原冠秀
(河南科技學院數(shù)學系 河南 新鄉(xiāng) 453003)
自從20世紀60年代美國科學家Lorenz[1]在氣象數(shù)值研究中偶然發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來,混沌已在許多領域中獲得了巨大而深遠的影響,并且許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼被提出,如Rossler系統(tǒng)[2],并且得到了廣泛的研究.混沌控制與同步已經(jīng)應用到很多方面,如生物工程、信息過程、信息保密通信,以及進行經(jīng)濟預測和工程管理等.混沌控制與同步的方法有很多種,如線性與非線性反饋控制[3]active控制[4]等.
文獻[5]研究了一個簡化的Lorenz混沌系統(tǒng):
其中 c為系統(tǒng)參數(shù),當 c∈(-1.59,7.75)時,系統(tǒng)是混沌的,特別的當c=-1時,該系統(tǒng)就為典型的Lorenz混沌系統(tǒng).當c=-1.5時,其混沌吸引子如圖1所示,本文考察c<0的情況.
圖 1 c=-1.5 時的吸引子
將系統(tǒng)(1)作為驅動系統(tǒng),響應系統(tǒng)為
其中 u=[u1(t),u2(t),u3(t)]T,作為 active 控制函數(shù).
令 e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,則誤差系統(tǒng)為
取 active 控制函數(shù) u=[u1(t),u2(t),u3(t)]T為
則系統(tǒng) (3)化為
則系統(tǒng)(4)轉化控制函數(shù) v=[v1(t),v2(t),v3(t)]T的一個線性系統(tǒng).
取 v=[v1(t),v2(t),v3(t)]T=A(e1,e2,e3)T,其中
則有
圖2 線性反饋控制下兩個系統(tǒng)的同步誤差
用MATLAB對誤差系統(tǒng)(3)進行數(shù)值仿真,驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的初始值分別取為(0.1,0.5,0.2)和(0.6,0.2,0.3),選取c=-1,則系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)是全局同步的,如圖 2 所示.
[1]Lorenz EN.Deterministic non-periods flows[J].J Atmos Sci,1963,20:130-141.
[2]R?sser OE.An equation for continuous chaos[J].Phys.Lett A,1976,57:397-398.
[3]Chen M,Han Z.Controlling and synchronizationchaotic Genesio system via nonlinear feedback control[J].Chaos Solitons Fractals,2003,17:709-716.
[4]Ahmet Ucar.Synchronization of the unified chaotic systems via active control[J].Chaos Solitons Fractals,2006,27:1292-1297.
[5]Kehui Sun,J.C.Sprott.Dynamics of simplified Lorenz system[J].Int J Bifurcat Chaos 2009,19:1357-1366.