張 偉，趙云飛

ZHANG Wei, ZHAO Yun-fei

（中國計量學(xué)院 機電工程學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

零件的數(shù)字化是通過特定的測量設(shè)備和測量方法獲取零件表面離散點的幾何坐標(biāo)數(shù)據(jù)，在這基礎(chǔ)上進行復(fù)雜曲面的建模、評價、改進和制造。因此，高效、高精度地實現(xiàn)零件表面的數(shù)據(jù)采集是逆向工程實現(xiàn)的基礎(chǔ)和關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。零件表面數(shù)據(jù)采集方法可分為接觸式數(shù)據(jù)采集和非接觸式數(shù)據(jù)采集兩大類。

三坐標(biāo)測量機（CMM）是應(yīng)用最為廣泛的接觸式測量設(shè)備，它具有噪聲低、精度高和重復(fù)性好等優(yōu)點。接觸式測量包括點位觸發(fā)式數(shù)據(jù)采集和連續(xù)式數(shù)據(jù)采集兩種。點位觸發(fā)式數(shù)據(jù)采集的速度較低，一般只適合零件表面形狀檢測或需要較少的表面數(shù)字化場合；連續(xù)式數(shù)據(jù)采集的速度較快，可用于采集較大規(guī)模的數(shù)據(jù)。接觸式測量方法不足之處是對由較軟材料制造的零件產(chǎn)生測量誤差，測頭半徑需進行補償。

接觸式和非接觸式測量方法各有優(yōu)缺點，因此一些研究者應(yīng)用多傳感器信息融合的思想開發(fā)集成測量系統(tǒng)以發(fā)揮不同測量方法的特長。Shen[2]等通過主動視覺系統(tǒng)和接觸式CMM的集成，實現(xiàn)了由視覺測量進行曲面識別和粗定位，然后指引CMM進行高精度測量的功能。為使激光測頭和接觸式測頭實現(xiàn)優(yōu)勢互補，已有公司開發(fā)出實現(xiàn)激光掃描頭和接觸掃描頭互換的坐標(biāo)測量系統(tǒng)[3]。

盡管非接觸式激光三角形法在逆向工程中應(yīng)用發(fā)展較快，但鑒于接觸式CMM測量與非接觸式激光測量各有特點，它們在逆向工程中的應(yīng)用各有側(cè)重，相互補充。對于曲面形狀復(fù)雜，且精度要求也很高的零件，有時用接觸式坐標(biāo)測量機測量是最佳乃至唯一的選擇[4]。

根據(jù)三坐標(biāo)測量機測頭半徑補償時間可以將補償分為在線自動補償和離線數(shù)據(jù)處理補償。目前的CMM測量中，廣泛采用一種二維在線自動補償方法，即在測量時，將測量點和測頭半徑的關(guān)系都處理成二維情況，在測量時自動完成數(shù)據(jù)的測頭半徑補償。對一些由規(guī)則形狀組成的表面的測量，如平面、二次曲面，二維補償是精確的。但對于一些由自由曲面組成的復(fù)合曲面，測量方向和測量點的法矢有可能不一致，用二維補償方法進行補償會造成補償誤差。在誤差不能忽略的情況下，必須考慮對測量進行測頭半徑的三維補償。

文獻[5-11]研究了測頭半徑的三維補償，其中有的方法不適用于接觸式密集數(shù)據(jù)采集測頭半徑補償；有的方法[7,8]可用于接觸式密集數(shù)據(jù)采集測頭半徑補償，但在補償過程中存在較多中間處理環(huán)節(jié)，導(dǎo)致補償處理時間較長和補償精度不理想。本文擬開展基于自組織特征映射（SOFM）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]的接觸式密集數(shù)據(jù)采集測頭半徑三維智能化補償研究，以在測頭半徑補償效率和補償精度層面有所推進。

1 測頭半徑的三維補償模型

1.1 三角形網(wǎng)格自組織壓縮重建

用于散亂點數(shù)據(jù)壓縮的SOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)二維陣列模型如圖1所示。圖中網(wǎng)絡(luò)的輸入矢量就是復(fù)雜曲面上的測點矢量Pj(x,y,z)，網(wǎng)絡(luò)輸出層具有m×n個神經(jīng)元結(jié)點。網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元對曲面空間測量樣本點的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練來模擬曲面上的點與點之間的內(nèi)在關(guān)系，結(jié)點連接權(quán)矢量集{Wi}重構(gòu)曲面樣本點的內(nèi)在拓?fù)潢P(guān)系及實現(xiàn)對測點集{Pj}的工程近似化，實現(xiàn)曲面三維散亂點云的自組織壓縮，構(gòu)成三角剖分。

圖1所示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重調(diào)節(jié)算法如式(1)所示。

式中Pj為測點矢量；Wi(t)為連接權(quán)矢量；α(t)為修正率；Nc為以結(jié)點c為中心的輸出結(jié)點集合，如圖2所示，其中c為與輸入矢量Pj匹配最佳的輸出結(jié)點；β(di)是修正率加權(quán)函數(shù)，其中di為鄰區(qū)集合Nc中結(jié)點i到c之間的距離。按六角形陣列側(cè)抑制鄰區(qū)Nc訓(xùn)練調(diào)整網(wǎng)絡(luò)神經(jīng)元權(quán)重矢量，使網(wǎng)絡(luò)輸出層結(jié)點呈六角形陣列分布，可生成測量點集壓縮后的Delaunay三角逼近剖分。

圖1 數(shù)據(jù)壓縮二維陣列網(wǎng)絡(luò)模型

圖2 六角形陣列鄰區(qū)Nc

1.2 三角形網(wǎng)格頂點法矢

設(shè)欲重構(gòu)的曲面可以用參數(shù)方程表示如式(2)：

式中P表示曲面的笛卡兒坐標(biāo)(x,y,z)，Q表示曲面參數(shù)(u,v) 。對于曲面采樣測點矢量集，曲面參數(shù)可設(shè)為(x,y)。

基于自組織特征映射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的曲面重建模型有賴于SOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擴展，即利用無導(dǎo)師SOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)能力，由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)自己建立曲面參數(shù)方程表達(dá)式(2)。此式是一復(fù)雜的非線性變換，要用一個函數(shù)擬合所測得的數(shù)字化點群數(shù)據(jù)是困難的。為此可將式(2)在Qs處臺勞展開：

式中Ps，As和Qs可用擴展SOFM（ESOFM）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)而得。此式表示所構(gòu)造的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重矢量Ps處的微切平面方程。依據(jù)此式，微切平面(3)逼近曲面(2)，在Qs局域Fs中可達(dá)到很高的精度。Fs由下式定義：

式中s是激活神經(jīng)元，F(xiàn)s是神經(jīng)元s對應(yīng)的輸入空間，即感受野；?是輸入空間；Qr是神經(jīng)元r的外部輸入權(quán)重，即分類核心。

r為自組織特征映射神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)陣列中的神經(jīng)元，初始時，其外部輸入權(quán)重Qr隨機均布在輸入空間?。SOFM自組織學(xué)習(xí)算法可使r與Qr形成空間有序特征映射。通過SOFM算法擴展同時使r與（Pr, Ar）建立映射關(guān)系。Pr及Ar以隨機函數(shù)定義初始值。通過ESOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，學(xué)習(xí)Pr, Ar及Qr，以滿足式(3)。

按前述建立的ESOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，每一個神經(jīng)元s有一個感受野Fs以及外部輸入權(quán)重Qs，那么該神經(jīng)元的輸出就是Ps。當(dāng)輸入Q偏離Qs時，則神經(jīng)元的輸出由式(3)得到。這樣ESOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將整個數(shù)字化點群數(shù)據(jù)分成許多子區(qū)域，每個子區(qū)域用一個線性函數(shù)逼近（即微切平面逼近），每組權(quán)重各自對相應(yīng)的子區(qū)域負(fù)責(zé)。當(dāng)區(qū)域分得足夠細(xì)時，即神經(jīng)元數(shù)目足夠多時，擬合精度可以達(dá)到所要求的程度。式(3)中的As可用于計算相應(yīng)子區(qū)域權(quán)重矢量Ps（即三角形網(wǎng)格頂點）處的法向矢量ns，其計算公式如下：

式中As由ESOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后直接得到。

1.3 測頭半徑三維補償

測頭半徑補償?shù)年P(guān)鍵是確定曲面在接觸點處的法矢。測頭與被測曲面接觸時，球心一定在被測點的法線上，而且被測點一定在球心軌跡面過球心點的法線上。因此不論是得知被測面的法線方向或是球心面的法線方向，都能對測頭半徑進行補償。對于未知CAD模型的樣件的測頭半徑補償，只有根據(jù)測量點集信息計算通過球心點的法矢。

上述ESOFM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過訓(xùn)練，可得到三角形網(wǎng)格頂點{Pr}（逼近測頭球心點集）及其法矢{nr}，由此可以按式(7)計算測頭與工件的接觸點集{Pb}。

式中r為測頭半徑。

2 測頭半徑補償?shù)姆抡鎸嶒?/h2>

2.1 采用球面模型的仿真實驗

仿真實驗中，測頭半徑補償模型中的神經(jīng)元陣列包含m×n個神經(jīng)元（具體分別取三種組合：8×10，10×12，12×13），采用球面模型進行仿真實驗，測頭半徑為1mm，仿真實驗結(jié)果如圖3所示。

球面的參數(shù)方程如下。

圖3(a)表示的采樣點集作為測頭球心仿真測量的坐標(biāo)點集（密集散亂點集），測頭球心球面采樣的參數(shù)范圍為：u=0～π/7，v=0～π/6，R=10mm。采樣點集包含1320個點，其中邊界點集包含120個點；圖3(b)表示逼近測頭球心點集的三角形網(wǎng)格及網(wǎng)格頂點處的法矢，圖中也繪制了邊界點集（m×n=8×10）；圖3(c)表示工件球面為凸球面時，采樣點集經(jīng)過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網(wǎng)格（逼近測頭與工件的接觸點集，m×n=8×10）；圖3(d)表示工件球面為凹球面時，采樣點集經(jīng)過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網(wǎng)格（逼近測頭與工件的接觸點集，m×n=8×10）；圖3(e)表示測頭半徑補償模型中的神經(jīng)元陣列包含10×12個神經(jīng)元的測頭半徑補償仿真實驗結(jié)果（工件球面為凹球面）；圖3(f)表示測頭半徑補償模型中的神經(jīng)元陣列包含12×13個神經(jīng)元的測頭半徑補償仿真實驗結(jié)果（工件球面為凹球面）。

圖3 仿真實例1

仿真實驗中經(jīng)過采樣數(shù)據(jù)壓縮和測頭半徑三維補償后生成的三角形網(wǎng)格逼近理想工件球面的逼近精度如表1所示。表1中分別表示了圖3(d)～(f)仿真實驗的逼近精度。

表1中Ds表示三角形網(wǎng)格逼近測頭球心面的精度；Dw表示三角形網(wǎng)格逼近工件表面的精度；Dwmax表示Dw中的最大值；Dwmin表示Dw中的最小值；T表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時間。三角形網(wǎng)格的逼近精度表示三角形網(wǎng)格頂點集逼近曲面的程度，本文按(9)式進行計算度量。

式中m×n表示測頭半徑補償模型中的神經(jīng)元陣列所包含的神經(jīng)元；Rp為理想工件球面的半徑。圖3(c)所示情況下，Rp取為9mm；圖3(d)～(f)所示情況下，Rp取為11mm。Wi表示三角形網(wǎng)格頂點的權(quán)重矢量，即三角形網(wǎng)格頂點的空間位置。

表1 仿真實驗的精度（距離單位：mm）

2.2 采用復(fù)雜曲面模型的仿真實驗

仿真實驗中，測頭半徑補償模型中的神經(jīng)元陣列包含12×15個神經(jīng)元，采用復(fù)雜曲面模型進行仿真實驗，測頭半徑為1.5mm，仿真實驗結(jié)果如圖4所示。

圖4(a)表示測頭球心仿真測量采樣點集，測頭球心掃掠的曲面如公式(10)所示，按照Δx=Δy=π/60cm進行采樣，得到有序采樣點集。采樣的參數(shù)范圍為：x=3π/4～5π/4，y=π/3～5π/6。測量點集包含961個點；圖4(b)表示逼近測頭球心仿真測量采樣點集的三角形網(wǎng)格及網(wǎng)格頂點處的法矢；圖4(c)表示工件表面為凸面時，采樣點集經(jīng)過壓縮及測頭半徑補償后生成的三角形網(wǎng)格（逼近測頭與工件的接觸點集）。

圖4 仿真實例2

無論是簡單曲面球面的密集散亂仿真測量點集還是復(fù)雜曲面的密集有序仿真測量點集作為仿真實驗對象，在仿真實驗層面均驗證了所構(gòu)建的測頭半徑三維補償模型的有效性。在采用球面模型的仿真實驗中可以得到：1）Dw- Ds的值為亞微米級，非常微小，這可以間接證明所求的測頭半徑補償法矢非常接近理想補償法矢；2）隨著神經(jīng)元數(shù)目增加，補償后的三角形網(wǎng)格逼近理想工件表面的精度Dw得到提高，Dw精度可以滿足工程需要；3）補償后的三角形網(wǎng)格存在邊緣誤差，即三角形網(wǎng)格的邊界網(wǎng)格頂點偏離測頭與工件表面的接觸點集中的邊界點集，通過增加神經(jīng)元數(shù)目可以減小邊緣誤差。測頭半徑補償模型在采用復(fù)雜曲面模型的仿真實驗中，呈現(xiàn)出其在采用球面模型的仿真實驗中相同的效果。

3 結(jié)束語

基于三坐標(biāo)測量機的接觸式連續(xù)掃描測量采集的坐標(biāo)數(shù)據(jù)是測頭中心的坐標(biāo)值，而非測頭與被測量件的接觸點的坐標(biāo)值。為了擬合出較精確的曲面，必須對測頭半徑進行三維精確補償。本文構(gòu)建的三坐標(biāo)測量機接觸式數(shù)據(jù)采集測頭半徑三維智能化補償模型，實現(xiàn)了未知CAD模型零件的接觸式密集數(shù)據(jù)采集測頭半徑三維補償。如此得到的經(jīng)過密集測量數(shù)據(jù)壓縮與測頭半徑補償?shù)谋平慵砻娴娜切尉W(wǎng)格，既可用于構(gòu)造散亂數(shù)據(jù)插值曲面的前置處理，也可用于快速原型STL格式的零件幾何表示。本文的研究工作對我國有關(guān)先進制造業(yè)如汽車業(yè)、摩托車業(yè)、模具業(yè)、五金業(yè)、家電業(yè)等行業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新逆向工程具有重要意義。

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