楊瓊芬 杜先云 楊立娟

（綿陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院 綿陽 621000）

0 引 言

隨著非線性科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，非線性科學(xué)理論的研究問題在自然科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)中正在蓬勃發(fā)展.構(gòu)造非線性發(fā)展方程精確解是孤立子理論的重要研究課題之一.目前，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了很多有效的求解方法，如雙曲正切函數(shù)法［1］，齊 次 平 衡 法［2］，試 探 函 數(shù) 法［3］，輔 助 方 程法［4］，EXP－函數(shù)展開法［5］等.

試探函數(shù)法是一種行之有效的用于求解非線性偏微分方程的方法，本文利用函數(shù)變換與雙線性算子相結(jié)合的方法，構(gòu)造Boussinesq方程新的精確解.

經(jīng)典的Boussinesq方程形如

式中：u（x，t）為流體自由表面的運動；正常數(shù)a，b依賴于流體的深度和長波的特征速度.

Boussinesq方程是一種能夠描述規(guī)則波和不規(guī)則波在復(fù)雜地形上發(fā)生淺化、折射、繞射和反射效應(yīng)相當(dāng)有效的數(shù)學(xué)模型.1871年Boussinesq考慮垂向流速及壓強分布的影響，假定垂向流速從底面零線性增加到自由表面的最大值，得到了Boussinesq方程.考慮波浪傳播的非線性變化，1967年P(guān)eregrine推導(dǎo)了變水深條件下淺水區(qū)波浪傳播的Boussinesq方程.后來Boussinesq方程也適用于其他的物理應(yīng)用中，如等離子體中的離子聲波等，由于它可以用來描述2個相反方向傳播的Kdv孤波，也可以描述一維非線性晶格的振動［6］，因此，Boussinesq方程的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注［7］.

1 Boussinesq方程的精確解

式中：f為待定函數(shù).

將式（2）代入式（1）成雙線性形式

再將f（x，t）代人式（2）得到原方程（1）的大量的新的精確解，包括實數(shù)解，復(fù)數(shù)解為u（x，t）＝

即得到原方程的一個新的通解.

再將式（12）代人式（2）得到原方程的一個精確解為

為了對解的結(jié)構(gòu)有一個清楚的認(rèn)識，借助于Maple，畫出了解式（13）對應(yīng)的解的波形圖如圖1所示.

圖1 解式（13）對應(yīng)的解的波形圖

2 結(jié)束語

根據(jù)齊次平衡原則，試探函數(shù)法并利用雙線性形式求出了Boussinesq方程一些精確解，包括實數(shù)解，復(fù)數(shù)解.當(dāng)參數(shù)取不同的值，可以得到不同形式的新的精確解.在利用試探函數(shù)法時引進了新的函數(shù)，且采用了雙線性形式使式子看起來更為簡單.其解都是新解，且這些解對于解釋一些物理現(xiàn)象有一定的意義.

［1］Parkes E J，Duffy B R.An automated tanh－function method for finding solitary wave solutions to nonlinear evolution equation［J］.Comp.Phys.Commun，1996，98：288－300.

［2］Wang Mingliang.Solitary wave solutions for variant Boussinesq quations［J］.Phys.Lett.A，1995，199：69－172.

［3］Kudryashow N A.Exact solutions of the generalized Kuramoto－Sivashinsky equations［J］.Phy.Lett.A ，1990，147（5－6）：287－291.

［4］Sirendaoreji，Sun J.Auxiliary equation method for solving nonlinear Partial differential equation［J］.Phys.Lett.A，2003，309：387－396.

［5］He J H，Wu X H.Exp–function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos Solitons Fract ，2006，30：700－708.

［6］Deift P，Tomei C，Trubowitz E.Inverse scttering and the Boussinesq equation［J］.Pure Appl Math，1982，35（5）：567－628.

［7］吳勇旗.（2＋1）維Boussinesq方程的新的周期解［J］.物理學(xué)報，2008，57（9）：5390－5394.