孫寧，方勇純

(南開(kāi)大學(xué)機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所，天津 300071)

一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制方法綜述

孫寧，方勇純

(南開(kāi)大學(xué)機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所，天津 300071)

近年來(lái)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)已經(jīng)成為機(jī)器人與自動(dòng)控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，本文對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng))的控制方法的研究狀況進(jìn)行了綜述.首先給出了欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并介紹了2種基本控制模式;隨后，對(duì)其主要的控制方法，包括最優(yōu)控制方法、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃法、部分反饋線性化方法、能量(無(wú)源)方法、變量降維法、分級(jí)控制設(shè)計(jì)方法及智能控制方法，展開(kāi)了分析與討論;在此基礎(chǔ)之上，對(duì)欠驅(qū)動(dòng)連桿控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)存在的抗干擾性、實(shí)用性及快速性等主要問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)要分析，并就今后的研究方向進(jìn)行了展望，如魯棒策略、飽和控制與有限時(shí)間控制等.

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng);機(jī)器人;智能控制

所謂欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，是指獨(dú)立的控制輸入維數(shù)少于系統(tǒng)自由度的一類系統(tǒng)，其本質(zhì)為非線性系統(tǒng).在現(xiàn)實(shí)中的很多系統(tǒng)都被設(shè)計(jì)為欠驅(qū)動(dòng)形式，主要是因?yàn)?1)系統(tǒng)本身的運(yùn)動(dòng)受到某種約束，如常見(jiàn)的非完整約束;2)省去部分驅(qū)動(dòng)器后，一方面可以減少設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度，提高系統(tǒng)的靈活性，另一方面可有效節(jié)約成本，降低系統(tǒng)自身的重量與體積，并減少能耗.根據(jù)上述2種不同的原因，可以將欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)大致分為2類:第一類是運(yùn)動(dòng)受限欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)［1］，如移動(dòng)機(jī)器人、航天飛行器、欠驅(qū)動(dòng)水面和水下航行器等，該類系統(tǒng)由于受到非完整約束等的影響，無(wú)法完成側(cè)移等運(yùn)動(dòng);另一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，主要包括各種起重機(jī)［2］(橋式起重機(jī)、臂式起重機(jī)、塔式起重機(jī))、倒立擺系統(tǒng)［3］、Furuta pendulum［4］、球棒(ball and beam) 系統(tǒng)［5］、TORA(translational oscillator with a rotating actuator)系統(tǒng)［6］、以及 Acrobot(Acrobat robot)［7］、Pendubot(pendulum robot)［8］等欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂，它們的系統(tǒng)狀態(tài)可看作“連桿”的平移(如倒立擺、起重機(jī)中的小車與球棒系統(tǒng)中的滑塊等的運(yùn)動(dòng))或旋轉(zhuǎn)(如Acrobot和Pendubot等系統(tǒng)中的旋轉(zhuǎn)臂的轉(zhuǎn)動(dòng))，都具有相似的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，且控制方法非常類似，基于此，不妨將它們統(tǒng)一歸類為欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng).上述2類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)模型、控制模式與控制方法等方面明顯不同，在本文中，將主要綜述欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的研究情況.

欠驅(qū)動(dòng)特性給系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與制造帶來(lái)了很大的方便，但是它往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)力學(xué)特性比全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)更加復(fù)雜，并使得系統(tǒng)狀態(tài)之間相互耦合或伴隨非完整約束，這些都給其控制帶來(lái)了巨大的挑戰(zhàn).研究欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不僅有著重要的理論意義，可以推動(dòng)自動(dòng)控制理論，尤其是非線性控制理論的發(fā)展，而且具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，例如當(dāng)全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的部分驅(qū)動(dòng)器失效時(shí)，它們就相應(yīng)地變成欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，此時(shí)，欠驅(qū)動(dòng)控制算法可作為應(yīng)急控制策略以保證系統(tǒng)仍然能正常運(yùn)行.值得指出的是，盡管倒立擺、球棒系統(tǒng)等基準(zhǔn)系統(tǒng)是專門為教學(xué)研究及驗(yàn)證不同的控制算法而設(shè)計(jì)的;但它們無(wú)一不來(lái)源于現(xiàn)實(shí)中某些復(fù)雜系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模型，因此對(duì)其進(jìn)行深入研究的意義深遠(yuǎn).正是由于這些原因，連桿類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外自動(dòng)控制及機(jī)器人領(lǐng)域最熱門的研究方向之一.

本文對(duì)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，重點(diǎn)分析了近年來(lái)針對(duì)這類系統(tǒng)提出的主要控制方法，以及獲得的研究結(jié)果，并對(duì)有待進(jìn)一步解決的問(wèn)題及未來(lái)的研究方向進(jìn)行了討論與展望.

1 動(dòng)力學(xué)模型與控制模式

1.1 動(dòng)力學(xué)模型與性質(zhì)

建立準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型，是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析與完成高性能控制器設(shè)計(jì)的保證.由于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)具有多變量、強(qiáng)耦合的性質(zhì)，借助傳統(tǒng)的牛頓力學(xué)分析方法為其建立準(zhǔn)確的模型非常困難.相比之下，歐拉－拉格朗日(Euler－Lagrange)法則可以通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的能量，方便地得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，因此被廣泛地應(yīng)用于復(fù)雜欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的建模.經(jīng)建模后，自由度為n，獨(dú)立控制量個(gè)數(shù)為m(m ＜n)的欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型具有如下統(tǒng)一的矩陣形式［3－9］:

式中:q∈Rn×1為系統(tǒng)狀態(tài)向量;M(q)∈Rn×r為慣量矩陣;V(q，)∈Rn×n為向心－柯氏力矩陣;G(q)∈Rn×1為重力因子向量;U∈Rn×1為控制向量，具體表示為

式中，ua∈Rn×1為驅(qū)動(dòng)向量.為了更加直觀地體現(xiàn)系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)特性，可將動(dòng)力學(xué)模型(1)進(jìn)一步改寫為

式中，各個(gè)變量分別對(duì)應(yīng)于式(1)中相應(yīng)矩陣或向量的分塊，下標(biāo)a與u分別表示驅(qū)動(dòng)環(huán)節(jié)與欠驅(qū)動(dòng)環(huán)節(jié).特別地，將式(2)中的欠驅(qū)動(dòng)部分單列如下:

式(3)是欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，它體現(xiàn)了系統(tǒng)可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)與不可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系.因此，它是對(duì)欠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行間接控制的前提和保障.

性質(zhì)1M(q)為正定對(duì)稱矩陣.

性質(zhì)2(q)/2－V(q，)是斜對(duì)稱矩陣.

這2條性質(zhì)被廣泛地應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析.

1.2 控制模式

根據(jù)控制目標(biāo)的不同，欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的控制模式可分為鎮(zhèn)定控制(regulation control)與軌跡跟蹤控制(trajectory tracking control)2種.

鎮(zhèn)定控制又稱點(diǎn)鎮(zhèn)定控制，是指設(shè)計(jì)一定的控制律，將系統(tǒng)從某一初始狀態(tài)鎮(zhèn)定到特定的期望狀態(tài)(一般是平衡點(diǎn))，并使得系統(tǒng)在該狀態(tài)保持穩(wěn)定.鎮(zhèn)定控制模式被廣泛地應(yīng)用于各種欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng).以二維橋式起重機(jī)系統(tǒng)為例，其系統(tǒng)狀態(tài)為臺(tái)車的水平位移和負(fù)載的擺角，而控制量為作用在臺(tái)車水平方向上的驅(qū)動(dòng)力，其鎮(zhèn)定控制主要考慮如下指標(biāo):一方面，臺(tái)車應(yīng)盡可能快地到達(dá)目標(biāo)位置，以保證負(fù)載的傳送效率;另一方面，在傳送過(guò)程中負(fù)載擺角應(yīng)盡可能小，在臺(tái)車到達(dá)目的地后擺角應(yīng)迅速衰減為零，以避免負(fù)載與周圍物體發(fā)生碰撞，提高系統(tǒng)的安全性和運(yùn)送效率.類似地，倒立擺、Acrobot、Pendubot等的搖起(swing up) 控制［3，7－8］及球棒系統(tǒng)的平衡(balance)控制［5］也屬于鎮(zhèn)定控制.

相應(yīng)地，軌跡跟蹤控制則是指設(shè)計(jì)一定的控制信號(hào)，使得系統(tǒng)狀態(tài)沿設(shè)定的軌跡穩(wěn)定運(yùn)行.在這里，軌跡是指系統(tǒng)狀態(tài)位置、速度和加速度隨時(shí)間變化的集合，而非僅僅是空間中的一條與時(shí)間無(wú)關(guān)的路徑.合理的軌跡規(guī)劃不僅可使欠驅(qū)動(dòng)自由度按照一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)［4，10］，而且可以有效地提高系統(tǒng)的運(yùn)行效率［11－12］.然而，由于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的軌跡生成必須滿足動(dòng)態(tài)約束關(guān)系(3)，即該類系統(tǒng)缺乏跟蹤空間任意軌跡的能力，因此其軌跡規(guī)劃與全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)相比更具有挑戰(zhàn)性.

2 控制方法及研究現(xiàn)狀

由于缺少部分驅(qū)動(dòng)器，欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)完全反饋線性化，從而導(dǎo)致全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制中的許多控制策略都不再適用.因此，如何對(duì)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)實(shí)施有效控制一直以來(lái)都是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外相關(guān)領(lǐng)域的研究人員對(duì)其進(jìn)行了深入研究，并取得了許多成功的研究成果.在本節(jié)，將對(duì)主要的控制方法及其研究現(xiàn)狀進(jìn)行綜合分析.

2.1 最優(yōu)控制方法

一般而言，最優(yōu)控制是指分析系統(tǒng)的模型和控制要求，通過(guò)構(gòu)造某個(gè)指標(biāo)函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu).然而，由于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)中存在不可驅(qū)動(dòng)的狀態(tài)/輸出，在構(gòu)造指標(biāo)函數(shù)和設(shè)計(jì)控制算法時(shí)只能包括部分性能，或者折衷考慮控制要求，而無(wú)法使所有控制指標(biāo)同時(shí)實(shí)現(xiàn)最優(yōu).如對(duì)于起重機(jī)而言，臺(tái)車的快速運(yùn)動(dòng)和負(fù)載擺動(dòng)的抑制相互沖突，在設(shè)計(jì)最優(yōu)控制律時(shí)只能考慮其中一個(gè)方面，或者把兩者進(jìn)行組合之后提出一個(gè)新的控制目標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)控制器.為此，Y.Sakawa等人針對(duì)線性化的模型設(shè)計(jì)了擺角最優(yōu)控制律，但該方法犧牲了系統(tǒng)整體的運(yùn)送效率［13］;J.Auernig等從系統(tǒng)的工作效率出發(fā)，充分考慮了臺(tái)車的最大運(yùn)行速度等限制，借助龐特里亞金(Pontryagin)極大值原理實(shí)現(xiàn)了最小時(shí)間控制，但卻難以控制負(fù)載傳送過(guò)程中擺角幅值的大?。?4］;而在文獻(xiàn)［15］中，K.Terashima等人首先建立了臂式起重機(jī)在三維空間中的直線傳輸模型，然后借助非線性最優(yōu)設(shè)計(jì)方法實(shí)現(xiàn)了負(fù)載的時(shí)間最優(yōu)傳輸，并較好地消除了負(fù)載的擺動(dòng)，遺憾的是，該策略同樣未能將負(fù)載的擺動(dòng)性能引入最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì).欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)不僅無(wú)法使全部性能指標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，而且其強(qiáng)耦合、非線性特性也為獲得最優(yōu)控制輸入的解析解(甚至是數(shù)值解)增加了很大的難度.為此，可以在求解最優(yōu)約束時(shí)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，如針對(duì)Furuta pendulum系統(tǒng)，文獻(xiàn)［16］將其有界輸入下的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題巧妙地轉(zhuǎn)換為在不超過(guò)輸入極限的前提下如何保證時(shí)間最短的問(wèn)題，并通過(guò)非線性優(yōu)化得到了數(shù)值解，從而成功地解決了該類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的非線性最優(yōu)控制問(wèn)題.

2.2 運(yùn)動(dòng)規(guī)劃法

運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是指為系統(tǒng)狀態(tài)/輸出規(guī)劃一條合理的運(yùn)行軌跡，使得當(dāng)系統(tǒng)沿該軌跡運(yùn)行時(shí)能實(shí)現(xiàn)特定的功能.它主要適用于平衡點(diǎn)自然穩(wěn)定的連桿系統(tǒng)，如各種起重機(jī)，該方法主要包括離線軌跡規(guī)劃［17－19］和輸入整形 2 種［20－25］.

以橋式起重機(jī)為例，離線軌跡規(guī)劃方法主要通過(guò)分析臺(tái)車與負(fù)載之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系來(lái)規(guī)劃臺(tái)車的運(yùn)行軌跡，為此既要保證臺(tái)車快速準(zhǔn)確定位，又要對(duì)負(fù)載擺動(dòng)(尤其是殘余擺動(dòng))進(jìn)行有效抑制.孫寧等人在文獻(xiàn)［17－19］中分別借助非線性耦合分析和相平面法規(guī)劃了一系列臺(tái)車軌跡，實(shí)現(xiàn)了良好的控制性能.離線規(guī)劃的軌跡一般用于前饋環(huán)節(jié)，在復(fù)雜的工作環(huán)境中，需要與反饋控制器相結(jié)合，以提高系統(tǒng)對(duì)外界干擾的魯棒性.

輸入整形的核心思想則是利用系統(tǒng)的頻率特性以及阻尼比等信息，對(duì)控制信號(hào)進(jìn)行合理規(guī)劃.為此，需要獲得一組整形脈沖序列(也稱整形器)，并將其與目標(biāo)控制指令進(jìn)行卷積，然后得到輸入信號(hào)來(lái)對(duì)系統(tǒng)施加控制［20－21］，這種方法在實(shí)際欠驅(qū)動(dòng)起重機(jī)系統(tǒng)中獲得了成功應(yīng)用.具體而言，S.Garrido等人將輸入整形方法成功地應(yīng)用于一個(gè)裝配了傳感器的大型三維橋式起重機(jī)上，實(shí)現(xiàn)了負(fù)載的精確定位，且在整個(gè)傳送過(guò)程中，負(fù)載擺動(dòng)保持在很小的范圍內(nèi)［22］.在文獻(xiàn)［23］中，E.Maleki等分析了臂式起重機(jī)中懸臂的旋轉(zhuǎn)及俯仰運(yùn)動(dòng)對(duì)負(fù)載擺動(dòng)的影響，并將零擺動(dòng)整形器應(yīng)用于負(fù)載的防擺控制，結(jié)果表明該方法可將擺動(dòng)幅度降低76%.一般情況下，起重機(jī)負(fù)載的運(yùn)動(dòng)可近似看作單擺運(yùn)動(dòng)，但在某些特定情況下，一些類型的負(fù)載與繩索會(huì)表現(xiàn)出雙擺效應(yīng)，導(dǎo)致負(fù)載的擺動(dòng)信息無(wú)法測(cè)量.為此，美國(guó)佐治亞理工學(xué)院的W.Singhose等人基于線性化定繩長(zhǎng)的雙擺吊車模型，設(shè)計(jì)了一種對(duì)系統(tǒng)在一定頻率范圍均有效的輸入整形器，它既有效地抑制了負(fù)載擺動(dòng)，又提高了系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的魯棒性［24］，隨后，他們又成功地將該方法引入到具有雙擺效應(yīng)的臂式起重機(jī)的負(fù)載防擺控制［25］.

2.3 部分反饋線性化方法

對(duì)于全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言，往往可以為其設(shè)計(jì)合適的控制器將其完全反饋線性化，從而實(shí)現(xiàn)良好的控制性能(如誤差指數(shù)收斂等).然而，由于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)自身的驅(qū)動(dòng)數(shù)目不夠，因此不能對(duì)其進(jìn)行完全反饋線性化.為此，控制專家M.W.Spong教授針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提出了一種部分反饋線性化方法，此方法通過(guò)定義一個(gè)新的控制量來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)變換，最終將其進(jìn)行局部線性化［26－27］，該方法被廣泛地應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的控制［28－30］.如在文獻(xiàn)［29］中，張曉華等人對(duì)橋式起重機(jī)的欠驅(qū)動(dòng)模型進(jìn)行了部分反饋線性化，通過(guò)坐標(biāo)變換將其轉(zhuǎn)換為嚴(yán)格前饋級(jí)聯(lián)規(guī)范型，并在此基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)了飽和控制器，實(shí)現(xiàn)了負(fù)載的準(zhǔn)確定位.高丙團(tuán)等則基于非配置部分反饋線性化方法為Furuta pendulum設(shè)計(jì)了一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，將擺桿迅速搖起到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近，然后切換到一個(gè)線性全狀態(tài)平衡控制器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)的穩(wěn)定控制［30］.值得指出的是，經(jīng)過(guò)部分反饋線性化后得到的系統(tǒng)仍然是非線性的，且其耦合性比變換之前更強(qiáng)，導(dǎo)致控制器結(jié)構(gòu)也變得更為復(fù)雜.

2.4 能量(無(wú)源)方法

一個(gè)系統(tǒng)的能量能反映它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，俄國(guó)數(shù)學(xué)家李雅普諾夫(Lyapunov)所提出的穩(wěn)定性直接分析方法，就是受物體運(yùn)動(dòng)時(shí)能量變化規(guī)律的啟發(fā)而得到的.通過(guò)分析系統(tǒng)的能量，可以方便地處理系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)非線性特性.因此，基于能量分析的策略自然地成為控制欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的有力武器.根據(jù)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型(1)，可得其能量為

式中:P(q)表示系統(tǒng)勢(shì)能，滿足 G(q)=?P(q)/?q，其他變量的定義同式(1).對(duì)式(4)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合性質(zhì)1和2，可得

對(duì)其兩邊關(guān)于時(shí)間求積分，有

那么，以U(t)為輸入，˙q(t)為輸出的系統(tǒng)是耗散、無(wú)源的.根據(jù)這一特性，國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用基于能量的方法，對(duì)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)開(kāi)展了廣泛研究［5－9，11－12，31－37］.其中，著名控制專家K.J.Astrom等［32］將能量分析方法應(yīng)用于單倒立擺系統(tǒng)的搖起控制，得出了小車的加速度與重力加速度應(yīng)滿足的關(guān)系，并將其在不同擺長(zhǎng)的雙倒立擺系統(tǒng)上進(jìn)行了應(yīng)用.遺憾的是，他們沒(méi)有考慮小車在水平方向的運(yùn)動(dòng)，也沒(méi)有給出雙倒立擺情形的穩(wěn)定性分析.為此，X.Xin等人借助不變集的穩(wěn)定性理論完成了雙倒立擺系統(tǒng)的漸近收斂分析［33］.通過(guò)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的無(wú)源性分析，I.Fantoni和X.Xin等分別構(gòu)造了包含能量平方項(xiàng)的李雅普諾夫函數(shù)，并設(shè)計(jì)了能量耦合控制律，使得系統(tǒng)狀態(tài)能進(jìn)入豎直方向任意小的鄰域，為平衡控制器的設(shè)計(jì)提供了保證［7－8］.除了搖起運(yùn)動(dòng)外，能量方法還可用于對(duì)系統(tǒng)的平衡控制［5－6］.在文獻(xiàn)［5］中，E.Li等充分考慮了球棒系統(tǒng)中棒的長(zhǎng)度，針對(duì)系統(tǒng)不同的平衡點(diǎn)分別設(shè)計(jì)了平衡穩(wěn)定控制器.自2001年起，方勇純研究組將能量方法廣泛地應(yīng)用于橋式起 重 機(jī) 的 控 制［9，11－12，34－37］. 具 體 而 言，文 獻(xiàn)［9］和［36］提出了一系列基于能量的非線性控制器以增強(qiáng)臺(tái)車和負(fù)載之間的耦合特性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了該控制策略的有效性.隨后，考慮到系統(tǒng)參數(shù)的不確定性及外界干擾的影響，他們又設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器來(lái)提高能量控制方法對(duì)實(shí)際工作環(huán)境的適應(yīng)能力［11－12，36－37］.

2.5 變量降維法

由于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)中包含了非直接驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)自由度，限制了常規(guī)非線性控制策略的應(yīng)用.為突破這一瓶頸，可以通過(guò)定義合適的復(fù)合變量來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行降維處理，使新的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)等于控制輸入維數(shù)，將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為以新變量為狀態(tài)的“全驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)”，之后就可以進(jìn)行常規(guī)的控制器設(shè)計(jì)與分析.在此，把基于這種思想的控制方法稱為變量降維法，常見(jiàn)的降維處理方法可歸為以下2類:

1)將驅(qū)動(dòng)變量和欠驅(qū)動(dòng)變量進(jìn)行組合生成新的綜合變量［38］，并以之為基礎(chǔ)來(lái)設(shè)計(jì)控制器.以橋式起重機(jī)為例，H.Lee等人將臺(tái)車位移誤差、速度誤差和負(fù)載擺角通過(guò)線性組合得到一個(gè)復(fù)合變量，并且證明了當(dāng)該變量趨于零時(shí)，各分量漸近收斂，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了常規(guī)的滑模控制器使復(fù)合變量收斂于零，從而實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)鎮(zhèn)定［39］.文獻(xiàn)［40］則將可驅(qū)動(dòng)量和不可驅(qū)動(dòng)量通過(guò)非線性組合得到一個(gè)新的變量，然后借助標(biāo)準(zhǔn)的反步法為一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種半全局鎮(zhèn)定控制器，并將其成功地應(yīng)用于倒立擺系統(tǒng).

2)定義分級(jí)滑模面，即為可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)和不可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)分別定義一級(jí)滑模面，然后將一級(jí)滑模面線性組合為二級(jí)滑模面，進(jìn)而可借助滑?？刂频确椒▉?lái)設(shè)計(jì)控制器.由于滑模面的引入，該方法可保證控制系統(tǒng)對(duì)外界干擾與模型不確定性的魯棒性.在文獻(xiàn)［41］中，中科院自動(dòng)化所的易建強(qiáng)教授研究組針對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，采用分級(jí)滑模方法，定義了分級(jí)滑模面，并證明了各級(jí)滑模面的穩(wěn)定性，從而保證了所有系統(tǒng)狀態(tài)的漸近收斂.之后，他們又將該方法用于倒立擺與Pendubot的控制，都取得了較好的效果［42－43］.針對(duì)水平欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的控制問(wèn)題，林壯等人為系統(tǒng)變量定義了分級(jí)滑模面，并設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反向遞推控制律，避免了常規(guī)滑?？刂破鞯亩墩?chattering)現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)了整個(gè)系統(tǒng)的漸近鎮(zhèn)定［44］.

2.6 分級(jí)控制設(shè)計(jì)法

與變量降維法相類似，另一種常見(jiàn)的控制方法是先為驅(qū)動(dòng)狀態(tài)和不可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)分別設(shè)計(jì)虛擬控制量，使得它們能達(dá)到各自的期望狀態(tài)，然后將這些虛擬控制量通過(guò)組合生成新的控制量，并將其作為系統(tǒng)最終的控制輸入.本文稱這種設(shè)計(jì)策略為分級(jí)控制設(shè)計(jì)法，該方法可提高控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的靈活性.具體而言，針對(duì)橋式起重機(jī)的控制問(wèn)題，孫寧等首先為臺(tái)車的水平運(yùn)動(dòng)選取了一條參考軌跡以保證臺(tái)車的精確定位，同時(shí)為負(fù)載設(shè)計(jì)了抗擺環(huán)節(jié)來(lái)抑制負(fù)載擺動(dòng)，最后將兩者結(jié)合在一起，并借助迭代策略對(duì)合成軌跡進(jìn)行修正，實(shí)現(xiàn)了良好的控制性能［17－18］.文獻(xiàn)［45］則為臺(tái)車的快速運(yùn)行和負(fù)載的擺角抑制分別設(shè)計(jì)了模糊位置和防擺控制器，隨后將兩者線性疊加在一起，作為總的控制輸入.一般而言，該方法能較好地實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的有效控制，然而，在分級(jí)設(shè)計(jì)虛擬控制量后，需將兩者通過(guò)各種方式進(jìn)行結(jié)合以生成實(shí)際控制輸入，這樣使得最終的實(shí)際控制效果為分級(jí)設(shè)計(jì)時(shí)期望效果的折衷.為此，在文獻(xiàn)［46］中，劉殿通等借助模糊規(guī)則，根據(jù)當(dāng)前系統(tǒng)輸出的情況來(lái)在線調(diào)整各個(gè)虛擬控制分量之間線性組合的權(quán)重，改善了控制性能的“折衷”問(wèn)題.

2.7 智能控制方法

上述絕大多數(shù)方法的控制性能在很大程度上都取決于系統(tǒng)建模的準(zhǔn)確度，而智能控制算法，如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法等則可以不依賴于模型，并且隨著人工智能、模式識(shí)別及計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，它們開(kāi)始大量地被應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制.

模糊控制可以在一定程度上模擬人類的操作經(jīng)驗(yàn).針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)，研究人員通常直接將系統(tǒng)的輸出或狀態(tài)量作為模糊輸入量來(lái)制定相應(yīng)的模糊規(guī)則［47－48］，也有專家將系統(tǒng)一些觀測(cè)值或輔助變量作為模糊規(guī)則的輸入，如臺(tái)灣中原大學(xué)的C.Chang等在文獻(xiàn)［49］中通過(guò)選取臺(tái)車定位誤差與負(fù)載位置的投影來(lái)計(jì)算橋式起重機(jī)的控制輸入.文獻(xiàn)［50］則為機(jī)械臂關(guān)節(jié)定義了能量變量，并根據(jù)其制訂了相應(yīng)的模糊規(guī)則.一般而言，當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，需要花費(fèi)大量時(shí)間對(duì)已有的模糊規(guī)則進(jìn)行調(diào)整，這無(wú)疑降低了模糊控制的實(shí)用性.為此，C.Chang等人設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)模糊控制器，它可以根據(jù)環(huán)境狀態(tài)在線地調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)的模糊集合，增強(qiáng)系統(tǒng)對(duì)各種干擾的魯棒性［51］.除了直接用于控制器外，模糊方法還可以被用來(lái)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模，然后施加控制.如文獻(xiàn)［52］就為橋式起重機(jī)建立了T－S模糊系統(tǒng)模型，然后借助線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)了魯棒控制器.值得指出的是，盡管模糊控制方法對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)能取得良好的控制效果，但其穩(wěn)定性通常難以進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，由于缺乏理論保障，其性能尚有待進(jìn)行更為深入的研究.

遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)中也有著廣泛的應(yīng)用.遺傳算法具有全局最優(yōu)搜索的能力，被廣泛地用于控制算法的優(yōu)化.在文獻(xiàn)［53］中，D.Liu等針對(duì)一類欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于實(shí)數(shù)型基因演算法的鎮(zhèn)定控制器，并將其應(yīng)用于帶有雙擺效應(yīng)的橋式起重機(jī)系統(tǒng).神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器可在系統(tǒng)模型未知的情況下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行有效控制［54］，但在應(yīng)用時(shí)需要通過(guò)大量的訓(xùn)練來(lái)辨識(shí)內(nèi)部權(quán)值.鑒于遺傳算法的優(yōu)化能力，很多專家將其應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的控制，提出了基于遺傳算法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器［55－56］.其中，對(duì)于臂式起重機(jī)的防擺控制，日本學(xué)者K.Nakazono等構(gòu)造了一個(gè)3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，并借助實(shí)值編碼遺傳算法對(duì)其進(jìn)行訓(xùn)練［56］.當(dāng)應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)時(shí)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)除了直接用于控制器之外，還在建模、軟測(cè)量等方面有著更廣泛的應(yīng)用.R.Toxiqui等［57］通過(guò)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償起重機(jī)系統(tǒng)的不確定性，減小了閉環(huán)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差;文獻(xiàn)［58］則借助神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造一個(gè)軟傳感器(soft sensor)，根據(jù)電流變化來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)值，代替?zhèn)鹘y(tǒng)起重機(jī)中測(cè)量臺(tái)車位置和負(fù)載擺角的傳感器，極大地降低了系統(tǒng)成本.

3 結(jié)論與展望

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制是非線性控制理論中最具挑戰(zhàn)性的方向之一.縱觀國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀可知，針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)(連桿)系統(tǒng)的研究已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)步和豐碩的成果，極大地促進(jìn)了非線性系統(tǒng)理論的發(fā)展.盡管如此，現(xiàn)有的工作仍然處于起始階段，大部分研究尚停留在理論水平，這給其實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了很大的困難.很多方法僅適用于解決特定問(wèn)題的一個(gè)方面，且大多基于系統(tǒng)模型完全已知與控制器理想的情況，或者僅考慮實(shí)驗(yàn)室環(huán)境、系統(tǒng)狀態(tài)完全可測(cè)的情況，一旦系統(tǒng)建模不準(zhǔn)確、驅(qū)動(dòng)器飽和、存在外界干擾(包括風(fēng)力、摩擦、噪聲等)、系統(tǒng)狀態(tài)的檢測(cè)存在滯后、僅有部分系統(tǒng)狀態(tài)(如輸出)可測(cè)時(shí)，它們往往難以獲得令人滿意的控制性能，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定.此外，現(xiàn)有的大部分方法僅能保證系統(tǒng)狀態(tài)的漸近收斂，但從工程應(yīng)用角度出發(fā)，研究人員更希望它們能在有限時(shí)間內(nèi)或以指數(shù)方式趨于期望值.

為推進(jìn)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的理論研究，并將其與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，筆者認(rèn)為在以下幾個(gè)方面有待進(jìn)一步展開(kāi)研究.

1)系統(tǒng)模型不確定性與外界干擾補(bǔ)償.在系統(tǒng)建模時(shí)，通常會(huì)忽略高階項(xiàng)，導(dǎo)致模型與系統(tǒng)的實(shí)際特性之間存在較大差異.此外，系統(tǒng)參數(shù)總是存在測(cè)量誤差，有的甚至很難直接測(cè)量，而許多控制方法對(duì)參數(shù)變化非常敏感，建模誤差會(huì)顯著降低系統(tǒng)的控制性能.除建模誤差外，現(xiàn)有的研究結(jié)果大多沒(méi)有充分考慮各種外界干擾的影響，往往是對(duì)其進(jìn)行粗略補(bǔ)償，或忽略不計(jì).而在實(shí)際應(yīng)用中，這些因素對(duì)控制性能影響很大.為此，筆者認(rèn)為對(duì)于這些外界干擾，可通過(guò)自適應(yīng)、滑模等非線性策略對(duì)其進(jìn)行反饋補(bǔ)償，亦可借助神經(jīng)網(wǎng)路或其他智能方法進(jìn)行前饋抑制.

2)執(zhí)行器飽和情況下的控制策略.如文中所述，大多數(shù)控制策略都假設(shè)控制器是完全理想的.然而，實(shí)際物理系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)能力是有限的，一旦執(zhí)行器飽和，會(huì)嚴(yán)重影響控制算法的有效性，嚴(yán)重時(shí)甚至導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰.因此，在有限能力范圍內(nèi)如何實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的有效控制具有非常重要的工程應(yīng)用價(jià)值.為了解決上述問(wèn)題，可以從以下2個(gè)方面著手來(lái)提高控制方法的實(shí)用性:一方面，可以進(jìn)一步研究飽和控制方法和理論，解決常規(guī)飽和策略依賴于系統(tǒng)參數(shù)的問(wèn)題;另一方面，可將執(zhí)行器極限作為性能指標(biāo)或者約束引入到控制器設(shè)計(jì)過(guò)程，并借助現(xiàn)有的非線性理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

3)有限時(shí)間控制研究.要對(duì)連桿系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)狀態(tài)實(shí)施控制，必須借助它們與可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系間接進(jìn)行.現(xiàn)有結(jié)果往往僅能保證不可驅(qū)動(dòng)狀態(tài)漸近趨于期望值，而事實(shí)上，系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂更具實(shí)際意義.為此，需要對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的有限時(shí)間控制策略展開(kāi)深入研究.例如終端滑?？刂品椒ㄍㄟ^(guò)構(gòu)造非線性終端滑模面可保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂，且對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外界干擾具有強(qiáng)魯棒性，非常具有研究?jī)r(jià)值.

4)輸出反饋控制策略.對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，考慮到傳感器成本以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜度等問(wèn)題，往往僅能對(duì)系統(tǒng)的輸出(如位移、角度等)進(jìn)行檢測(cè)，而其他的系統(tǒng)狀態(tài)(如速度、角速度等)一般不能直接獲取.此外，由于輸出信號(hào)往往存在噪聲，直接對(duì)其進(jìn)行差分等運(yùn)算將不能準(zhǔn)確地獲取速度信號(hào).目前，針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制策略多數(shù)基于全狀態(tài)反饋，限制了其在實(shí)際工程系統(tǒng)中的應(yīng)用.為此，需要對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出反饋控制進(jìn)行深入的研究，可以通過(guò)設(shè)計(jì)觀測(cè)器等方法，充分利用可測(cè)的輸出信號(hào)，來(lái)對(duì)不可測(cè)的系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行在線估計(jì)，從而提高控制策略的實(shí)用性.

5)系統(tǒng)狀態(tài)檢測(cè)的滯后問(wèn)題.在實(shí)際工程中，許多欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出量檢測(cè)與其變化量之間存在延遲，如對(duì)于工作在建筑工地中的塔式起重機(jī)系統(tǒng)而言，其吊繩長(zhǎng)度一般較長(zhǎng)，呈現(xiàn)出顯著的柔性特征，使得負(fù)載的擺動(dòng)(位于吊繩末端)與傳感器(位于吊繩始端)測(cè)量信號(hào)之間存在明顯的滯后問(wèn)題.如不能在控制器設(shè)計(jì)與分析時(shí)充分考慮反饋信號(hào)的滯后性，將極有可能導(dǎo)致控制任務(wù)的失敗.為此，筆者認(rèn)為可以借助智能預(yù)測(cè)控制等策略，充分利用已獲取的擺角信號(hào)，對(duì)負(fù)載的實(shí)時(shí)擺動(dòng)進(jìn)行合理預(yù)測(cè)，用于補(bǔ)償滯后問(wèn)題，進(jìn)而提高控制系統(tǒng)的實(shí)際性能.

6)非慣性系中的控制策略.目前，幾乎所有與欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)相關(guān)的文獻(xiàn)都專注于系統(tǒng)在慣性系(地球)中的運(yùn)動(dòng)情況與控制策略，而很少有人考慮非慣性系統(tǒng)中欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的研究.事實(shí)上，隨著航天科技與無(wú)人技術(shù)的迅速發(fā)展，空間機(jī)器人必將得到廣泛的應(yīng)用，而在復(fù)雜的太空勢(shì)場(chǎng)下(如超重、失重等)，慣性系中的控制策略很難直接被推廣.因此，非常有必要在今后的研究中考慮并模擬非慣性系勢(shì)場(chǎng)帶來(lái)的影響，為實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)連桿系統(tǒng)的完全自動(dòng)化邁出重要的一步.

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孫寧，男，1988年生，博士研究生，主要研究方向?yàn)榍夫?qū)動(dòng)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制、學(xué)習(xí)控制、滑?？刂埔约澳：刂频?

方勇純，男，1973年生，教授，博士生導(dǎo)師，IEEE高級(jí)會(huì)員，中國(guó)人工智能學(xué)會(huì)理事，中國(guó)自動(dòng)化學(xué)會(huì)控制理論專業(yè)委員會(huì)委員、智能自動(dòng)化專業(yè)委員會(huì)委員.主要研究方向?yàn)閺?fù)雜系統(tǒng)非線性控制、機(jī)器人視覺(jué)控制等.2006年入選教育部“新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃”，2009年獲得“天津市優(yōu)秀留學(xué)人員”稱號(hào)，2010年獲得第10屆天津青年科技獎(jiǎng).發(fā)表學(xué)術(shù)論文近百篇，其中被SCI、EI檢索80篇.

A review for the control of a class of underactuated systems

SUN Ning，F(xiàn)ANG Yongchun
(Institute of Robotics and Automatic Information System，Nankai University，Tianjin 300071，China)

Recently，research on underactuated systems has become a hot topic in the robotics and automation fields.The research status for the control of a class of underactuated systems(termed as underactuated link systems)was reviewed in this paper.Specifically，the system dynamics was presented first，and two basic control modes were introduced.Subsequently，the main control strategies，which include optimal control methods，motion planning methods，partial feedback linearization methods，energy－based methods，state dimension reducing methods，hierarchical control design methods，and intelligent schemes，were analyzed.Finally，some major issues associated with the control system design for underactuated link systems，such as robustness，practicability，rapidness and so on，were sketched，and corresponding prospects including robust strategy，saturation control and finite time control etc.were proposed for future work.

underactuated systems;robotics;intelligent control

TP273

A

1673－4785(2011)03－0200－08

10.3969/j.issn.1673－4785.2011.03.002

2011－03－31.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60875055);天津市應(yīng)用基礎(chǔ)及前沿技術(shù)研究計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目(08JCZDJC21800).

方勇純.E－mail:yfang@robot.nankai.edu.cn.