關(guān)永剛，楊 穎，于歆杰

(清華大學(xué)電機工程與應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084)

本科“電路原理”課程教學(xué)中，動態(tài)電路是難度較大的部分。其主要原因在于求解動態(tài)電路的方法與數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密，學(xué)生往往容易死記硬背各種公式，缺乏對電路內(nèi)在本質(zhì)的了解和掌握。單位沖擊響應(yīng)、電容電壓或電感電流的跳變、卷積求零狀態(tài)響應(yīng)、二階電路的求解和狀態(tài)方程的列寫是動態(tài)電路教學(xué)中幾個比較困難的知識點。本文介紹了筆者對于后兩個內(nèi)容的一些思考。

1 二階動態(tài)電路時域求解的經(jīng)典法

對于任意待求支路量f(t)(這里，f可以為電壓u或電流i)來說，現(xiàn)行教材中介紹的求解過程一般是這樣的:首先需要根據(jù)基爾霍夫定律(KCL和KVL)和元件約束(VCR)列寫微分方程。然后求解對應(yīng)的齊次方程的特征方程，得到特征根，從而確定響應(yīng)形式。第三步是根據(jù)微分方程等號右端項確定方程的特解，進而獲得 f(t)的通解。第四步是求 f(0+)和 f'(0+)最后根據(jù) f(0+)和 f'(0+)確定通解中的兩個待定系數(shù)，完成支路量的求解過程［1-6］。

實際教學(xué)過程中，學(xué)生往往會死記硬背上述過程，以純數(shù)學(xué)的手段完成二階電路的求解。這就使得“電路原理”課程在完成方程列寫后缺乏物理意義，不免有些遺憾。此外，上述過程中，微分方程列寫和f'(0+)求解這兩個過程往往存在一定的技巧性。學(xué)生在這兩個環(huán)節(jié)易走彎路。

本文就是針對這一情況，從幾個方面加深學(xué)生對二階電路物理過程和物理本質(zhì)的理解，從而達到更好的教學(xué)效果。

2 二階動態(tài)電路響應(yīng)的內(nèi)在聯(lián)系

1)二階動點電路響應(yīng)的形式

讀電路響應(yīng)形式分為過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼和無阻尼四種:

對于式(1)所示的特征方程來說，式(2)所示的四種特征根分別對應(yīng)上述四種響應(yīng)形式。

對于任意支路量 f(t)來說，過阻尼自由分量通解形式為f(t)=A1ep1t+A2ep2t，臨界阻尼自由分量通解為 f(t)=(B1+B2t)e-αt，欠阻尼自由分量通解為 f(t)=ke-αtsin(ωdt+ φ)，無阻尼自由分量通解為f(t)=k sin(ω0t+ φ) 。其中 A1、A2、B1、B2、k 和 φ為待定系數(shù)。

表面上看，四種阻尼條件下電路通解的形式各不相同。但是，這四個表達式描述的都是二階電路的響應(yīng)特性，是否應(yīng)具有某種共同的特性或內(nèi)在的聯(lián)系呢?

從欠阻尼狀態(tài)到無阻尼狀態(tài)的過渡是容易理解的。無阻尼表達式就是欠阻尼表達式在α→0時的極限情況，這一般也對應(yīng)著電路中消耗能量的電阻趨向于0。這兩種條件下響應(yīng)的表達式無論在形式上和本質(zhì)上都是統(tǒng)一的。

2)阻尼通解表達式關(guān)系

下面著重討論過阻尼、臨界阻尼和欠阻尼三種通解表達形式之間的關(guān)系。

以圖1所示的典型RLC串聯(lián)零狀態(tài)二階電路作為例。圖中電源電壓U=100V，電阻R=100～300Ω，電感 L=10mH，電容 C=1μF。t=0時，S 閉合。根據(jù)式(2)易知R＞200Ω時，電路為過阻尼;R=200Ω時，電路為臨界阻尼;0＜R＜200Ω時，電路為欠阻尼。對該電路進行仿真，考察電容上電壓uC，結(jié)果如圖2所示。從波形曲線上看，在電阻R由300 Ω逐漸減小至100Ω的過程中，電路由過阻尼狀態(tài)逐漸過渡到欠租尼狀態(tài)，曲線過渡自然連續(xù)、沒有突變。因此，各條曲線對應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式也應(yīng)該是相互關(guān)聯(lián)和內(nèi)在統(tǒng)一的。

圖1 RLC串聯(lián)零狀態(tài)二階電路

圖2 不同阻尼情況下電容電壓ue波形

我們先考察欠阻尼到臨界阻尼的過渡。圖1所示電路中，隨著R增大，式(1)中的α越來越大，使得ωd→0，意味著欠阻尼的衰減震蕩周期T→∞ 。

于是對于任意時間范圍［0，t］來說，ωdt均可被視為屬于無窮大周期正弦在t=0附近的小區(qū)域，因此可將sin(ωdt+φ)用一階泰勒展開式替代，即寫為sin(ωdt+ φ)→ ωdt。也就是說，ke－αtsin(ωdt+ φ)→ ke－αtωdt，這就是臨界阻尼表達式中出現(xiàn) te－αt的原因。因此，臨界阻尼的表達式 B1e－αt+B2te－αt中，前者對應(yīng)過阻尼的指數(shù)衰減部分，后者對應(yīng)欠阻尼的衰減震蕩部分。

我們還可以考察過阻尼到臨界阻尼的過渡。類似地，圖1所示電路中，隨著R的減小，式(1)中的α越來越小，使得 αd→0。于是對于任意時間范圍［0，t］來說，αdt屬于在 t=0附近的小區(qū)域。因此，我們可以將 eαdt和 e－αdt分別用一階泰勒展開式替代，即 eαdt→1+αdt和 e－αdt→1 － αdt。這樣，過阻尼表達式就變成［A1(1+αdt)+A2(1 － αdt)］e－αt→［(A1+A2)+(A1－ A2)αdt］e－αt，從而順利過渡為臨界阻尼表達式。

通過上述過程，我們可講清楚二階電路所有響應(yīng)形式之間的過渡關(guān)系。

3 列寫狀態(tài)方程的一般性方法

對于狀態(tài)方程的列寫來說，一般講授兩種方法:①根據(jù)KCL、KVL和元件約束列寫數(shù)量足夠的、包含狀態(tài)量和非狀態(tài)量的獨立方程，消去非狀態(tài)量，得到僅包含狀態(tài)量的一階常系數(shù)常微分方程組;②將電容看作電壓源，電感看作電流源，用疊加定理求流經(jīng)電容的電流和電感兩端的電壓，然后根據(jù)電容和電感的VCR獲得狀態(tài)方程。

這兩種方法各有利弊。前者在列寫方程和消去非狀態(tài)量過程中有一定技巧性，后者轉(zhuǎn)化為求解多個電阻電路，有時頗為瑣碎。

從第②種方法出發(fā)，可引申出列寫狀態(tài)方程的一般性方法。該方法將狀態(tài)方程列寫與電阻電路求解緊密結(jié)合起來，學(xué)生可靈活選擇求解電阻電路的各種方法以獲得狀態(tài)方程。

該一般性的方法其實就是在獲得上述第二種方法所示電路后，不拘泥于用疊加定理求解該電阻電路，可用電阻電路的任意分析方法來求解出流經(jīng)電容的電流和電感兩端的電壓。

下面以圖3(a)所示零狀態(tài)電路為例來說明，其中激勵為單位階躍函數(shù)ε(t)。

將圖3(a)所示電路中電容替換為電壓源，電感替換為電流源后，得到如圖3(b)所示電阻電路。我們可以用求解電阻電路的任何方法來求iC和uL。這里以節(jié)點法為例參考點已標(biāo)注于圖3(b)中。對于節(jié)點電壓u來說，有方程:

求得 u=0.25uC－0.25iL+0.25。易知 iC=-uC+u －1=-0.75uC－0.25iL－0.75，uL=u=0.25uC－0.25iL+0.25。因此，可整理出狀態(tài)方程為

需要指出，節(jié)點法不一定為求解圖3(b)所示電路最便捷的方法。這里僅用其說明任意方法均適用。

用該思路也適用于列寫輸出方程。以圖3(a)中iR為例，根據(jù)圖3(b)和式(3)易知

圖3 狀態(tài)方程和二階例題

4 二階動態(tài)電路求解的一般性方法

我們可根據(jù)狀態(tài)方程與高階微分方程之間內(nèi)在的聯(lián)系，利用狀態(tài)方程列寫的一般性方法，獲得求解二階動態(tài)電路的一般性方法。這里不加證明地敘述三個事實:①動態(tài)電路中任意支路量的響應(yīng)形式均相同，各個支路量的區(qū)別在于穩(wěn)態(tài)值、0+值和各階導(dǎo)數(shù)的0+值不同;②高階微分方程對應(yīng)的特征方程就是求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣特征根所需的方程;③實際穩(wěn)定的電路中由于電阻均為正值，過渡過程勢必最終趨向于0，因此任意支路量的通解可寫作穩(wěn)態(tài)解+過渡過程的形式。

對于二階電路來說，第1節(jié)所示經(jīng)典法的難度主要在于列寫任意支路量的微分方程和求解任意支路量一階導(dǎo)數(shù)0+值這兩步均有一定技巧性。下面我們以圖3(a)所示電路為例，采用如下四步以一般性的方法來求解iR。

1)可以通過第3節(jié)所述一般性方法列寫出狀態(tài)方程，求其系數(shù)矩陣特征根，即可得到電路的響應(yīng)形式。在本例中，根據(jù)式(4)，求解系數(shù)矩陣特征根的方程為

可求得p1=p2=-1，即該電路為臨界阻尼。

2)圖3(a)所示電路穩(wěn)態(tài)時，等效電路如圖3(c)所示(電容開路，電感短路)。易知iR(∞)=0。因此，iR的通解為

3)求取0+值。由于圖3(a)所示電路為零狀態(tài)電路，容易畫出其0+時刻等效電路如圖3(d)所示(電容短路，電感開路)，可求得iR(0+)=0.75A 。

4)求一階導(dǎo)數(shù)的0+值。在第3節(jié)中我們已經(jīng)求解出式(5)所示的輸出方程，因此有

上式中，第2個等號應(yīng)用了電容和電感的VCR。在圖3(d)所示0+電路中容易求出iC(0+)=-0.75A，uL(0+)=0.25V，因此可知 i'R(0+)=-1.5A/s。

5)將iR(0+)和i'R(0+)代入式(7)可求出A1=0.75 ，A2=-0.75 。因此 iR=0.75(1 － t)e－1A(t＞0+)。

需要指出的是，前面討論的方法并不一定是求解圖3(a)所示電路支路量iR的最簡便方法。但仔細觀察整個求解過程可以發(fā)現(xiàn)，該方法將二階電路求解轉(zhuǎn)化為圖3所示的一系列電阻電路求解，充分利用狀態(tài)方程、輸出方程與二階電路支路量之間的物理聯(lián)系，是一種一般性的求解方法。采用這種方法，不需要任何技巧，即可求解二階電路中的任意支路量。在這一點上，該方法與一階電路的三要素法具有相同的地位。此外，該方法還可以方便地擴展至正弦激勵作用下的二階動態(tài)電路。

5 結(jié)語

通過前面幾節(jié)的討論不難發(fā)現(xiàn)，只要我們掌握了動態(tài)電路的本質(zhì)和內(nèi)涵，就可以在課堂教學(xué)中將相關(guān)知識點融會貫通，使學(xué)生不再沉湎于列寫方程、消去無關(guān)量等技巧性工作，而是將更多注意力放在對電路本質(zhì)的理解上。這一點，無疑可以提高“電路原理”課程的教學(xué)質(zhì)量。

［1］ 于歆杰，朱桂萍，陸文娟.電路原理［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007

［2］ 李瀚蓀.簡明電路分析基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2002

［3］ 周守昌.電路原理(第2版)［M］.北京:高等教育出版社，2004

［4］ 江緝光，劉秀成.電路原理(第2版)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2007

［5］ 邱關(guān)源，羅先覺.電路(第6版)［M］.北京:高等教育出版社，2006

［6］ 陳洪亮，張峰，田社平.電路基礎(chǔ)［M］.北京:高等教育出版社，2007