張耀屹，徐績(jī)青，許錫賓

(重慶交通大學(xué)河海學(xué)院，重慶400074)

波浪輻射應(yīng)力的概念是由Longuet-Higgins和Stewart提出的，他們?cè)谂ｎD流體力學(xué)定理和速度沿水深均勻分布假定的基礎(chǔ)上，將波浪輻射應(yīng)力定義為由于波浪現(xiàn)象而產(chǎn)生的動(dòng)量超通量［1］;可見輻射應(yīng)力只是一種通俗的稱謂，它是被平均在水深上的力，并不能完全體現(xiàn)流場(chǎng)中流體具體某一點(diǎn)的應(yīng)力。

雷諾輸運(yùn)方程表明:一個(gè)物質(zhì)體系內(nèi)某種流體廣延量的增長(zhǎng)率，等于體系在該時(shí)刻所占的那個(gè)空間區(qū)域中同一物理量的增長(zhǎng)率加上單位時(shí)間內(nèi)由區(qū)域邊界流出的該物理量的總通量;進(jìn)而雷諾輸運(yùn)方程導(dǎo)出的流體動(dòng)量方程探索出:在空間的一個(gè)固定區(qū)域中，單位時(shí)間內(nèi)流體總動(dòng)量的增加，等于該時(shí)間內(nèi)通過區(qū)域邊界面進(jìn)入?yún)^(qū)域的動(dòng)量(包括由于流體進(jìn)出該區(qū)域所攜帶的動(dòng)量的凈增量和由于表面力作用傳遞到區(qū)域內(nèi)的動(dòng)量)，加上在外場(chǎng)力作用下引起的區(qū)域內(nèi)流體動(dòng)量的改變［2］。

通過對(duì)以上2組概念的對(duì)比，不難看出可以運(yùn)用雷諾輸運(yùn)方程求出由于波浪現(xiàn)象而產(chǎn)生的動(dòng)量超通量，進(jìn)而表示出波浪的輻射應(yīng)力張量。

1 輻射動(dòng)量應(yīng)力的產(chǎn)生

1.1 傳統(tǒng)輻射應(yīng)力張量的表達(dá)式及應(yīng)用［3－5］

1.1.1 傳統(tǒng)輻射應(yīng)力張量的表達(dá)式

通常，輻射應(yīng)力的張量表達(dá)式為:

式中:sxx表示作用在垂直于x軸平面的x方向的剩余動(dòng)量流，稱作輻射應(yīng)力在x方向上的主分量;syy表示作用在垂直于y軸平面上的y方向的剩余動(dòng)量流，稱作輻射應(yīng)力在y方向上的主分量;sxy表示作用在垂直于x軸平面上的y方向動(dòng)量流，稱作輻射應(yīng)力在垂直于x軸平面上的切向分量;syx表示作用在垂直于y軸平面上的x方向的動(dòng)量流，稱作輻射應(yīng)力在垂直于y軸平面上的切向分量。以不同的波理論的水質(zhì)點(diǎn)速度及波壓力公式可以計(jì)算得到不同的輻射應(yīng)力表達(dá)式。據(jù)微幅波理論，波向角為α?xí)r輻射應(yīng)力的張量形式表達(dá)式為:

1.1.2 傳統(tǒng)輻射應(yīng)力張量推導(dǎo)的減水方程

用傳統(tǒng)的輻射應(yīng)力公式求得規(guī)則波的減水方程為:

式中:A為波浪振幅;k為波數(shù);h為水深。

1.2 “輻射動(dòng)量應(yīng)力”張量的表示

1.2.1 理論探討

Longuet-Higgins和Stewart將作用于單位面積水柱體的總動(dòng)量流的時(shí)均值減去無波浪作用時(shí)的靜水壓力定義為波浪剩余動(dòng)量流，又稱作輻射應(yīng)力［1］。而實(shí)際上，由雷諾輸運(yùn)方程出發(fā)推出動(dòng)量流ρvivj才是真正的應(yīng)力張量。沿整個(gè)控制體的外表面做曲面積分，得到的是一個(gè)合力，這才是“輻射應(yīng)力”的本質(zhì)特征。由于:

1)動(dòng)量流的周期時(shí)均值仍然是一個(gè)張量(其變換法則不受時(shí)間的影響);

根據(jù)傳統(tǒng)輻射應(yīng)力的概念，結(jié)合雷諾輸運(yùn)方程，定義:輻射動(dòng)量應(yīng)力=-動(dòng)量流+反向應(yīng)力;由此可見:輻射動(dòng)量應(yīng)力是一個(gè)真正的應(yīng)力張量。其表達(dá)式可表示為:

即:

式中:ρvivj為動(dòng)量流的應(yīng)力張量分量為反向應(yīng)力的張量表達(dá)式。

1.2.2 公式證明［2，6-7］

靜水壓力的曲面積分(對(duì)坐標(biāo))已與控制體的重力抵消，對(duì)于二階斯托克斯波的作用，靜水壓力曲面積分等于控制體的重力，如圖1。

圖1 任意運(yùn)動(dòng)流體質(zhì)點(diǎn)受力Fig.1 Arbitrary exercise fluid particles stress

從動(dòng)量流出發(fā)得到的該方程符合積分形式的動(dòng)量方程，還可變?yōu)槲⒎中问降倪\(yùn)動(dòng)方程，從而得出“輻射動(dòng)量應(yīng)力”張量表達(dá)式(2)，式(2)在流體中的確發(fā)揮的是輻射應(yīng)力的作用。

2 用“輻射動(dòng)量應(yīng)力”求解減水方程

“輻射動(dòng)量應(yīng)力”在海岸動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用，即波浪增減水方程的求解。

波浪增減水方程可以看成沿岸流方程的特例，沿x方向(見圖2)的沿岸流方程:

其中:Cij為“輻射動(dòng)量應(yīng)力”，對(duì)應(yīng)二階斯托克斯波(pij為反向應(yīng)力)。

這時(shí)，假定u=0，平直海岸情況下波高在沿岸方向均勻一致，即u與項(xiàng)均為0。沿岸流方程可簡(jiǎn)化為:

因?yàn)?，波浪沿x方向傳播，即Cxy=0，Cxz=0，那么此方程在本質(zhì)上仍然表現(xiàn)為波浪正向傳播時(shí)所產(chǎn)生的增減水作用，即

因?yàn)椋A斯托克斯波的時(shí)均水面下降η*，所以波動(dòng)壓力的時(shí)均值取z'為坐標(biāo)原點(diǎn)，即:

破波帶外:

整理得:

綜上所述:

由此可見，以上用“輻射動(dòng)量應(yīng)力”求解的減水方程的結(jié)果式(4)忽略掉高階無窮小量后與用傳統(tǒng)輻射應(yīng)力張量算出的減水方程的結(jié)果式(1)形式上是一致的;另外，式(4)比式(1)多了一個(gè)高階無窮小的修正量值，理論上增強(qiáng)了運(yùn)算結(jié)果的可靠性。

3 結(jié)論

1)用波浪輻射動(dòng)量應(yīng)力分析波浪減水現(xiàn)象，推導(dǎo)出的減水方程與傳統(tǒng)輻射應(yīng)力張量計(jì)算出的結(jié)果基本吻合，具有可靠性。

2)相對(duì)于傳統(tǒng)概念的“輻射應(yīng)力”，“輻射動(dòng)量應(yīng)力”具有明顯的優(yōu)越性。它體現(xiàn)的是真正的應(yīng)力張量;張量各分量沿水深的變化一目了然;作用力的計(jì)算比較簡(jiǎn)單;概念非常清楚，體現(xiàn)了力學(xué)本源;拓展了輻射應(yīng)力的適應(yīng)范圍，傳統(tǒng)的輻射應(yīng)力概念在牛頓流體力學(xué)定理和速度沿水深均勻分布假定的基礎(chǔ)上建立的，而本表達(dá)式?jīng)]有相關(guān)的限制。

3)運(yùn)用輻射動(dòng)量應(yīng)力還可來求解波浪的增水方程和探尋沿岸流的生成機(jī)理。

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