同時(shí)可以模擬連續(xù)介質(zhì)的剪切破壞。本文作者開(kāi)發(fā)的流形元程序可以模擬以上兩種情況。

流形元模擬沿已有結(jié)構(gòu)面破壞時(shí)，采用帶抗拉強(qiáng)度的摩爾-庫(kù)侖準(zhǔn)則。當(dāng)沿構(gòu)造面的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力σn滿(mǎn)足τs下式時(shí)，構(gòu)造面破壞。

剪切破壞：τs=c，當(dāng)且σn＜0且σn＜σc

式中：σn壓為正，拉為負(fù)；φ為摩擦角； σc為抗拉強(qiáng)度；c為凝聚力。

式（1）模擬沿界面的張開(kāi)破壞；式（2）模擬巖界面的剪切破壞。

連續(xù)介質(zhì)內(nèi)新裂紋的產(chǎn)生按抗拉強(qiáng)度準(zhǔn)則，新裂紋的擴(kuò)展遵循斷裂力學(xué)應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)則。斷裂力學(xué)認(rèn)為，裂縫的擴(kuò)展并不取決于縫端的應(yīng)力大小，而是取決于縫端的應(yīng)力集中程度，即應(yīng)力強(qiáng)度因子或應(yīng)變能。當(dāng)縫端的應(yīng)力強(qiáng)度因子達(dá)到某臨界值時(shí)，裂縫開(kāi)始擴(kuò)展，該臨界值稱(chēng)為斷裂韌性。本文計(jì)算裂縫擴(kuò)展首先用作者開(kāi)發(fā)的二階流形元程序求解含裂紋體的位移、應(yīng)力場(chǎng)，然后圍繞縫端切出一含有縫端的局部子域，將用流形元法求出的該子域周邊的位移作為已知位移邊界條件，利用考慮了縫端奇異的奇異基本解和Kelvin基本解構(gòu)造出邊界積分方程，用邊界元法求解，求出縫端應(yīng)力強(qiáng)度因子[8]。求出應(yīng)力強(qiáng)度因子后，用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則判斷裂縫是否擴(kuò)展及擴(kuò)展方向。根據(jù)該準(zhǔn)則，開(kāi)裂角θ0決定于方程：

由上式得出開(kāi)裂角：

最大周向應(yīng)力理論建立起來(lái)的I—Ⅱ復(fù)合裂紋的斷裂判據(jù)：

式中：θ0為裂紋擴(kuò)展方向與初始裂紋的夾角。

石根華在流形法中開(kāi)發(fā)的一套接觸模擬方法，可以精確的計(jì)算結(jié)構(gòu)面的接觸力，二階流形元法和奇異邊界元法結(jié)合可以精確求解縫端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。因此用擴(kuò)展的數(shù)值流形法來(lái)算破壞模擬，可以正確模擬帶巖橋巖體的破壞。裂紋產(chǎn)生、擴(kuò)展后不用重新剖分網(wǎng)格，只需改變相應(yīng)的物理邊界和數(shù)學(xué)覆蓋即可，具體實(shí)現(xiàn)方法參照有關(guān)文獻(xiàn)[5]。

3 數(shù)值流形法的裂縫追蹤技術(shù)

進(jìn)行混凝土力學(xué)特性的試驗(yàn)，往往伴隨多條裂紋的出現(xiàn)，因此對(duì)于多裂紋的模擬是至關(guān)重要的。本文用子域奇異邊界元法求解裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的模擬方法，詳細(xì)步驟見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。

本文的流形元法引借助斷裂力學(xué)方法結(jié)合奇異邊界元法模擬破壞，解決了裂紋可以沿任意方向擴(kuò)展和群縫追蹤問(wèn)題。具體多裂縫追蹤技術(shù)可分為如下幾步：（1）同時(shí)追蹤所有的縫端，判斷是否有滿(mǎn)足開(kāi)裂準(zhǔn)則，并求出開(kāi)裂安全系數(shù)；（2）允許開(kāi)裂安全系數(shù)最小者擴(kuò)展；（3）如沒(méi)有裂縫擴(kuò)展，搜索所有的節(jié)點(diǎn)，判斷是否有節(jié)點(diǎn)滿(mǎn)足新裂縫產(chǎn)生準(zhǔn)則；（4）允許滿(mǎn)足準(zhǔn)則且安全系數(shù)最小的節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生新裂縫，然后重復(fù)上述步驟，進(jìn)行下一個(gè)循環(huán)。

4 混凝土力學(xué)特性數(shù)值試驗(yàn)的流形元模擬

基于對(duì)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，假定混凝土是由砂漿基質(zhì)及骨料組成的多相復(fù)合材料，它們之間的界面層以試驗(yàn)為基礎(chǔ)賦予相應(yīng)的參數(shù)來(lái)模擬，考慮各相組分的非均勻性，利用蒙特卡羅方法、Fuller級(jí)配公式建立用于流形元模擬的細(xì)觀模型，利用前面介紹的擴(kuò)展的流形元法本身特有的兩套網(wǎng)格和完善的一整套接觸搜索的方法，以及裂紋自動(dòng)搜索追蹤的功能，模擬多裂紋擴(kuò)展、貫通等相互作用的特有優(yōu)勢(shì)，來(lái)進(jìn)行混凝土力學(xué)特性的數(shù)值試驗(yàn)?zāi)M，展示在混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)之下，利用數(shù)值流形元方法模擬混凝土的斷裂的詳細(xì)過(guò)程以及其斷裂機(jī)理。

4.1 隨機(jī)骨料模型由于蒙特卡洛方法由于能夠真實(shí)地模擬實(shí)際物理過(guò)程，故解決問(wèn)題與實(shí)際非常符合，可以得到很圓滿(mǎn)的結(jié)果，本文采用它建立用于流形元模擬的隨機(jī)骨料模型。

為了確定骨料所占的面積，可假設(shè)骨料最大直徑為Dmax，最小直徑為Dmin，直徑小于Dmin的骨料歸為砂漿，則直徑在[Ds，Ds+1]范圍內(nèi)骨料所占面積Aagg由下式可得：

式中：P(Dmax)、P(Dmax)分別為最大骨料和最小骨料所占面積的累積概率；P(Ds+1)、P(Ds)分別表示骨料直徑為Ds+1和 Ds所占面積的累積概率。

Walraven J.C.基于Fuller公式，將三維級(jí)配曲線(xiàn)轉(zhuǎn)化為試件內(nèi)截平面上任一點(diǎn)具有骨料直徑D＜D0的概率PC（D＜D0），其表達(dá)式為：

式中：Pk為骨料體積占試件總體積的百分比，一般取Pk=0.75；Dmax為骨料最大粒徑。由該級(jí)配澆筑的混凝土可產(chǎn)生優(yōu)化的結(jié)構(gòu)密度和強(qiáng)度來(lái)決定。

圖1給出了產(chǎn)生的隨機(jī)骨料模型，模型剖面為100×100mm的正方形。圖中粗骨料的最小和最大直徑分別取為5mm和20mm。

圖1 隨機(jī)骨料模型

從圖中可以看出，骨料占有率對(duì)產(chǎn)生骨料的數(shù)量以及隨機(jī)分布都有很大的影響；砂漿的最小厚度γ會(huì)影響骨料相對(duì)間的擺放位置。

4.2 混凝土單軸受壓破壞過(guò)程的流形元模擬模擬單軸的混凝土試件，粗骨料為普通的碎石，最大直徑為20mm，抗壓強(qiáng)度為35MPa（單軸抗壓強(qiáng)度），具體參數(shù)如表1所示。

表1 混凝土試件的力學(xué)參數(shù)

模擬中采用與試驗(yàn)室試驗(yàn)一樣的加載方式，上端采用位移控制的加載方式，加載速度為0.000 05m/s，下端水平方向固定，混凝土受壓破壞加載模型見(jiàn)圖2。圖3給出了混凝土試件在加載不同時(shí)刻的混凝土斷裂形態(tài)圖。

圖2 混凝土受壓破壞加載模型

圖3為受壓破壞不同時(shí)刻混凝土試件的斷裂過(guò)程，其中細(xì)線(xiàn)代表未破壞的界面，粗線(xiàn)代表界面已經(jīng)破壞。在加載的初始階段，應(yīng)力較小，骨料界面因強(qiáng)度較低，首先破壞，接著混凝土中也出現(xiàn)一些小裂紋，這些界面的破壞以及裂紋的出現(xiàn)，使整個(gè)試樣產(chǎn)生應(yīng)力重分布，在它們的周?chē)纬蓱?yīng)力集中，進(jìn)而周邊單元產(chǎn)生較大的拉應(yīng)力，引起裂紋擴(kuò)展以及新的裂紋產(chǎn)生。隨著外荷載的不斷增加，不斷有界面破壞以及新的裂紋產(chǎn)生，裂紋開(kāi)始相互貫通。在試件達(dá)到峰值荷載時(shí)，由于試件內(nèi)部的破壞，承載力已經(jīng)達(dá)到極限，在增加外部施加的位移時(shí)，裂紋帶形成，如圖3（e）所示，宏觀裂紋基本沿荷載加載方向，繞過(guò)骨料沿著砂漿介質(zhì)擴(kuò)展，由于骨料強(qiáng)度較大，有些裂紋遇到骨料止裂。此后由于試件承載力的降低，試件中裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展，周邊也出現(xiàn)新的裂紋，直至失去最后的承載力，如圖3（h）所示，試件破壞。

研究還發(fā)現(xiàn)，在單軸受壓情況下，裂縫的擴(kuò)展方向不是直線(xiàn)和連續(xù)的，出現(xiàn)裂紋交錯(cuò)分叉的現(xiàn)象，這是由于混凝土的不均勻性帶來(lái)的。

圖3 混凝土受壓破壞斷裂過(guò)程（數(shù)值模擬結(jié)果）

由圖4可以看出，加載初期，由于荷載較小，應(yīng)力—應(yīng)變?nèi)员３种^好的線(xiàn)性，隨著荷載的增大，不斷有裂紋出現(xiàn)，應(yīng)力的增加小于應(yīng)變的增加，曲線(xiàn)出現(xiàn)明顯的非線(xiàn)性。隨著荷載的增加，裂紋開(kāi)始貫通，曲線(xiàn)非線(xiàn)性更加明顯，應(yīng)力逐漸達(dá)到峰值。到達(dá)峰值后，試件發(fā)生失穩(wěn)，但保留較大的殘余強(qiáng)度，逐漸失去承載力，直至試件完全斷裂。

圖5為混凝土試樣單軸抗壓強(qiáng)度的試樣?？梢钥闯隽餍卧M得到的破壞模式和裂紋形態(tài)也和試驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)出很好的相似性。說(shuō)明流形元模擬結(jié)構(gòu)破壞，裂紋擴(kuò)展等方面是正確的。

圖4 混凝土受壓破壞應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖5 混凝土試樣單軸壓縮荷載下的破壞形態(tài)

從以上結(jié)果可以看出，擴(kuò)展的流形元對(duì)這種含有多結(jié)構(gòu)面的混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的斷裂過(guò)程模擬是非常準(zhǔn)確的，而且破壞后產(chǎn)生的多裂紋擴(kuò)展問(wèn)題也能很好的追蹤，可以很好的模擬混凝土試件的斷裂過(guò)程，可以部分代替試驗(yàn)研究，這解決了以往數(shù)值方法都不能很好解決的問(wèn)題。

4.3 混凝土單軸受拉破壞過(guò)程的流形元模擬本節(jié)采用圖1中所示的模型，頂部施加拉伸位移，速度為0.000 05m/s，骨料與砂漿界面抗拉強(qiáng)度Re=3.0MPa，用擴(kuò)展的二階流形元模擬其斷裂過(guò)程，圖6-圖8為得到的混凝土的斷裂模擬結(jié)果。

圖6 混凝土單軸受拉破壞斷裂過(guò)程

圖7 混凝土單軸受拉破壞應(yīng)力向量

從圖6、圖7可以看出，混凝土受力主要為拉應(yīng)力，其宏觀裂紋的方向垂直于位移加載方向，主要表現(xiàn)為橫裂紋。加載初期，數(shù)值試件骨料與砂漿的界面首先破壞，進(jìn)而這些裂紋向砂漿基質(zhì)中不斷擴(kuò)展，變形局部化逐漸表現(xiàn)出來(lái)，最后形成一條或多條大致垂直與拉伸荷載作用方向的宏觀裂紋。由于考慮了混凝土材料的非均勻性，加載初期，宏觀裂紋的路徑往往呈現(xiàn)曲折性，繞過(guò)骨料，在界面和砂漿基質(zhì)中擴(kuò)展。圖8應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)呈現(xiàn)出明顯的非線(xiàn)性特性。

圖9為試驗(yàn)得到的單軸受拉試件的破壞試件，形成的宏觀裂紋大致垂直于主拉應(yīng)力的方向，沿著砂漿或骨料與砂漿之間的界面破壞。這與數(shù)值模擬結(jié)果得到的裂紋擴(kuò)展從砂漿和骨料的界面開(kāi)始，裂紋的擴(kuò)展方向基本上繞過(guò)骨料，并且不是直線(xiàn)和連續(xù)的相符合。

4.4 不同界面強(qiáng)度的影響研究混凝土中砂漿與骨料的界面強(qiáng)度對(duì)混凝土強(qiáng)度影響較大，因此界面抗拉強(qiáng)度分別取0.3、1.0、2.0和3.0MPa，分別對(duì)4.3節(jié)中的單軸受拉試件進(jìn)行數(shù)值模擬，研究不同的界面抗拉強(qiáng)度對(duì)混凝土整體宏觀強(qiáng)度的影響。

當(dāng)骨料與砂漿界面取不同的抗拉強(qiáng)度時(shí)，裂紋出現(xiàn)的時(shí)刻和位置是不同的；在同一加載時(shí)刻，抗拉強(qiáng)度越大，裂紋出現(xiàn)越遲，試件破壞程度越低，這說(shuō)明骨料與砂漿的抗拉強(qiáng)度程度對(duì)于混凝土整體強(qiáng)度有很大的影響，因此澆筑灌漿時(shí)，增加其黏結(jié)程度，對(duì)提高混凝土的抗拉能力是有很大作用的。

圖8 混凝土單軸受拉破壞應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)

圖9 受拉試件試驗(yàn)破壞斷面

圖10為流形元模擬得出的各界面間取不同凝聚力時(shí)應(yīng)力-應(yīng)變對(duì)比曲線(xiàn)，從圖中可看出，提高界面的抗拉強(qiáng)度，可以使混凝土強(qiáng)度有很大提高，非線(xiàn)性趨勢(shì)也更加明顯，峰值過(guò)后應(yīng)力值下降較緩慢。說(shuō)明界面的抗拉強(qiáng)度對(duì)提高混凝土宏觀整體強(qiáng)度有一定的幫助。因混凝土是準(zhǔn)脆性材料，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)整體脆性較為明顯。這些結(jié)果符合試驗(yàn)的結(jié)果。可以說(shuō)本文建立的數(shù)值試樣，可以很好的反映混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，擴(kuò)展的流形元方法因其有一整套模擬裂紋追蹤和擴(kuò)展的功能，可以很好的模擬其斷裂過(guò)程及其力學(xué)特性。

圖10 界面間取不同凝聚力時(shí)單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)對(duì)比

5 結(jié)論

從細(xì)觀層次出發(fā)，把混凝土看作是由砂漿基質(zhì)、骨料的二相復(fù)合材料，為了考慮各相組分的非均勻性，借助蒙特卡羅方法，建立了隨機(jī)骨料模型。用研究開(kāi)發(fā)的可用于材料破壞過(guò)程分析的二階流形元法對(duì)混凝土細(xì)觀數(shù)值模型單軸壓縮、拉伸等試驗(yàn)進(jìn)行模擬，得出了試件的破壞模式以及應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)，也證實(shí)了黏結(jié)帶的力學(xué)性質(zhì)對(duì)于普通混凝土的宏觀斷裂過(guò)程起重要作用。其模擬得出斷裂過(guò)程的現(xiàn)象與試驗(yàn)結(jié)果具有相似性，應(yīng)力-應(yīng)變曲線(xiàn)表現(xiàn)出明顯的非線(xiàn)性，與實(shí)際相符，證明開(kāi)發(fā)的二階流形元方法對(duì)混凝土材料在各種受力條件下的斷裂過(guò)程及以及混凝土材料的力學(xué)性能研究是頗為有前途的方法。

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