☆宗 曉 唐劍嵐

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西桂林 541004）

立體幾何中的“螞蟻爬行最短路線”是個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，該課件的制作方法多樣，但是縱觀各種方法，皆是在二維的平面上解決問(wèn)題，這樣制作的圖形缺乏立體感，教師不易操作，學(xué)生不易觀看，而且方法原理復(fù)雜，學(xué)生不易理解。運(yùn)用3D幾何畫(huà)板優(yōu)化螞蟻爬行最短路線的課件制作，操作便捷，原理簡(jiǎn)單，立體視覺(jué)化效果好。本文將通過(guò)螞蟻爬行圓錐體這個(gè)案例來(lái)說(shuō)明運(yùn)用3D幾何畫(huà)板優(yōu)化螞蟻爬行最短路線課件的制作。

案例（如圖1）：在一個(gè)有蓋的圓錐形的紙杯的杯口點(diǎn)A處有一只螞蟻，它的家在圓錐的側(cè)面某點(diǎn)F處，求螞蟻沿紙杯表面爬行回家的最短距離？

圖1

一、題意分析

螞蟻沿著圓錐表面爬行回家有多種路線，總結(jié)分為兩大類：沿著圓錐側(cè)面和沿著圓錐的底面。根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原理，這兩大類中，最短路線分別是路線1：｜AF｜，路線 2：｜AE｜＋｜EF｜，其中｜AF｜為平面截圓錐側(cè)面的軌跡（如圖2）。

二、制作步驟

1.制作圓錐

利用【3d基本工具】｜【正交視圖定點(diǎn)】，在正交視圖中構(gòu)造圓錐底面圓心center″及點(diǎn)Z作為圓周上的一點(diǎn)，構(gòu)造圓。構(gòu)造正交視圖中圓center″圓周上的點(diǎn)Y；選中點(diǎn)Y和三維坐標(biāo)系中的點(diǎn)Y，構(gòu)造【軌跡】。在正交視圖中構(gòu)造圓錐頂點(diǎn)C。選擇三維坐標(biāo)系中的線段CY和正交視圖中的點(diǎn)Y，構(gòu)造【軌跡】。隱藏點(diǎn)Y、Z和線段CY。

2.制作圓錐體側(cè)面上的軌跡

（1）在正交視圖中圓 center″上構(gòu)造 3點(diǎn) A、D、E，以及弧AE和弧上點(diǎn)B；構(gòu)造弧AB及弧上的點(diǎn)G。在三維坐標(biāo)系中，連接線段 CA、CD、CE、CG，運(yùn)用【3d基本工具】｜【線段上的定點(diǎn)】，構(gòu)造線段CE、CD上的點(diǎn)F、H。

（2）作【直線】FH，ED，交于點(diǎn) I；作【直線】FA，EA，EG。連接點(diǎn) I、A，交直線 EG 于點(diǎn) J；連接 FJ，交線段CG于點(diǎn)K。選中點(diǎn)K和正交視圖中的點(diǎn)G，構(gòu)造【軌跡】。隱藏線段CD、所有直線及直線的交點(diǎn)。

（3）在正交視圖中，構(gòu)造弧AG，并且其上的點(diǎn)L；連接三維視圖中的線段CL，選中CL和正交視圖中的點(diǎn)L，構(gòu)造【軌跡】。將正交視圖中的點(diǎn)G、L與點(diǎn)B重合，分別【右鍵】｜【屬性】，取消【可以被選中】和【顯示標(biāo)簽】。

（4）在正交視圖中構(gòu)造【移動(dòng)按鈕B→E】和【移動(dòng)按鈕B→A】，命為“圓錐側(cè)面展開(kāi)”和“圓錐側(cè)面恢復(fù)”。

3.計(jì)算圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖圓心角

在正交視圖中【度量】弧AE和【度量】弧AB。運(yùn)用【3d基本工具】｜【獲取點(diǎn)的坐標(biāo)】得到點(diǎn)E、C兩點(diǎn)的空間坐標(biāo)；通過(guò)空間兩點(diǎn)間距離公式，【計(jì)算】｜母線EC｜。利用圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角公式：錐的側(cè)面展開(kāi)圖?！居?jì)算】｜CF｜，【計(jì)算】利用【縮放】｜縮放比例，構(gòu)造點(diǎn) F，【度量】｜AF｜。隱藏×1弧度，【計(jì)算】圓錐側(cè)面展開(kāi)的圓心角度數(shù)和圓錐側(cè)面展開(kāi)到母線CE處的圓心角度數(shù)。

4.制作圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

（1）在界面的空白處構(gòu)造一點(diǎn)C，【平移（｜EC｜/－90°）】得到點(diǎn)A；將線段AC以C為圓心，【旋轉(zhuǎn)（側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角）】得到點(diǎn)B，【旋轉(zhuǎn)（母線處的圓心角度數(shù)）】到點(diǎn)E，【構(gòu)造（扇形CAB）】，扇形CAB即是圓圓錐側(cè)面展開(kāi)圖。

（2）按照在空白處構(gòu)造圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的方法，在圓錐上以線段CA為起點(diǎn)，做圓錐的側(cè)面展開(kāi)。

5.螞蟻爬行路線

（1） 在三維坐標(biāo)系中計(jì)算｜AE｜、｜EF｜。路線 1：｜AF｜，路線 2：｜AE｜＋｜EF｜，并用不同的顏色標(biāo)注出。

6.制作按鈕，美化界面

制作路線 1、2的【顯示/隱藏】按鈕，命為路線 1、2，兩條路線、長(zhǎng)度和按鈕路線1、2的總的【顯示/隱藏】按鈕，命為螞蟻爬行路線。把不必要出現(xiàn)的地方隱藏。

最后的效果如圖2：

圖2

三、課件操作

在操作課件時(shí)，通過(guò)按鈕路線1、2直觀地展示兩條路線。移動(dòng)線段CE上的點(diǎn)F來(lái)變化路線1、2的長(zhǎng)度，其中點(diǎn)P是分界點(diǎn)，點(diǎn)F在線段CP上時(shí)，路線1最短，點(diǎn)F在線段PE上時(shí)，路線2最短。教師可以操控圓錐側(cè)面展開(kāi)/恢復(fù)按鈕來(lái)展示側(cè)面展開(kāi)的過(guò)程，還可以手動(dòng)拖動(dòng)正交視圖上的點(diǎn)B，動(dòng)態(tài)展示圓錐的側(cè)面展開(kāi)過(guò)程，圓錐底面圓展開(kāi)的弧長(zhǎng)等于扇形的周長(zhǎng)等。此外，通過(guò)操控扇形滑竿，可以從不同角度來(lái)觀看圓錐的側(cè)面展開(kāi)。這樣操作，突出教學(xué)重點(diǎn)和突破難點(diǎn)，有助于學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)。

四、課件特點(diǎn)

本制作方法異于二維制作的方法之處：

（1）立體效果好，圓錐體形象直觀。這是利用3D幾何畫(huà)板制作的最大優(yōu)勢(shì)，將圓錐側(cè)面以及側(cè)面展開(kāi)部分填色，使得圓錐更立體逼真。

（2）構(gòu)造爬行軌跡。通過(guò)Desargues定理，構(gòu)造過(guò)圓錐的平面，進(jìn)而構(gòu)造圓錐體表面上的軌跡,這是以往課件所沒(méi)有的。

（3）制作思想簡(jiǎn)單，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)?？v觀螞蟻爬行最短路線的課件，基本思想都是要借助構(gòu)造圖形來(lái)解決問(wèn)題，而利用3D幾何畫(huà)板可以將這些步驟省略。

[1]李燕清,任莎莎,唐劍嵐.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖課件的改進(jìn)及應(yīng)用[J].中小學(xué)電教,2009,(5).

[2]范冬生,傅恬.立體幾何圖形展開(kāi)問(wèn)題的課件及其制作[J].中學(xué)教學(xué)參考,2010,(20).

[3]馬玉峰.Desargues定理及其逆定理的應(yīng)用推廣[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,(2).