黃 音

（中南大學(xué)鐵道學(xué)院交通運(yùn)輸工程學(xué)院 長沙 410075）

0 引 言

近年來，變質(zhì)商品的庫存問題越來越受到國內(nèi)外研究者的關(guān)注.變質(zhì)庫存系統(tǒng)屬于典型的耗散結(jié)構(gòu)，不斷地從外界引入負(fù)熵以抵消系統(tǒng)內(nèi)正熵的增加，消除或緩解系統(tǒng)內(nèi)各種矛盾的因素.變質(zhì)庫存系統(tǒng)的開放和流動決定了系統(tǒng)要素之間具有非線性相干作用，引起變質(zhì)庫存中漲落現(xiàn)象有兩個：時(shí)間因素和經(jīng)濟(jì)因素.

Buzacott率先討論了通貨膨脹下的EOQ模型.1979年，Misra［1］首次提出了不同通貨膨脹率環(huán)境中，常數(shù)需求下的庫存成本問題.S.Bose［2］等人研究了通貨膨脹環(huán)境中，線性需求下，允許缺貨的變質(zhì)庫存模型.

傳統(tǒng)的供應(yīng)鏈通貨膨脹問題，僅考慮外部通貨膨脹率的影響.在現(xiàn)實(shí)生活中，通貨膨脹率一般分為內(nèi)部通貨膨脹率和外部通貨膨脹率兩類.內(nèi)部通貨膨脹率的波動變化主要是受公司財(cái)務(wù)狀況的影響.外部的通貨膨脹率主要受宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境的影響.本文同時(shí)考慮內(nèi)外部通貨膨脹率及內(nèi)外部交易價(jià)格對變質(zhì)商品庫存補(bǔ)貨周期、補(bǔ)貨批次及相關(guān)庫存成本的影響.

1 時(shí)變需求下，考慮各種環(huán)境經(jīng)濟(jì)因素的允許缺貨的變質(zhì)庫存模型

1.1 問題描述

本文考慮在通貨膨脹環(huán)境中，時(shí)變需求下，允許缺貨的變質(zhì)庫存模型.本文的模型是在Teng［3］，S.Papachristos，K.Skouri［4］的研究基礎(chǔ)上提出的，考慮需求隨指數(shù)變化下，即，D eαt，允許缺貨的變質(zhì)庫存模型.

1.2 模型假設(shè)與符號說明

1.2.1 數(shù)學(xué)模型假設(shè) 假設(shè)提前期為0；該變質(zhì)庫存允許缺貨；單位商品價(jià)格與當(dāng)前的通貨膨脹率相關(guān)；該變質(zhì)庫存的初始庫存為0；商品只有進(jìn)入庫存才開始產(chǎn)生變質(zhì)，庫存商品的變質(zhì)率為常數(shù)；所有商品單位時(shí)間單位商品庫存持有成本相同；假設(shè)需求隨時(shí)間指數(shù)增長，即，D eαt.

1.2.2 數(shù)學(xué)符號說明 H為商品的計(jì)劃銷售期的時(shí)間長度；θ為商品的變質(zhì)率，0≤θ＜1；D eαt為用戶對某商品的需求率；r為折扣率；b1為內(nèi)部通貨膨脹率；b2為外部通貨膨脹率；r1為折扣率減去內(nèi)部通貨膨脹率，即r－b1；r2為折扣率減去外部通貨膨脹率，即r－b2；cp1為內(nèi)部單位固定交易價(jià)；cp2為外部單位變化成交價(jià)；ch1為內(nèi)部單位庫存持有成本；ch2為外部單位庫存持有成本；cs1為內(nèi)部單位缺貨成本；cs2為外部單位缺貨成本；ti（i＝1，2，…，n，0≤t1＜t2＜…＜tn＜tn＋1＝H）為第i次循環(huán)時(shí)間；si為庫存降到0時(shí)的時(shí)間點(diǎn)，即，缺貨點(diǎn)；n為計(jì)劃期［0，H］內(nèi)的補(bǔ)貨批次.

1.2.3 庫存訂購模型構(gòu)建 因?yàn)棣僚crj即rb1的值比較接近，所以，本文對α＝rj和α≠rj兩種不同情況下的庫存成本情況進(jìn)行計(jì)算和論述.

上述問題中庫存的變化可以用以下的微分方程來描述.

邊界初始條件為I（si）＝0.解方程（1）得

則第i次循環(huán)的庫存累積量為

根據(jù)Misra的方法得到在第i次循環(huán)中，內(nèi)外部庫存的持有成本為

同理可得

同理可得，在第i次循環(huán)累積缺貨量為

邊界初始條件為S（si）＝0.解方程（5）得

當(dāng)前內(nèi)外部缺貨成本為

第i次循環(huán)的訂貨量為

在計(jì)劃期［0，H］內(nèi)，內(nèi)外部總的商品交易價(jià)格為

當(dāng)前計(jì)劃期［0，H］內(nèi)的總庫存持有成本為

當(dāng)α＝rj時(shí)，對α－rj和e（α－rj）si－e（α－rj）ti分別用泰勒展開，取拉格朗日余項(xiàng)，得

當(dāng)前計(jì)劃期［0，H］內(nèi)的總?cè)必洺杀緸?/p>

當(dāng)α＝rj時(shí)，對α－rj和e（α－rj）si－e（α－rj）ti分別用泰勒展開，取拉格朗日余項(xiàng)，得

因此，當(dāng)s0＝0，t1＞0，sn＜tn＋1＝H 時(shí)，計(jì)劃期［0，H］內(nèi)庫存系統(tǒng)總相關(guān)成本為：

1）當(dāng)α≠rj時(shí)

現(xiàn)在來確定n，｛si｝，｛ti｝的最優(yōu)值，可以使得Z（n，｛si｝，｛ti｝）在式（17）、（18）中最小.

1.4 理論分析與結(jié)果

本文僅考慮α≠r的情況.同理可推，α＝r的情況.

對于任意給定的n，Z（n，｛si｝，｛ti｝）最小化的充分必要條件為

從式（21）可知，si是介于ti和ti＋1之間的點(diǎn).如果si＝ti或者si＝ti＋1的話，式（21）不成立.

1.5 近似最優(yōu)策略及算例分析［5－6］

1.5.1 尋求｛t＊i｝，｛s＊i｝最優(yōu)解步驟

步驟1 選擇2個試驗(yàn)值作為t1的值，分別為然后重新計(jì)算tn＋1.

步驟3 給定一個λ＞0，如果tn＋1－H≤λ，則獲得最優(yōu)解｛t＊i｝，｛s＊i｝，停止計(jì)算.

步驟4 如果tn＋1－H＞λ，則U＝t1，V＝tn＋1，否則，令L＝t1，M＝tn＋1，轉(zhuǎn)步驟1.

1.5.2 尋求n最優(yōu)解的方法

步驟1 任意選擇一個初始值n，n－1作為訂購次數(shù).通過1.5.1確定｛si｝，｛ti｝，并分別計(jì)算相應(yīng)的總成本Z（n），Z（n－1）.

步驟2 如果Z（n）≥Z（n－1），則計(jì)算Z（n－2），Z（n－3），…，直到找到Z（k）＜Z（k－1）.令n＊＝k，停止計(jì)算.

步驟3 如果Z（n）＜Z（n－1），則計(jì)算Z（n＋1），Z（n＋2），…，直到找到Z（k）＜Z（k＋1）.令n＊＝k，停止計(jì)算.

1.5.3 算例分析 H＝10，D eαt＝200e0.05t，α＝0.05，cp1＝80，cp2＝5，ch1＝0.2，ch2＝0.4，cs1＝0.8，cs2＝0.6，r＝0.2，b1＝0.1，b2＝0.14，θ＝0.01.

最佳補(bǔ)貨批次n＊＝11庫存系統(tǒng)總相關(guān)成本為14 176.71.

計(jì)算過程中的最優(yōu)補(bǔ)貨批次如表1所列，｛t＊i｝，｛s＊i｝值如表2所列.通過方程（20）和（21）可以得到｛si｝，｛ti｝，然后將tn＋1令為新的 M 和V.

步驟1 令

表1 最優(yōu)補(bǔ)貨批次

表2 最優(yōu)｛t＊i｝，｛s＊i｝

1.5.4 結(jié)論與分析

1）如果rj≥0，D eαt是增函數(shù)，那么：（1）是單調(diào)遞減的，例如s1－t1＞s2－t2＞…＞sn－tn；（2）最佳缺貨間隔是單調(diào)遞減的，例如t2－s1＞t3－s2＞…＞tn＋1－sn；（3）最佳補(bǔ)貨周期是單調(diào)遞減的，例如t2－t1＞t3－t2＞…＞tn＋1－tn.

2）當(dāng)需求隨時(shí)間遞增時(shí)，需要縮小補(bǔ)貨間隔和缺貨間隔，從而縮小補(bǔ)貨周期，最終降低庫存持有成本，包括變質(zhì)成本和固有成本，以及缺貨成本，從而降低庫存系統(tǒng)的相關(guān)總成本.

3）參考S.Papachristos，K.Skouri.J.T.Teng，H.J.Chang，C.Y.Dye等關(guān)于非通貨膨脹環(huán)境中，需求隨時(shí)間變化，允許缺貨的變質(zhì)庫存模型研究，可發(fā)現(xiàn)，在需求隨時(shí)間遞增的情況下，通貨膨脹并不會明顯影響庫存的補(bǔ)貨周期.

4）研究結(jié)果跟 Hariga［7－8］出的結(jié)果相符合.Hariga證明在需求呈線性變化時(shí)，對補(bǔ)貨周期不會產(chǎn)生明顯影響，本文得出的結(jié)論為，當(dāng)需求函數(shù)呈指數(shù)變化時(shí)，通貨膨脹對補(bǔ)貨周期不會產(chǎn)生明顯影響.因此，在需求隨時(shí)間變化，需求函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，通貨膨脹率對補(bǔ)貨周期不會產(chǎn)生明顯影響.

2 結(jié)束語

本文的研究是對傳統(tǒng)變質(zhì)庫存理論的深化及擴(kuò)展更加全面地考慮變質(zhì)商品企業(yè)的庫存控制問題，從多角度分析變質(zhì)商品企業(yè)資金流的狀況.

在本文模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮以下問題：在考慮通貨膨脹因素的同時(shí)，可以進(jìn)一步考慮允許延期支付的情況；可以考慮將確定需求函數(shù)擴(kuò)展到隨機(jī)波動的需求函數(shù)；在用戶需求中，進(jìn)一步考慮銷售價(jià)格和變質(zhì)商品質(zhì)量的影響；進(jìn)一步考慮變質(zhì)商品銷售過程中，允許數(shù)量折扣的情形.此外，還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到供應(yīng)鏈風(fēng)險(xiǎn)的研究.

［1］Misra R B.A note on optimal inventory management under inflation［J］.Naval Research Logistics Quarterly，1979，26：161－165.

［2］Bose S，Goswami A，Chaaudhuri K S.An EOQ model for deteriorating items with linear time－dependent demand rate and shortages under inflation and time discounting［J］.Journal of Operational Research Society，1995，46（6）：771－782.

［3］Teng J T，Chern M S，Yang H L，Wang Y J.Deterministic lot size inventory models with shortages and deterioration for fluct uating demand［J］.Operational Research Letter，1999，24：65－72.

［4］Papachristos S，Skouri K.An optimal replenish ment policy for deteriorating items with time－varying demand and partial——exponential type——backlogging［J］.Operational Research Letter，2000，27：175－184.

［5］朱 澤，張予川，高東旭.隨機(jī)需求環(huán)境下VMI模型研究與應(yīng)用［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2009，33（3）：608－616.

［6］張 毅，李金輝，和豪濤.基于時(shí)效性目標(biāo)的應(yīng)急物資庫存策略［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)：交通科學(xué)與工程版，2010，34（3）：784－792.

［7］Hariga M.Optimal EOQ models for deteriorating items with time－varying demand［J］.Journal of Operational Research Society，1996，47（10）：1 228－1 246.

［8］ Hariga M.The inventory lot－sizing problem with continuoustime－varying demand and shortages［J］.Jour nal of Operational Resarch Society，1994，45（7）：827－837.