唐仁忠 劉鳳麗 孫從亞

0 引言

當(dāng)前的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是以強(qiáng)度的極限承載力為基礎(chǔ)的，實(shí)際工程中混凝土構(gòu)件裂縫的形成大多是由于材料的拉應(yīng)力或拉應(yīng)變達(dá)到相應(yīng)的極限值而引起的，因此對(duì)混凝土的受拉進(jìn)行研究不但具有一定的理論意義，而且有重要的實(shí)際價(jià)值。

混凝土的破壞基本原理是微開裂，也即微裂縫的形成、擴(kuò)展、貫通的過程，這一過程反映了混凝土的力學(xué)性能和應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的響應(yīng)，因此用損傷理論分析混凝土的破壞過程是合適的。國內(nèi)外學(xué)者利用損傷理論對(duì)混凝土的損傷行為作了大量工作，提出了一些有效的混凝土損傷模型[1］，國外的有Kachanov損傷模型、Loland受拉損傷模型、Mazars損傷模型等;國內(nèi)主要有分段線性模型和分段曲線模型等。

混凝土是一種單軸抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于抗拉強(qiáng)度的材料，在單軸受拉狀態(tài)下近似彈脆性材料。因此，本文基于Najar損傷理論[2］，從量耗散的角度提出一種由高斯積分算法計(jì)算損傷的混凝土單軸受拉損傷模型。

1 損傷模型

從熱力學(xué)角度看，損傷變量表示物質(zhì)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不可逆的變化過程，因此是一種內(nèi)變量，用這種內(nèi)變量來描述損傷的演變發(fā)展。借助Kachanov的“連續(xù)度”的概念，連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)將材料的損傷描述為有效受力面積的減少，于是經(jīng)典損傷變量被抽象為:

其中，A為材料受損前的截面面積;ˉA為受損后的有效受力面積;D=0為無損狀態(tài);D=1為完全破損狀態(tài)。

基于Najar損傷理論的損傷變量定義為:

其中，W0為無損狀態(tài)應(yīng)變能密度，W0=E0·ε2/2;Wε為損傷狀態(tài)下的應(yīng)變能密度，Wε=σ·ε/2，σ，ε分別為損傷狀態(tài)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變。對(duì)于式(2)，當(dāng)Wε=W0，D=0;當(dāng) Wε?W0，D→1;當(dāng)0 ＜Wε＜W0，0＜D＜1，故用式(2)描述混凝土的損傷發(fā)展是合理的。

在Najar損傷理論中，損傷狀態(tài)的應(yīng)變能按線性求得，即Wε=σ·ε/2，圖1中陰影部分，其顯然要比實(shí)際的小，從而由其計(jì)算得的損傷就要比實(shí)際的大。損傷狀態(tài)下應(yīng)變能的計(jì)算精確與否直接關(guān)系到損傷逼近真實(shí)的程度。文獻(xiàn)[3］從能量耗散角度提出分段線性損傷模型;文獻(xiàn)[4］用辛普生積分法從能量耗散角度研究損傷，模型都較Najar線性方法有所提高。辛普生積分法較分段線性法精度有所提高，但辛普生積分法只適用于積分區(qū)域端點(diǎn)在內(nèi)的積分點(diǎn)等間距分布，因此對(duì)積分點(diǎn)的選取有所限制;同時(shí)對(duì)于n個(gè)積分點(diǎn)，辛普生積分法的精度為n－1。因此本文提出應(yīng)用高斯積分法計(jì)算損傷狀態(tài)下的應(yīng)變能，高斯積分算法適用于積分點(diǎn)不等間距的情況，更重要的是在n個(gè)積分點(diǎn)上，高斯積分算法的精度可以達(dá)到2n－1次，這樣在相同的積分點(diǎn)數(shù)情況下可以更好的逼近實(shí)際值，從而用其計(jì)算損傷狀態(tài)下的應(yīng)變能更精確，損傷更接近真實(shí)損傷。

若將待積分應(yīng)變區(qū)間分成N個(gè)小區(qū)間，對(duì)每個(gè)小區(qū)間應(yīng)用高斯積分法，將在每個(gè)小區(qū)間算得的應(yīng)變能求和就得能到整個(gè)損傷狀態(tài)的應(yīng)變能密度:

將式(3)代入式(2)可得:

由上式對(duì)已知的單軸受壓的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，在劃分的足夠小的應(yīng)變區(qū)間上，編制計(jì)算機(jī)程序就可得到損傷隨應(yīng)變的變化規(guī)律，進(jìn)而可以直觀地描述混凝土的損傷演變過程。

2 損傷模型驗(yàn)證

選取GB 50010-2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范推薦的單軸受拉應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系式[5］:

當(dāng)x≤1時(shí):

當(dāng)x＞1時(shí):

其中，x=ε/εt，εt為與 ft對(duì)應(yīng)的峰值應(yīng)變，y= σ/ft，ft為混凝土單軸抗拉強(qiáng)度;at為單軸受拉應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系曲線下降段參數(shù)，具體可以查閱GB 50010-2002混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中表C.2.2。

由圖2可知，除Loland模型[6］接近直線外，其余模型都是外凸的，損傷演化趨勢(shì)是一致的;從圖形的走勢(shì)來看，Mazars模型[7］最陡，損傷演化得相對(duì)最快，Loland模型演化得相對(duì)最慢，而本文模型介于分段曲線與分段線性模型二者之間且比較平緩光滑，因此應(yīng)用Mazars模型和分段線性模型描述高強(qiáng)度脆性混凝土受拉損傷演化較為合適，Loland模型可用以描述低強(qiáng)度混凝土的損傷演化，本文模型與分段曲線模型比較適合描述中強(qiáng)度混凝土的損傷演化。

本文模型在初始段估計(jì)的損傷值偏大，這在一定程度上與本模型從開始加載就考慮損傷的發(fā)展有關(guān)，從損傷曲線的形狀可知本文基于能量耗散理論建立的損傷模型是合理的。

3 結(jié)語

通過與已有單軸受拉損傷模型的對(duì)比可以得出:本文基于Najar損傷理論，從能量耗散的角度提出的混凝土單軸受拉損傷模型是合理的，模型能夠合理的解釋混凝土的損傷發(fā)展。模型采用了高斯積分算法計(jì)算損傷，結(jié)果的精度相對(duì)更精確。但是，模型只選取了強(qiáng)度為C30的混凝土進(jìn)行了理論驗(yàn)證，應(yīng)該從試驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用的角度對(duì)模型的有效性做進(jìn)一步驗(yàn)證。

[1]董毓利.混凝土非線性力學(xué)基礎(chǔ)[M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，1997.

[2]Krajcinovic D，Lemaitre J.Continuum damage mechanics theory and applications[M］.New York:Springer Verilag，1987:233-294.

[3]趙 雷，陳 虬.混凝土構(gòu)件的一種新分段線性損傷模型[J］.重慶交通學(xué)院學(xué)報(bào)，1996，15(1):27-33.

[4]王中強(qiáng)，于志武.基于能量損失的混凝土損傷模型[J］.建筑材料學(xué)報(bào)，2004，7(4):365-369.

[5]GB 50010-2002，混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范[S］.

[6]Loland K E.Continuous Damage Model for Load-response Estimation of Concrete[J］.Cement and Concrete Research.Pergamon Press，1980，1(10):395-402.

[7]Mazars J.Continuous Damage Theory-Applicationto Concrete[J］.Journal of Engineering，1980，115(2):345-365.