王家林，夏 立，吳正國(guó)，楊宣訪

（海軍工程大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，武漢 430033）

隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的日益擴(kuò)大，對(duì)如何及時(shí)獲取電網(wǎng)信息并對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控和管理提出了更高更復(fù)雜的要求。同步相量測(cè)量［1～3］是應(yīng)復(fù)雜電力系統(tǒng)實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)監(jiān)控的需要而興起的一項(xiàng)技術(shù) －－ 同 步 相 量 測(cè) 量 裝 置PMU（phasor measurement unit），可以在安裝地點(diǎn)對(duì)電力系統(tǒng)相應(yīng)的各種參數(shù)進(jìn)行同步的采集和實(shí)時(shí)的計(jì)算，并根據(jù)不同的電力系統(tǒng)監(jiān)控模式，將檢測(cè)數(shù)據(jù)傳送給監(jiān)控網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)需求節(jié)點(diǎn)。潮流計(jì)算［4］用以分析電力系統(tǒng)在某一時(shí)間斷面系統(tǒng)各狀態(tài)變量值與系統(tǒng)內(nèi)的功率分布情況，其計(jì)算結(jié)果為系統(tǒng)穩(wěn)定性分析、保護(hù)與重構(gòu)等提供初始條件和判別依據(jù)，對(duì)系統(tǒng)在線狀態(tài)計(jì)算、系統(tǒng)狀態(tài)預(yù)估等具有重要的意義。因此根據(jù)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)優(yōu)化配置PMU，測(cè)出部分節(jié)點(diǎn)的電壓相量，使得潮流方程組可以直接、快速、高精度求解是非常有意義的［5］。文獻(xiàn)［6～8］采用優(yōu)化算法求解PMU最優(yōu)配置問(wèn)題，但提出的判斷PMU配置方案是否滿(mǎn)足潮流方程直接可解的方法過(guò)于繁瑣、在節(jié)點(diǎn)數(shù)較多的系統(tǒng)中難以表達(dá)且算法實(shí)現(xiàn)困難；文獻(xiàn)［9］提出基于動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)度的方法在求解速度上有一定優(yōu)勢(shì)，但易陷入局部最優(yōu)解。本文根據(jù)電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣的特點(diǎn)，指出電力系統(tǒng)潮流方程的特征可用系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于關(guān)聯(lián)矩陣的滿(mǎn)足潮流方程直接可解的電力系統(tǒng)PMU最優(yōu)配置方法，并以IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)說(shuō)明了算法原理，最后利用IEEE30節(jié)點(diǎn)、新英格蘭39節(jié)點(diǎn)、IEEE57節(jié)點(diǎn)、IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)該算法進(jìn)行驗(yàn)證，給出IEEE30節(jié)點(diǎn)、新英格蘭39節(jié)點(diǎn)的分步配置算法實(shí)現(xiàn)的步驟和結(jié)果，并與已有方法得到的結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果表明該算法是有效的，具有簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)，在滿(mǎn)足潮流方程直接可解的基礎(chǔ)上能有效減少PMU配置數(shù)目。

1 考慮潮流方程直接可解PMU配置方法

假設(shè)電力系統(tǒng)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中節(jié)點(diǎn)j為平衡節(jié)點(diǎn)，潮流問(wèn)題可歸結(jié)為由系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)給定的復(fù)功率求解各節(jié)點(diǎn)電壓相量的問(wèn)題，因此潮流方程是一組關(guān)于電壓相量的非線性方程組［10］：

式中：Si＝Pi＋j Qi為節(jié)點(diǎn)i的注入功率；˙Ui＝Ui∠θi為節(jié)點(diǎn)i的電壓相量；Yij為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣Y中的元素。

電力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)存在高度的稀疏性，若利用此特點(diǎn)適當(dāng)配置PMU便能求解前i－1個(gè)方程，使得在求解第i個(gè)功率方程時(shí)式（1）右端最多只有一個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓相量 ，則有

若從i＝1到i＝n－1的每步均能實(shí)現(xiàn)上述條件，則求解潮流方程可以不必迭代，此方法稱(chēng)為基于PMU的電力系統(tǒng)潮流直接解法。

2 基于關(guān)聯(lián)矩陣的電力系統(tǒng)PMU配置方法

由于電力網(wǎng)絡(luò)本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣維數(shù)相同且矩陣元素非零元位置相同，以圖1IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例如圖1所示。節(jié)點(diǎn)1為平衡節(jié)點(diǎn)，其潮流方程如下。

圖1 IEEE14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.1 IEEE14－bus system

矩陣中每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)潮流方程，每一列代表對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓向量，“1”表示潮流方程中未知節(jié)點(diǎn)電壓向量，以矩陣第5行為例，對(duì)應(yīng)潮流方程（7），1、2、4、5、6列對(duì)應(yīng)元素為“1”，則節(jié)點(diǎn)1、2、4、5、6電壓向量未知。則潮流方程的特征可用關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述。

IEEE14節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)矩陣A如下。

由關(guān)聯(lián)矩陣與潮流方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以得出：

（1）若某一節(jié)點(diǎn)配置PMU，則潮流方程中該節(jié)點(diǎn)的電壓向量已知，關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)應(yīng)的列的元素全部置零。

（2）若矩陣中某一行只含一個(gè)“1”，則說(shuō)明其對(duì)應(yīng)的潮流方程只含有一個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓向量，方程可解，且該非零元所在列對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)的電壓向量亦可知。（0＊表示潮流方程不含對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓向量，0表示該節(jié)點(diǎn)配置PMU或節(jié)點(diǎn)電壓向量已直接解出）以Ωi＝1表示在節(jié)點(diǎn)i配置PMU，Ωi＝0表示在節(jié)點(diǎn)i不配置PMU。

由于平衡節(jié)點(diǎn)必須配置PMU，則節(jié)點(diǎn)1的電壓向量˙U1已知，關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)應(yīng)的列的元素全部置零，得到關(guān)聯(lián)矩陣B。

搜索關(guān)聯(lián)矩陣B的每一行，計(jì)算每一行的“1”的個(gè)數(shù)，將含有最少相同“1”的個(gè)數(shù)的行編為一組，對(duì)應(yīng)的將含有最少相同未知節(jié)點(diǎn)電壓向量（一般為2個(gè)）的潮流方程編為一組，考慮配置最少PMU使這組方程直接可解。由矩陣B可以得出，第1行和第8行含有兩個(gè)“1”，對(duì)應(yīng)潮流方程（3）、（10）有兩個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓向量。對(duì)于潮流方程（3），在節(jié)點(diǎn)2或5配置PMU可使方程直接可解，同理方程（10），則使這兩個(gè)潮流方程直接可解的PMU最優(yōu)配置方案為F1∶（Ω2∨Ω5）∧ （Ω7∨Ω8）＝1。方程解出，節(jié)點(diǎn)電壓向量˙U2、˙U5、˙U7、˙U8已知，關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)應(yīng)的列的元素全部置零得到矩陣C。

由矩陣C可以得出，第2、3、5、7行含有兩個(gè)“1”，對(duì)應(yīng)潮流方程（4）（5）（7）（9）有兩個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓向量。使這四個(gè)潮流方程直接可解的PMU配置方案為（Ω3∨Ω4）∧ （Ω4∨Ω6）∧（Ω4∨Ω9）＝1，通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到最優(yōu)PMU配置方案為F2∶Ω4＝1。方程解出，節(jié)點(diǎn)電壓向量˙U3、˙U4、˙U6、˙U9已知，關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)應(yīng)的列的元素全部置零得到矩陣D。

由矩陣D可以得出，第9、10、11、12、14行含有兩個(gè)"1" ，對(duì)應(yīng)潮流方程（11）（12）（13）（14）（16）有兩個(gè)未知節(jié)點(diǎn)電壓向量。使這四個(gè)潮流方程直接可解的PMU配置方案為，（Ω10∨Ω14）∧（Ω10∨Ω11）∧ （Ω12∨Ω13）∧ （Ω13∨Ω14）＝1，通過(guò)化簡(jiǎn)可以得到最優(yōu)PMU配置方案為F3∶Ω10∨Ω11∨Ω12∨Ω13∨Ω14＝1。方程解出，節(jié)點(diǎn)電壓向量˙U10、˙U11、˙U12、˙U13、˙U14已知，關(guān)聯(lián)矩陣對(duì)應(yīng)的列的元素全部置零，得到全為零元的矩陣，至此，潮流方程完全解出。滿(mǎn)足潮流方程直接可解的PMU配置方案為F∶F1∧F2∧F3＝1。結(jié)果如表1所示，與文獻(xiàn)［8，9］結(jié)果相同。

由此得到一種基于關(guān)聯(lián)矩陣的電力系統(tǒng)PMU分步最優(yōu)配置方法：

1）根據(jù)電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和潮流方程組，形成得到電力系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣，設(shè)定系統(tǒng)的平衡節(jié)點(diǎn)；

2）搜索關(guān)聯(lián)矩陣的每一行，計(jì)算每一行的“1”的個(gè)數(shù)，將含有最少相同“1”的個(gè)數(shù)的行編為一組，對(duì)應(yīng)的將含有最少相同未知節(jié)點(diǎn)電壓向量（一般為2個(gè)）的潮流方程編為一組，得到使其直接可解的最優(yōu)PMU配置方案Fi＝1，則其包含的節(jié)點(diǎn)電壓向量均為已知；

3）將由2）得到的已知電壓向量的節(jié)點(diǎn)在關(guān)聯(lián)矩陣中對(duì)應(yīng)的列置零，若部分置零后的矩陣中某一行只含一個(gè)非零元，則將該非零元所在列全部置零，重復(fù)步驟2）；

4）重復(fù)步驟2）和3），直至關(guān)聯(lián)矩陣為零矩陣，得到滿(mǎn)足潮流方程直接可解的PMU配置方案為F∶F1∧F2∧…Fk＝1。

表1 所提算法的PMU配置結(jié)果Tab.1 Results of optimal PMU placement

基于關(guān)聯(lián)矩陣的電力系統(tǒng)PMU分步最優(yōu)配置方法實(shí)現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 基于關(guān)聯(lián)矩陣的PMU最優(yōu)配置方法流程Fig.2 Flow chart of optimal PMU placement based on interactor matrix

幾點(diǎn)說(shuō)明：

（1）基于潮流可解的PMU最優(yōu)配置的數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是：對(duì)于一個(gè)含n個(gè)未知數(shù)的方程組，尋找令最少的未知數(shù)為已知量而使方程可解。借鑒求解方程組（或系數(shù)矩陣的初等變換）得到最簡(jiǎn)等效方程組，再代入已知量求解未知數(shù)的方法，分步配置方案中每一步都是選取含有最少相同未知量個(gè)數(shù)的潮流方程編為一組，使其為最簡(jiǎn)方程組；對(duì)每一組潮流方程配置方案邏輯表達(dá)式進(jìn)行簡(jiǎn)化，優(yōu)選出最優(yōu)配置方案，則每一組潮流方程直接可解的PMU配置方案是最優(yōu)的。

（2）關(guān)于采用計(jì)算機(jī)求解“邏輯表達(dá)式”方法，分步配置方案為邏輯表達(dá)式，可利用計(jì)算機(jī)采用表格化簡(jiǎn)法（奎恩 －麥克路斯基法）進(jìn)行基于邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則的簡(jiǎn)化，形如（Ω7∨Ωj）∧（Ωj∨Ωk）＝1表達(dá)式可化簡(jiǎn)為（Ωj）∨ （Ωi∧Ωk）＝1（（Qq）∨（Qp）＝1），選取各項(xiàng)中含最少變量項(xiàng)為最優(yōu)配置方案，得最優(yōu)配置為Ωj＝1。

3 算例

按照?qǐng)D2所示的算法流程，本文以IEEE30、IEEE57、IEEE118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例對(duì)文中提出的基于關(guān)聯(lián)矩陣的PMU分步最優(yōu)配置算法進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)見(jiàn)表2，表3和表4為按照?qǐng)D2所示的算法以IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例實(shí)現(xiàn)的步驟和結(jié)果。表5為本文所得到的最優(yōu)配置結(jié)果與文獻(xiàn)［5，7～9］所介紹方法的比較。

表2 測(cè)試系統(tǒng)參數(shù)Tab.2 Parameters of testing systems

表3、表4基于本文所提方法的實(shí)現(xiàn)步驟的和結(jié)果表明該方法的有效性，分步配置原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。表5表明本文方法的優(yōu)越性，特別是在較多節(jié)點(diǎn)情況下更能有效減少PMU配置數(shù)目。

表3 基于IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的算法實(shí)現(xiàn)的步驟和結(jié)果Tab.3 Result and process of realization arithmetic on IEEE 30－bus system

表4 基于新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的算法實(shí)現(xiàn)的步驟和結(jié)果Tab.4 Result and process of realization arithmetic on New England 39－bus system

表5 不同算法的PMU配置結(jié)果比較Tab.5 Results of optimal PMU placement by different methods

4 結(jié)論

（1）根據(jù)電力系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣和節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣，電力系統(tǒng)潮流方程特征可用系統(tǒng)關(guān)聯(lián)矩陣來(lái)描述。

（2）基于關(guān)聯(lián)矩陣的滿(mǎn)足潮流方程直接可解的電力系統(tǒng)PMU分步最優(yōu)配置方法，簡(jiǎn)單有效，易于實(shí)現(xiàn)，能減少PMU配置數(shù)目，可為電力系統(tǒng)配置PMU提供參考。

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