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        復雜地質(zhì)曲面三維插值—逼近擬合構造方法

        2011-08-17 00:50:14李明超繆正建
        中國工程科學 2011年12期
        關鍵詞:原始數(shù)據(jù)子集插值

        李明超,繆正建,劉 菲,王 剛

        (1.天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室,天津 300072;2.中國水電顧問集團成都勘測設計研究院,成都 610072)

        1 前言

        地質(zhì)勘探結果大多反映在一些離散不規(guī)則分布的數(shù)據(jù)點上,為了通過這些離散數(shù)據(jù)建立起區(qū)域性連續(xù)的整體模型,需要利用插值和逼近的曲面處理方法[1,2]。曲面插值(surface interpolation)是嚴格通過給定的數(shù)據(jù)點來構造曲面,并根據(jù)原始數(shù)據(jù)點值來插補空白區(qū)的值;這類方法不改變原始數(shù)據(jù)點值。而曲面逼近(surface approximation)則是利用相對簡單的數(shù)學曲面來近似構造復雜的地學曲面,根據(jù)一定的數(shù)學準則,使所給出的數(shù)學曲面最大限度地逼近地質(zhì)曲面;通過擬合處理的曲面,原始數(shù)據(jù)點一般有所改變,所以曲面逼近的結果往往會取得平滑的效果。曲面的插值與逼近統(tǒng)稱為曲面擬合(surface fitting)[3]。

        在地質(zhì)曲面構造中運用較多的插值和逼近方法包括按近點距離加權平均法、按方位取點加權法、雙線性插值法、移動曲面插值法、二元三點插值法、Kriging插值法和三次樣條函數(shù)擬合法、趨勢面擬合法、加權最小二乘擬合法等[4~9]。插值方法能保證構造曲面嚴格通過原始數(shù)據(jù)點集合,適用于均勻分布的數(shù)據(jù)點,但外推能力和唯一性較差[1];地質(zhì)工程師一般傾向于使用插值方法,這在二維環(huán)境下能夠有效地操作,但在三維環(huán)境下解決基于分布不均勻原始數(shù)據(jù)的復雜地質(zhì)曲面構造時就會遇到較大的困難[6,9]?;诒平枷氲那鏀M合方法對原始數(shù)據(jù)點的分布沒有任何要求,且外推能力和唯一性均較強,并能夠保證曲面對原始數(shù)據(jù)點集合具有最佳逼近效果和很好的光順性[10];但是直接采用逼近方法應用于分布不均勻原始數(shù)據(jù)點的復雜曲面擬合也存在兩點困難[3],一是如何確定擬合曲面的控制網(wǎng)格頂點個數(shù)保證其滿足精度要求,二是如何保證所構造的逼近曲面的形狀能夠滿足實際需要。

        由于自然界地質(zhì)結構的復雜性,各種地質(zhì)曲面的擬合構造方法始終是地質(zhì)學家和計算機科學家關注的熱點問題,目前仍然缺乏完善的處理方法[11]。文章以水利水電工程為例,在分析多源地質(zhì)數(shù)據(jù)特征的基礎上,針對曲面插值和逼近方法各自的優(yōu)缺點,提出了插值—逼近相結合的復雜地質(zhì)曲面擬合方法,以滿足工程區(qū)域三維地質(zhì)建模精度高且存儲量小的要求[12]。

        2 多源地質(zhì)數(shù)據(jù)

        在水利水電工程中,通過多種地質(zhì)勘測方式如地質(zhì)測繪、遙感、地質(zhì)勘探等,得到了各種豐富多樣的地質(zhì)數(shù)據(jù),如地質(zhì)點資料,遙感圖像,鉆孔、平硐及物探信息等,如圖1所示。同時,對這些原始數(shù)據(jù)加以解譯分析,可獲得相應的地層界線、斷層、褶皺等構造跡線以及平面構造地質(zhì)圖、不同位置的橫/縱剖面圖和不同高程的平切圖等。

        圖1 多源地質(zhì)數(shù)據(jù)示例Fig.1 Examples of multi-source geological data

        這些來源不同的數(shù)據(jù)在精度、分辨率、數(shù)量、質(zhì)量等方面都存在較大的差異,為了使所有有效數(shù)據(jù)一起成為三維地質(zhì)曲面擬合可利用的、可靠的、一致的信息,應采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)結構進行管理。因此,采用面向?qū)ο蠓诸惡拖到y(tǒng)的思想,將直接可用的鉆孔、平硐信息與解譯分析得到的剖面數(shù)據(jù)進行耦合處理[11],按不同地層、斷層等對象進行自動分層和三維化,最后統(tǒng)一以點集合的數(shù)據(jù)結構進行存儲,供三維地質(zhì)曲面擬合使用。圖2為某水電工程一個地質(zhì)界面的點集合數(shù)據(jù)實例,圖中數(shù)據(jù)比較集中且分布均勻的區(qū)域是工程主要樞紐建筑物布置區(qū)域,而在其相關的周邊地區(qū)勘探分布較少且離散。

        3 地質(zhì)曲面的插值—逼近擬合構造

        圖2 地層界面的多源數(shù)據(jù)集合Fig.2 Data set of a horizon boundary surface

        根據(jù)上述分析可知,原始的工程地質(zhì)勘探數(shù)據(jù)往往分布范圍較大且不均勻,單獨采用插值方法或者逼近方法都會遇到較大的困難,因此文章提出插值與逼近相結合的方法。在構造復雜地質(zhì)曲面的過程中,充分考慮原始數(shù)據(jù)點的分布特點和曲面構造的精度要求,對于集中且均勻分布的原始數(shù)據(jù),采用插值方法,使曲面嚴格通過這些數(shù)據(jù)點;對于分布離散不均勻的數(shù)據(jù),若精度要求很高則采用插值方法進行加密,一般情況下采用逼近擬合方法,使曲面在給定精度下充分逼近原始數(shù)據(jù)。在水利水電工程壩區(qū),)地質(zhì)勘探數(shù)據(jù)集中且分布較均勻,其構造的地質(zhì)曲面精度要求很高,這部分須采用插值方法;而在其相關的周邊地區(qū),對精度要求不高,采用逼近方法是可行的。

        3.1 NURBS 曲面技術

        NURBS(Non-uniform rational B-splines,非均勻有理樣條曲線)技術是ISO(International Standard Organized,國際標準化組織)1991年頒布的STEP標準中自由型曲線曲面的唯一表示方法,它是在B樣條函數(shù)基礎上發(fā)展起來的,利用非均勻節(jié)點向量表達式來構造有理B樣條,它對標準的解析圖形(如圓錐曲線、二次曲面、旋轉(zhuǎn)曲面等)和自由型曲線曲面提供了統(tǒng)一的數(shù)學描述。隨著計算機輔助幾何設計(CAGD)的發(fā)展,NURBS技術有了快速的發(fā)展,已被廣泛應用于包括三維地質(zhì)建模在內(nèi)的工程實踐中[13]。雖然如此,但由于NURBS技術的復雜性、地質(zhì)對象的錯綜復雜和所具有的不規(guī)則形態(tài),阻礙了NURBS在三維工程地質(zhì)中更多的應用。實際上,針對復雜地質(zhì)體形態(tài)的無規(guī)律性變化,選擇NURBS技術進行水利水電工程三維地質(zhì)建模與分析,具有節(jié)省存儲空間、計算機處理簡便易行、數(shù)據(jù)庫管理方便、保證空間唯一性和幾何不變性等優(yōu)點,在地質(zhì)表示方面有很高的應用價值。

        給定一組(m+1)(n+1)的網(wǎng)格控制點Pij(0≤i≤m,0≤j≤n)的NURBS曲面可定義為:

        式(1)中,wij為相應于控制點Pij的權因子;k、l為階數(shù);Nki(u)(0≤i≤m)和Nlj(v)(0≤j≤n)分別是定義在u、v向節(jié)點矢量U={u0,…,um+k|ui≤ui+1,i=0,…,(m+k - 1)}和 V={v0,…,vn+l|vj≤ vj+1,j=0,…,(n+l-1)}上的 k、l階 B 樣條基函數(shù);Sij(u,v)表示擬合的曲面段,u∈[ui,ui+1],i= (k - 1),…,m ,v ∈ [vj,vj+1],j=(l-1),…,n。在實際工程中,一般 k、l取3基本上就可以滿足要求。

        3.2 基于NURBS技術的插值—逼近擬合實現(xiàn)

        以圖2中給定的數(shù)據(jù)點集合為例,設該地層面的原始數(shù)據(jù)集合為 D={ps,s=1,2,…,m},其中分布密集均勻的子集為 D1={pi,i=1,2,…,n},剩余分布不均勻的子集為 D2={pj,j=1,2,…,r1}和 D3={pk,k=1,2,…,r2},這里 n+r1+r2=m,如圖3(a)所示。則基于NURBS技術的地質(zhì)曲面插值—逼近擬合方法具體實現(xiàn)如下:

        1)對于子集 D1,按照蒙皮法(skinning)[14]插值思想構造曲面,若曲面控制點為n,該方法的數(shù)學模型為:

        式(2)中,X∈Rn,為曲面控制頂點構成的未知矢量;B∈Rn,為曲面集合D1及邊界條件構成的已知矢量;A∈Rn×Rn,為系數(shù)矩陣。

        由式(2)可知,蒙皮法是一種基于插值思想的曲面構造方法,能夠保證曲面嚴格通過集合D1中的所有數(shù)據(jù)點。該方法使曲面在進行插值時順序地通過一系列截面曲線,從而很好地生成復雜的自由曲面。在NURBS蒙皮過程中,首先要求各截面曲線的拓撲性質(zhì)應該一致,即都是開曲線或都是閉曲線;其次在蒙皮插值過程中,插值的方式將影響最終的結果,根據(jù)工程地質(zhì)實際需要,一般選擇線性插值。圖3(b)為子集D1通過蒙皮插值得到的曲面S1。

        2)對于子集D2和D3,則直接利用NURBS曲面技術采用反算法[15]進行擬合。為了滿足曲面的邊界約束條件(鄰接曲面邊界和區(qū)域邊界約束),這里直接提取已構建曲面S1與子集D2、D3相鄰的邊界線加入子集D2、D3,同時根據(jù)研究區(qū)域?qū)⒃紨?shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為一系列u、v方向的曲線矢量,利用反算法求出各曲線矢量上的控制點。進而,基于設定精度和控制點數(shù)據(jù)運用分段NURBS函數(shù)進行逼近擬合,獲得按精度充分逼近子集D2、D3的擬合曲面S2、S3,如圖3(c)所示。這里曲面控制點的權值均設置為1(可進行調(diào)整),曲面邊界公差為0.01,內(nèi)部公差為0.1。

        3)合并曲面S1和曲面S2、S3,由于構建S2、S3曲面的右邊界和左邊界數(shù)據(jù)均來自S1曲面,因此兩者能夠達到實際精度要求的縫合,最終得到完整的地質(zhì)擬合曲面S,如圖3(d)所示,該圖對完整曲面進行了渲染表達,同時顯示了相應的原始數(shù)據(jù)集,以便進行對比調(diào)整。

        圖3 基于NURBS技術的地質(zhì)曲面插值—逼近擬合構造Fig.3 Interpolation-approximation fitting construction of geological surface based on NURBS technique

        3.3 曲面分析與調(diào)整

        在完成上述地質(zhì)曲面的構造后,需要對其進行檢查分析與調(diào)整,以滿足實際精度要求和建模需要。這主要從以下兩個方面進行:

        1)地質(zhì)結構合理性和曲面幾何性檢查。即檢查所擬合的地質(zhì)結構面整體變化趨勢是否合理、在幾何結構連續(xù)性及拓撲關系上是否正確。若發(fā)現(xiàn)不合理或錯誤之處,可快速方便地對其進行局部調(diào)整(NURBS曲面局部調(diào)整不會影響其他部位)或重新構造。

        2)原始數(shù)據(jù)的精度分析。將所有原始數(shù)據(jù)與構造曲面進行偏差分析,以原始數(shù)據(jù)點與曲面間距離為變量,求其標準偏差σ(m):

        式(3)中,n為數(shù)據(jù)點數(shù);di為數(shù)據(jù)點i與構造曲面間的距離。

        若σ小于控制誤差ε,則曲面滿足要求,否則需要對曲面偏差較大處按原始數(shù)據(jù)進行局部調(diào)整,直到達到誤差要求。對于上述曲面,其原始數(shù)據(jù)點數(shù)n=597,控制誤差 ε =0.5 m,根據(jù)式(3)求得標準偏差值σ=0.17 m,這主要是由逼近擬合曲面引起的誤差,小于控制誤差,精度已足以滿足實際需要。

        4 結語

        文章針對工程地質(zhì)多源數(shù)據(jù)的分布和地質(zhì)曲面的特征,充分考慮了地質(zhì)精度要求、曲面連續(xù)性和數(shù)據(jù)存儲量等方面的均衡,提出并實現(xiàn)了基于NURBS技術的復雜地質(zhì)曲面插值—逼近擬合構造方法。該方法對于工程關鍵區(qū)域集中且均勻分布的原始數(shù)據(jù),采用NURBS蒙皮插值方法,使曲面嚴格通過這些數(shù)據(jù)點;對于周邊區(qū)域分布離散的數(shù)據(jù),采用逼近擬合方法,使曲面在給定精度下充分逼近原始數(shù)據(jù);并可通過地質(zhì)結構合理性檢查、曲面幾何性和原始數(shù)據(jù)精度分析對構造曲面進行檢查分析和調(diào)整。實例研究表明,該方法所構造的地質(zhì)曲面能滿足地質(zhì)工程師的實際需要,并能為進一步的三維地質(zhì)建模提供基礎,效果良好。

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