211100 江蘇南京東山外國語學(xué)校高中部 柳發(fā)志 郭 俊

三角函數(shù)最值問題及其應(yīng)用
——例談高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的有效選題

211100 江蘇南京東山外國語學(xué)校高中部 柳發(fā)志 郭 俊

高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)的主要目標(biāo)應(yīng)是引導(dǎo)學(xué)生將所有高中數(shù)學(xué)知識(shí)和方法系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，熟悉知識(shí)間的聯(lián)系，掌握分析解決問題的一般思維方法，進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，明確“考什么”、“怎么考”，及時(shí)發(fā)現(xiàn)在前階段的復(fù)習(xí)中哪些知識(shí)點(diǎn)和方法技能掌握不牢固，哪些地方復(fù)習(xí)還不到位，做好查漏補(bǔ)缺、鞏固提升，第二輪復(fù)習(xí)一般以專題的形式，主干是解題訓(xùn)練，以此提高學(xué)生的解題能力.顯然，學(xué)生解題能力的形成，并不取決于解題數(shù)量的多少，而與題目的質(zhì)量有密切的關(guān)系，因此要想取得復(fù)習(xí)效益最大化，教師精選例習(xí)題顯得尤為關(guān)鍵，下面以“三角函數(shù)最值問題及其應(yīng)用”這一專題談?wù)劰P者對(duì)第二輪復(fù)習(xí)有效選題的一些思考.

“三角函數(shù)最值問題及其應(yīng)用”是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，也是第第一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，那么第二輪復(fù)習(xí)中還應(yīng)做些什么呢?應(yīng)該說，此時(shí)的復(fù)習(xí)要做到減少與第一輪的重復(fù)，選題應(yīng)重點(diǎn)突出，針對(duì)性強(qiáng)，注重知識(shí)的整合、方法的梳理，根據(jù)學(xué)生現(xiàn)狀，讓更多的學(xué)生感到有新意，有發(fā)展，有新收獲，從以上思考出發(fā)，對(duì)這一專題采用系列題組教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生比較鑒別，進(jìn)行方法、規(guī)律的歸納總結(jié).

鏈接 (2010南京高三模擬)如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1m、圓心角為60°的扇形紙板AOB上剪出一個(gè)平行四邊形MNPQ，使點(diǎn)P在AB弧上，點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)∠BOP=θ，平行四邊形MNPQ的面積為S.

圖1

(1)求S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;

(2)求S的最大值及相應(yīng)的θ的值.

點(diǎn)評(píng) 本例是三角函數(shù)最值問題中的常規(guī)典型問題，本質(zhì)是研究運(yùn)用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)，學(xué)生比較熟悉，選取此例指導(dǎo)學(xué)生扎實(shí)抓好基礎(chǔ)落實(shí)，熟練把握解題思路，注意思維嚴(yán)謹(jǐn)，在以三角函數(shù)為模型的一些應(yīng)用題中，常常在得到類似函數(shù)解析式后求解最值，鏈接中的應(yīng)用題源于教材，是此類問題的代表，高考中也常常出現(xiàn).

點(diǎn)評(píng) 本例與例1形式上有相似之處，通過比較發(fā)現(xiàn)差異，解法上也有較大差異，這兒，視cosx為變量，聯(lián)想二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題，通過此例，也提示學(xué)生注意題設(shè)條件，靈活選擇合適方法解題.

鏈接 (2008江蘇高考)如圖2，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B及 CD的中點(diǎn) P處.AB=20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，計(jì)劃在矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)且與A，B等距的O點(diǎn)建污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，PO.記鋪設(shè)管道的總長度為ykm.

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

(ⅰ)設(shè)∠BAD=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù);

(ⅱ)設(shè)OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù);

(2)請(qǐng)你選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠O的位置，使三條污水管道的總長度最短.

點(diǎn)評(píng) 本例在形式上再次變化，出現(xiàn)了分式，教材中未曾出現(xiàn)，求解時(shí)就要求學(xué)生能站在高處看問題，通過解析式的適當(dāng)變形，可視sinx+cosx為一整體，通過換元，轉(zhuǎn)化為一常見的分式形式的函數(shù)，可類比例2，但是如果解析式中兩分子的系數(shù)不相同，這時(shí)還這樣處理就比較困難了，因此，還可以將該函數(shù)視作一“普通的函數(shù)”，而不僅僅是“三角函數(shù)”，這時(shí)就聯(lián)想到可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具，先通過導(dǎo)數(shù)方法研究這一函數(shù)性質(zhì)，再運(yùn)用性質(zhì)求解最值，鏈接中的問題一般選用(i)中得到的函數(shù)求解比較方便，也體現(xiàn)了解題方法的優(yōu)化.

圖2

點(diǎn)評(píng) 本例在例3的基礎(chǔ)上再次變化，那么到底該選擇怎樣的解題思路與方法呢?注意到sin2x+cos2x=1及sin2x＞0，cos2x＞0，聯(lián)想到基本不等式運(yùn)用中的常見問題，就有了解法.這兒更多的是引導(dǎo)學(xué)生善于觀察與發(fā)現(xiàn)，真正實(shí)現(xiàn)從數(shù)學(xué)運(yùn)用的高度去思考，關(guān)注通性、通法，還要注意方法的優(yōu)化.

對(duì)于這一專題為什么選用以上四例，下面再作簡要說明.

1 專題復(fù)習(xí)還應(yīng)低起點(diǎn)，抓落實(shí)

從例1出發(fā)，雖說學(xué)生對(duì)此類問題比較熟悉，但在熟練程度上是否已達(dá)到要求，在第二輪中還需整固，通過觀察發(fā)現(xiàn)，明白解題根源，解題目標(biāo)明確，能迅速將解析式進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，這兒也對(duì)三角變換做回顧與檢查，另外，對(duì)題中出現(xiàn)角的范圍約束是否已引起注意并能用好該條件，通過本例應(yīng)該說可以對(duì)三角變換及三角函數(shù)性質(zhì)運(yùn)用整體上作回顧與整合.

2 專題復(fù)習(xí)必須多比較，重方法

例1與例2形式上類似，但實(shí)際上差別很大，審題時(shí)是否出現(xiàn)誤讀?通過比較，

是否能將二次函數(shù)知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)串聯(lián)起來，快速合理切入解題?而到了例3、例4，又需要怎樣去分析判斷，怎樣合理選擇方法?這兒就要求學(xué)生能自覺從整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系出發(fā)去思考問題解決方案，面對(duì)條件的變化，是否束手無策，能否克服困難?對(duì)學(xué)生的心理品質(zhì)也提出要求.

3 專題復(fù)習(xí)必須成系統(tǒng)，高視角

1 石寅初.考試研究.南京：考試研究編輯部，2011，6

2 涂榮豹.數(shù)學(xué)之友.南京：數(shù)學(xué)之友雜志社，2010，4

20111128)