閔永生，羅景青，吳世龍

（解放軍電子工程學院電子對抗信息處理重點實驗室，安徽 合肥 230037）

0 引言

目前，對于星載基站的研究越來越多。由于受衛(wèi)星體積的限制，一般的星載基站都會采用小間距的陣列，而對于陣元間距小的陣列，其互耦問題一直是一個重要的研究方向。一般的解決互耦問題的方法都是先對互耦系數(shù)進行測量，再通過互耦系數(shù)的測量值來對DOA估計算法進行修正［1］。但互耦的測量精度往往不能滿足實際的工程應用，當用有誤差的互耦測量值對互耦效應進行補償時，會使陣列參數(shù)估計性能更加惡化。所以在實際工作中還要常常對互耦測量值進行不斷地校正。

現(xiàn)有的種種陣列互耦校正技術(shù)［2－3］中，互耦矩陣的建模大多沒有采用特殊的矩陣結(jié)構(gòu)，而且由于互耦矩陣的自由度較大，通常的校正算法的參數(shù)空間維數(shù)很大，帶來了龐大的運算量。文獻［4］利用了均勻線陣特殊的矩陣結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)了均勻線陣的互耦自校正，但沒能解決均勻圓陣的互耦問題。本文在文獻［4］的基礎(chǔ)上，基于均勻圓陣提出了一種互耦條件下方位估計與互耦自校正算法。

1 陣列結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)模型

1.1 陣列結(jié)構(gòu)

L元均勻圓陣［5］，這里定義的均勻圓陣是指陣元均勻分布在圓周上的二維稀布陣，如圖1所示，均勻圓陣的半徑為r。

陣元在圓陣上的方位角為：

陣元位置為：

假設(shè)入射信號為窄帶遠場信號，方位角和俯仰角分別為θ、β，均勻圓陣的陣元數(shù)目為L，入射信號的波長為λ，則第k個陣元相對于參考陣元相位差為：

即導向矢量表示為：

相應地，陣列流型矩陣可以表示為：

圖1 均勻圓陣結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Str ucture of circular array

1.2 互耦條件下的陣列數(shù)據(jù)模型

陣列導向矢量建模時，通常假設(shè)各個陣元相對于其他陣元獨立工作。然而陣元間的互耦效應在陣列天線的實際工作中常常是不可避免的，特別是陣元間距較小的陣列，陣元間的互耦效應更加明顯。陣元存在互耦時，陣列導向矢量可修正為a～（θ，β）＝Za（θ，β），那么相應地，陣列流型矩陣可表示為：

式（6）中，矩陣Z為反映陣元互耦效應的互耦矩陣。通常情況下，陣元間的互耦效應與陣元間距成反比；間距相同的陣元對應的互耦系數(shù)相同。而對于均勻圓陣，它的互耦矩陣又具有特殊矩陣結(jié)構(gòu)。

對于均勻圓陣，可以用一個帶狀循環(huán)矩陣進行建模［6］，如果陣列的互耦自由度為p，則循環(huán)矩陣的循環(huán)矢量可以定義為：

式（7）中，c（k）（k＝0，1，2，…，p－1）為陣元間互耦系數(shù)，c（0）表示陣元的自耦，其值為1。相應地對于自由度為3的5元均勻圓陣，其互耦矩陣可表示為：

存在互耦時，利用陣元間的互阻抗的概念進行研究，那么陣列最后的接收數(shù)據(jù)可以寫成：

對應地，陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣可表示為：

式（10）中，Rs＝ E ［s（t）sH（t）］為信源的協(xié)方差矩陣，I為單位矩陣，σ2為噪聲功率。

由子空間理論知識可知互耦存在時的MUSIC算法為：

2 算法描述

2.1 算法原理

對于互耦存在時的陣列導向矢量a～（θ，β），可以對其進行矩陣分解，使之成為兩個矩陣的乘積，一個矩陣只含有方位信息，一個矩陣只含有互耦信息，如式（12）所示：

式（12）中，z＝ ［c（0） c（1） … c（p－1）］T表示互耦矩陣中的非零元素，即互耦系數(shù)向量；L×p的矩陣T［a（θ，β）］可以根據(jù)均勻圓陣互耦矩陣的帶狀循環(huán)特性可以表示為

這就實現(xiàn)了方位信息和互耦信息的解耦合。

由子空間原理有，當 （θ，β）＝ （θ1，β1），（θ2，β2），…，（θN，βN）時：

但是我們注意到，由于互耦的影響，用式（16）來估計信號到達方向進行搜索時，維數(shù)由不存在互耦時的二維變?yōu)镹＋2p－2維，計算量太大，不利于工程實現(xiàn)。

但如將式（13）代入式（16），則有新的代價函數(shù)

設(shè)C（θ，β）＝TH［a（θ，β）T［a（θ，β）］。由于互耦系數(shù)不全為0，即z≠0，則式（17）成立的充要條件是矩陣C（θ，β）為奇異矩陣，可以看出C（θ，β）與互耦信息無關(guān)。一般情況下，rank C（θ，β［］）＝p，即C（θ，β）是滿秩的，當且僅當（θ，β）為信號真實方向時C（θ，β）才是奇異陣?；诖嗽?，我們可以得到一種信號到達方向與互耦矩陣聯(lián)合估計方法

或

式（19）中，λmin· 為求矩陣最小特征值的算子，det · 為求矩陣行列式的算子。

再利用估計出的方位角和俯仰角得到互耦系數(shù)：

式（20）中，emin· 為求矩陣最小特征值對應特征矢量的算子。

由以上分析可以看出，本算法的原理可以概括為：對互耦存在時的陣列導向矢量進行矩陣分解，使之成為方位信息矩陣T［a（θ，β）］與互耦信息矢量z的乘積，方位信息矩陣T［a（θ，β）］可以根據(jù)均勻圓陣互耦矩陣的特性重構(gòu)，而互耦信息矢量z由p（p為互耦自由度）個未知的互耦系數(shù)組成。再根據(jù)子空間原理，構(gòu)造新的代價函數(shù)，可以準確估計出信號的方位信息，再根據(jù)估計出的方位信息可以對互耦信息進行估計，進而實現(xiàn)互耦自校正。

2.2 算法步驟

根據(jù)以上的分析過程，現(xiàn)將基于均勻圓陣信號到達方向與互耦系數(shù)聯(lián)合估計方法總結(jié)如下：

3）根據(jù)式（13）、式（14）、式（15）計算重構(gòu)矩陣T［a（θ，β）］。

4）構(gòu)造空間譜估計器

或

5）根據(jù)式（20）得到互耦系數(shù)的估計值z^。

通過上述分析，可以看出提出的自校正算法利用了均勻圓陣互耦矩陣的帶狀循環(huán)特性，對互耦存在時的陣列導向矢量a～（θ，β）進行重構(gòu)，將耦合的方位俯仰參數(shù)（θ，β）和互耦系數(shù)矢量z“去耦”，根據(jù)重構(gòu)出的矩陣構(gòu)造新的代價函數(shù)，新的代價函數(shù)在（θ，β）為信號真實方向時才滿足條件，因此可以得到新的譜估計器，對譜估計器進行搜索就可以得到方位信息，然后根據(jù)估計出的方位就可以估計出陣列的互耦信息。另外，當均勻圓陣的互耦自由度p取1時，該算法就退化為一般二維MUSIC算法。

3 仿真實驗

下面用仿真實驗驗證本文提出的均勻圓陣互耦條件下的魯棒DOA估計及互耦系數(shù)估計算法的有效性。設(shè)均勻圓陣如圖1所示，均勻圓陣半徑為0.3λ，陣元數(shù)目為5，互耦自由度為3，互耦系數(shù)矢量z＝［1，0.782 1＋0.258 3i，－0.457 6＋0.246 9i］，這里的互耦系數(shù)是隨機選取的。

3.1 仿真1——互耦對均勻圓陣估計性能的影響

快拍數(shù)為100，信噪比為10 d B，兩個獨立源方位角分別為45°、60°，俯仰角分別為60°、30°。圖2（a）給出互耦未知的MUSIC譜，圖2（b）給出了互耦已知的MUSIC譜，圖2（c）為本文算法計算出的譜。

圖2 二維MUSIC譜Fig.2 2-D MUSIC spectr u m

圖2 （a）表明互耦未知的情況下MUSIC的估計性能很差，基本失效。圖2（c）表明本文提出的算法在互耦信息未知的條件下也可以準確地估計出信源DOA。

3.2 仿真2——算法的估計性能分析

本實驗中獨立信號源的方位角和俯仰角為45°、60°。圖3（a）給出了方位角均方誤差和信噪比的關(guān)系曲線，快拍數(shù)為200；圖3（b）給出了方位角均方誤差和快拍數(shù)的關(guān)系曲線，信噪比為5。

圖3 方位角均方誤差曲線Fig.3 Mean square err or cur ve of azi muth

圖3 說明了本文提出的算法在隨著信噪比和快拍數(shù)越來越大，估計性能越來越高，并趨于互耦已知情況下的估計性能。當快拍數(shù)大于300時，具有較高的估計精度。

3.3 仿真3——互耦系數(shù)的估計性能分析

表1給出了快拍數(shù)為100時，不同信噪比情況下互耦系數(shù)的估計結(jié)果。由于互耦系數(shù)矢量第一個元素為1，所以未考慮此值的估計情況。

表1 不同信噪比情況下互耦系數(shù)的估計結(jié)果Tab.1 Esti mates of coupling coefficient under different SNR

表1說明了當信噪比越來越大時，互耦系數(shù)的估計值越接近真實值，而且當信噪比大于5 d B時，均勻圓陣的互耦系數(shù)估計精度較高。

4 結(jié)論

本文提出了一種基于均勻圓陣的方位估計與互耦自校正算法。算法利用了均勻圓陣特殊的互耦特性，實現(xiàn)了對信號方位信息和陣列互耦信息的解耦合，將耦合的二維角與互耦系數(shù)聯(lián)合估計問題轉(zhuǎn)化為級聯(lián)估計問題，避免了高維參數(shù)的非線性搜索。試驗表明：提出的算法在互耦信息未知的條件能準確估計出信號的方位，同時還能估計出陣列的互耦信息，具有精度高，運算小的特點。研究成果對均勻圓陣的方位估計具有一定的理論意義和實際價值。

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