林世芳

(福建醫(yī)科大學(xué)人文學(xué)院，福州 350008)

哥德爾的辯證思維與不完全性定理證明

林世芳

(福建醫(yī)科大學(xué)人文學(xué)院，福州 350008)

通過對(duì)哥德爾不完全性定理的證明語(yǔ)境和證明思維過程進(jìn)行分析，可以從四個(gè)方面揭示出哥德爾思維方式的辯證性。這四個(gè)方面分別是:概念的相互隸屬、問題的嬗變、系統(tǒng)與系統(tǒng)的同構(gòu)轉(zhuǎn)換以及悖論結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換和利用。

哥德爾;不完全性定理;辯證思維

辯證思維方式是從聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)理解和把握事物及其概念的，它反對(duì)孤立、片面、靜止和形而上學(xué)的觀點(diǎn)。恩格斯指出:“辯證邏輯和舊的單純形式的邏輯相反，不像后者那樣只滿足于把思維運(yùn)動(dòng)的各種形式，即各種不同的判斷形式和推理形式列舉出來(lái)并且毫無(wú)聯(lián)系地并列起來(lái)。相反地，辯證邏輯由此及彼地推導(dǎo)出這些形式，不把它們并列起來(lái)，而使它們互相從屬，從低級(jí)形式發(fā)展出高級(jí)形式。”［1］數(shù)學(xué)中的概念與命題是相互聯(lián)系的，這種相互聯(lián)系是具體的、抽象的，也是深刻的，并不能輕易地被發(fā)現(xiàn)，需要發(fā)現(xiàn)者非凡的想象力和邏輯推理能力。邏輯學(xué)家柯琴是這樣評(píng)價(jià)哥德爾不完全性定理的證明的:“這個(gè)證明的兩面性也反映出哥德爾頭腦里某些本質(zhì)性的東西，狂野的想象力同單調(diào)的循規(guī)蹈矩結(jié)合在一起?！泵恳粋€(gè)證明都有特定的邏輯結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是一個(gè)相互聯(lián)系的系統(tǒng)。杰出的瑞士學(xué)者皮亞杰在《結(jié)構(gòu)主義》一書中將結(jié)構(gòu)的整體性、轉(zhuǎn)換和自身調(diào)節(jié)性緊密聯(lián)系在一起。他認(rèn)為各種結(jié)構(gòu)都有自己的整體性，結(jié)構(gòu)是可以形式化的，然而一項(xiàng)起結(jié)構(gòu)作用的活動(dòng)，只能包含在一個(gè)轉(zhuǎn)換體系里面進(jìn)行，“結(jié)構(gòu)最重要的是要成為一個(gè)若干轉(zhuǎn)換的體系，不是某個(gè)靜止的形式，而運(yùn)算推理是起自我調(diào)節(jié)作用的?！保?］通過對(duì)哥德爾不完全性定理證明的分析，我們可以看到哥德爾具有非凡的數(shù)學(xué)能力和哲學(xué)的辯證思維素養(yǎng)，這使他總能創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的相互聯(lián)系和相互隸屬的關(guān)系，并成功進(jìn)行系統(tǒng)間、關(guān)系間、概念間以及問題之間的轉(zhuǎn)換與化歸。

一、概念的相互隸屬

數(shù)學(xué)概念是從事數(shù)學(xué)思維的工具，概念構(gòu)架是數(shù)學(xué)理解的工具，是數(shù)學(xué)家用以對(duì)他所探索的世界做出理解的方法。恩格斯指出，辯證思維是“以概念本身的本性的研究為前提”［1］的。辯證思維方式不是從概念和符號(hào)的絕對(duì)對(duì)立中去思維，而是承認(rèn)概念的內(nèi)在矛盾性，概念之間的矛盾和關(guān)系的多層次性，從對(duì)立、差異特殊性、多樣性即在對(duì)立統(tǒng)一中去思維。恩格斯指出:“所有的兩極對(duì)立，都以對(duì)立的兩極的相互作用為條件;這兩極的分離和對(duì)立，只存在于它們的相互依存和聯(lián)結(jié)之中，反過來(lái)說，它們的聯(lián)結(jié)，只存在于它們的分離之中，它們的相互依存，只存在于它們的對(duì)立之中。”［1］

概念的辯證本質(zhì)表現(xiàn)在概念的相互依賴、對(duì)立與統(tǒng)一，一個(gè)概念向另一個(gè)概念的轉(zhuǎn)化，概念的永恒運(yùn)動(dòng)、更換。對(duì)概念的關(guān)系的準(zhǔn)確把握是邏輯的主要內(nèi)容。哥德爾對(duì)哲學(xué)與概念思辨的興趣使哥德爾從早期對(duì)數(shù)論的關(guān)注轉(zhuǎn)向邏輯?！斑壿嫷奈芸炀妥兊脧?qiáng)而有力，這既是因?yàn)檫壿媽?duì)哲學(xué)整體有明顯的重要性，又是因?yàn)樗兄Z給出富有哲學(xué)意義的精確的概念性結(jié)果?！保?］哥德爾不完全性定理的證明導(dǎo)源于哥德爾對(duì)形式系統(tǒng)的相容性與完備性這兩個(gè)概念與概念間的相互關(guān)系的辯證思考。相容性是指:一個(gè)系統(tǒng)中不存在一個(gè)命題與這個(gè)命題的否定在系統(tǒng)內(nèi)都可證。完備性是指:一個(gè)系統(tǒng)中的所有的真命題在這個(gè)系統(tǒng)中都是可證的定理。有了完備性才能保證系統(tǒng)的所有命題不是可證的就是可反駁(否證)的，這就意味著這個(gè)形式系統(tǒng)對(duì)數(shù)學(xué)理論作了完全的刻畫。只有既有無(wú)矛盾性又有完備性的理論體系“在理論上看”才是完美的。希爾伯特計(jì)劃就是想通過有限主義的元數(shù)學(xué)方法分別證明形式系統(tǒng)的無(wú)矛盾性和完備性。這個(gè)計(jì)劃把無(wú)矛盾性和完備性分開進(jìn)行考察并預(yù)設(shè)了一個(gè)前提:即無(wú)矛盾性和完備性是可以兼得的。而哥德爾則反之，他摒棄了單極的思考方式，對(duì)無(wú)矛盾性與完備性相互隸屬地進(jìn)行思考，從而得出無(wú)矛盾性與完備性不可兼得的結(jié)論。這是一個(gè)非凡的轉(zhuǎn)換和創(chuàng)新，可以說沒有這種思路的根本轉(zhuǎn)換就沒有哥德爾不完全性定理的證明。

哥德爾洞悉了相容性與完備性矛盾。不相容的或者說有矛盾的形式系統(tǒng)一定是完全的，因?yàn)橛梢粚?duì)矛盾命題能推導(dǎo)出任何命題來(lái)。只有已證明為無(wú)矛盾的系統(tǒng)才需要完全性的證明。這是對(duì)完備性與無(wú)矛盾性相互隸屬的初步考察。進(jìn)一步的思考可以發(fā)現(xiàn)從邏輯上來(lái)說以下的兩種情況是對(duì)等的:由相容性推出完備性即兩可和由相容性推出不完備性即兩不可。哥德爾的助探原理，即對(duì)高度超窮的客觀數(shù)學(xué)真理概念同可證性概念的相互對(duì)立性的洞察，使他能夠在證明前肯定第二條道路的可行性和正確性。哥德爾說:“那時(shí)人們廣泛認(rèn)為，數(shù)學(xué)中的非有窮主義的推理，只是在能夠靠有窮主義元數(shù)學(xué)來(lái)‘解釋’或‘核正’的限度內(nèi)，才有意義。(按:由于我的結(jié)果及爾后的工作才發(fā)覺這大抵不可能)這種見解幾乎不可避免地要把非有窮主義推理從元數(shù)學(xué)中排除掉?！瓫r且容許‘無(wú)意義’的超窮成分進(jìn)入元數(shù)學(xué)，與這門科學(xué)當(dāng)時(shí)盛行的概念本身并不一致。因?yàn)?，按照這個(gè)概念，元數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)里唯一有意義的部分，要經(jīng)過它，(本身無(wú)意義的)數(shù)學(xué)符號(hào)才獲得意義的某種替代物，即使用規(guī)則。當(dāng)然，這種觀點(diǎn)的本質(zhì)是擯棄一切種類的抽象和無(wú)窮客體，數(shù)學(xué)符號(hào)的樸實(shí)意義則是其實(shí)例。也就是說，按這種觀點(diǎn)，意義僅僅屬于談?wù)摲?hào)組合這類具體和有窮客體的命題。”“應(yīng)當(dāng)指出，我在數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中構(gòu)造不可判定的數(shù)論命題的助探原理是‘高度超窮’的客觀數(shù)學(xué)真理概念”［4］。形式主義者把真等同于可證，哥德爾則運(yùn)用概念辯證法，能夠?qū)Ω拍畹木_意義進(jìn)行思考，從而把握內(nèi)容與形式、真理和可證的相互區(qū)別和聯(lián)系?！叭藗?cè)诶硇运季S上總是習(xí)慣于希望通過邏輯推理來(lái)證明一切，豈知某些具有‘無(wú)限性’飛躍結(jié)構(gòu)的概念系統(tǒng)往往越出有限邏輯推理判斷的范圍之外。因此，如果懂得概念思維的辯證法，也就能夠較自覺地去識(shí)別并避免徒勞無(wú)功的嘗試了?！保?］正是對(duì)數(shù)學(xué)真理概念和可證性概念的對(duì)立統(tǒng)一性以及對(duì)相容性與完備性概念間相互隸屬關(guān)系的辯證思考，使哥德爾成功地構(gòu)造出了真卻不可判定的命題。這是完成不完全性定理證明思想的首要條件。

二、問題的嬗變

辯證思維方式擅于把握事物之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)換，始終根據(jù)情境的運(yùn)動(dòng)變化來(lái)改變問題的思考路徑，從而尋找問題的突破口。問題的嬗變即進(jìn)行問題間的轉(zhuǎn)換是哥德爾辯證思維方式的重要表現(xiàn)。1928年9月3日，在波倫亞舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)上，希爾伯特發(fā)表演說“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題”。在演說中他列出了四個(gè)尚未解決的問題。其中第一個(gè)問題就是分析的基本部分(或二階函項(xiàng)演算)的(有窮主義)協(xié)調(diào)性證明。哥德爾證明不完全性定理是從考慮數(shù)學(xué)分析的協(xié)調(diào)性問題開始的。他認(rèn)為，希爾伯特想直接證明分析的協(xié)調(diào)性是不可思議的，應(yīng)該把困難分解成幾個(gè)部分，以便使每一個(gè)問題都容易克服。這樣他把證明一分為二，先證明數(shù)論的協(xié)調(diào)性，然后再用數(shù)論來(lái)證明分析的協(xié)調(diào)性。把直接相容性的證明轉(zhuǎn)換為相對(duì)相容性的證明，這是一個(gè)成功的轉(zhuǎn)化。隨后，哥德爾又決定從比較容易的算術(shù)系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性入手。哥德爾的不完性定理就是在證明數(shù)論的協(xié)調(diào)性問題中得出的。再后，哥德爾迅速覺察數(shù)論真理與可證性的不同，這點(diǎn)無(wú)論數(shù)論取如何完善的形式公理系統(tǒng)都成立，這樣哥德爾領(lǐng)悟了相容性與完備性的不可兼得，轉(zhuǎn)而構(gòu)造不可判定命題。為此王浩指出:哥德爾不完全性定理的發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)“問題嬗變”的過程。這一連串問題的嬗變過程共可以分為五步。一是哥德爾把用有窮主義方法證明分析的一致性問題一分為二。二是他決意先攻打較為明確的相對(duì)一致性問題。三是他注意到數(shù)論中的真理在數(shù)論中不能定義。四是從真實(shí)性轉(zhuǎn)而考慮(形式)可證性，他找到了不可判定命題。最后，他明白了一致性陳述本身也是不可判定的［4］。

三、系統(tǒng)與系統(tǒng)的同構(gòu)轉(zhuǎn)換

辯證思維方式的一個(gè)重要的特點(diǎn)就是系統(tǒng)性。系統(tǒng)性就是在思考問題的過程中把握問題的相關(guān)性、整體性、動(dòng)態(tài)演化性、綜合性。哥德爾辯證思維表現(xiàn)在他的系統(tǒng)轉(zhuǎn)換意識(shí)中。哥德爾在進(jìn)行不完全性定理證明中，對(duì)映射思想進(jìn)行了天才地應(yīng)用。根據(jù)一一對(duì)應(yīng)原則，哥德爾建立兩個(gè)不同系統(tǒng)的同構(gòu)性，從而可以通過研究一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)來(lái)研究另一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的系統(tǒng)。哥德爾在不完全性定理的證明中利用哥德爾配數(shù)法，把算術(shù)系統(tǒng)中的符號(hào)、公式和公式的序列都以自然數(shù)進(jìn)行編碼，從而把關(guān)于符號(hào)、公式的問題轉(zhuǎn)化為自然數(shù)函數(shù)的理論。隨后，哥德爾又通過遞歸函數(shù)的引進(jìn)證明了所有元數(shù)學(xué)中關(guān)于表達(dá)式的結(jié)構(gòu)性質(zhì)的命題均可在算術(shù)系統(tǒng)中得到表示，這樣元理論中的命題和算術(shù)系統(tǒng)中的命題實(shí)現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)。哥德爾是這樣表述自己的證明思路的:“從形式的觀點(diǎn)看，所謂證明實(shí)際上就是公式的一個(gè)有限序列。對(duì)于元數(shù)學(xué)來(lái)說，究竟用什么東西來(lái)作為基本符號(hào)當(dāng)然是沒有關(guān)系的。我們不妨就用自然數(shù)來(lái)作基本符號(hào)，如此，一個(gè)公式就是一個(gè)自然數(shù)的有限序列，而一個(gè)證明便是一個(gè)有限的自然數(shù)或其序列的基本概念(命題)，從而即(至少是部分地)在對(duì)象系統(tǒng)本身的符號(hào)中得到表示，特別是人們可以證明‘公式’、‘證明’、‘可證公式’等都可在對(duì)象系統(tǒng)中加以定義?！边@種一一對(duì)應(yīng)與系統(tǒng)間的同構(gòu)轉(zhuǎn)換思想十分深刻。每一種映射都是一種變換，這種變換的目的是保持某些關(guān)系不變。如何通過分析去發(fā)現(xiàn)這種映射，這種映射如何揭示不變性的關(guān)系，這種映射如何使不變性適用于推理，這些都需要非凡的辯證思維能力和想象力。

簡(jiǎn)單性的信念一直在數(shù)學(xué)家的思維中占據(jù)重要的地位，著名的數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼曾指出:“人們要求一個(gè)數(shù)學(xué)定理或數(shù)學(xué)理論，不僅能用簡(jiǎn)單和優(yōu)美的方法對(duì)大量的先天彼此毫無(wú)聯(lián)系的個(gè)別情況加以描述，并進(jìn)行分類，而且也期望它在‘建筑’結(jié)構(gòu)上‘優(yōu)美’?！绻评硎侨唛L(zhǎng)或復(fù)雜的話，那么就應(yīng)該包含某種簡(jiǎn)單的一般原理，用以‘說明’各種復(fù)雜和曲折的情況，把明顯的武斷化為少數(shù)幾條簡(jiǎn)單的指導(dǎo)性的推動(dòng)因素，等等?！保?］數(shù)學(xué)家始終追求著更大的抽象性和簡(jiǎn)單性。不管是公理化和形式化，還是同構(gòu)映射反演都反映了這種目的。哥德爾對(duì)算術(shù)形式系統(tǒng)的分析是從簡(jiǎn)化入手的。他力求尋找出各種使復(fù)雜事物賴以構(gòu)成的原始因素。分析時(shí)力圖尋找出最基本的指稱，即使用一種語(yǔ)言進(jìn)行指稱的最簡(jiǎn)單的模式的某些例證。哥德爾通過分析尋找到元理論對(duì)應(yīng)的簡(jiǎn)化系統(tǒng)即自然數(shù)算術(shù)系統(tǒng)，這種變換反映了哥德爾對(duì)數(shù)學(xué)世界的簡(jiǎn)單性與復(fù)雜性的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系的深入理解［7］。

四、悖論結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換和利用

辯證思維方式是系統(tǒng)性與辯證性的統(tǒng)一。辯證性就是把握事物的對(duì)立統(tǒng)一，并對(duì)具體問題進(jìn)行具體分析。哥德爾的辯證思維還表現(xiàn)在對(duì)不可判定命題的構(gòu)造中?！瓣P(guān)于這個(gè)證明最奇怪的事情之一是，它利用了自指性悖論這些推理所討厭的東西的根本結(jié)構(gòu)，并重塑這些結(jié)構(gòu)來(lái)支持自己?！保?］悖論是指邏輯矛盾，悖論對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響十分巨大，現(xiàn)代邏輯許多最為深刻的成果，都從分析悖論中產(chǎn)生。悖論的出現(xiàn)常常給數(shù)學(xué)家?guī)?lái)消極的情緒，數(shù)學(xué)家也以消除悖論為己任。

從消除悖論的思路轉(zhuǎn)到分析并利用悖論的合理結(jié)構(gòu)來(lái)證明定理，這是哥德爾思想辯證性的重要表現(xiàn)。撒謊者悖論有著最簡(jiǎn)單的形式:“我說的這句話是謊話”。那么這句話是真話還是假話，按形式邏輯推導(dǎo)可知，說它是真話，則它是謊話;說它是謊話，則它本來(lái)說自己說的是謊話，因此又成了真話，所以按二值邏輯，無(wú)法判定其真假。哥德爾在對(duì)象系統(tǒng)內(nèi)構(gòu)造了這個(gè)悖論語(yǔ)句的類似物。即構(gòu)造這樣一個(gè)命題G，使其元數(shù)學(xué)的意義為“G是不能證明的”，可以把它記為G'。哥德爾指出，一旦構(gòu)成了這樣的命題，定理的證明就完成了?？梢杂梅醋C法來(lái)證明。如果G是可以證明的，那么G為真，根據(jù)一一映射原理又可以得到G'為真，由G'的意義知道G是不能證明的，這樣就推出矛盾，命題就得證。同理可以推出這個(gè)命題的否命題也不可證。這樣G正是所需要的不可判定的命題。在證明中哥德爾成功地對(duì)悖論的基本思想進(jìn)行了轉(zhuǎn)換，但又避免了出現(xiàn)悖論。哥德爾指出:“這一推理過程與里查德悖論的相似之處是顯然的，而且和強(qiáng)化了的撒謊者悖論也有一個(gè)很大的相似性。因?yàn)槟莻€(gè)不可判定的命題［R(g，g)］所斷言的正就是…［R(g，g)］是不可證明的”。對(duì)悖論思想的利用可以看出哥德爾非常善于利用否定之否定的思想，吸收事物的合理性因素，在繼承的基礎(chǔ)上創(chuàng)新。

數(shù)學(xué)家需要哲學(xué)。“一個(gè)采納某種數(shù)學(xué)哲學(xué)的數(shù)學(xué)家會(huì)從中受益，這包括:一種工作傾向，對(duì)其前景的一些洞見，以及對(duì)其發(fā)展方向——哪類問題是重要的、什么疑問應(yīng)該被提出、什么方法論是合理的、什么看起來(lái)能成功，等等——至少是試驗(yàn)性的指導(dǎo)?！保?］數(shù)學(xué)家需要辯證哲學(xué)。恩格斯指出“自然研究家盡管可以采取他們所愿意采取的態(tài)度，他們還是得受哲學(xué)的支配。問題只在于:他們是愿意受某種蹩腳的時(shí)髦哲學(xué)的支配，還是愿意受某種以認(rèn)識(shí)思維的歷史及其成為基礎(chǔ)的理論思維形式的支配?！保?］哥德爾不完全性定理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的辯證性質(zhì)。數(shù)學(xué)家需要辯證思維。數(shù)學(xué)家辯證思維的獲得，可以通過數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)實(shí)踐得到啟示，但這種被動(dòng)的轉(zhuǎn)變過程十分緩慢，因而更重要的是，數(shù)學(xué)家要主動(dòng)去學(xué)習(xí)和掌握一些辯證哲學(xué)。

［1］馬克思恩格斯選集(第四卷)［M］.北京:人民出版社，1995.

［2］皮亞杰.結(jié)構(gòu)主義［M］.北京:商務(wù)印書館，1984:9.

［3］［美］王浩.邏輯之旅——從哥德爾到哲學(xué)［M］.杭州:浙江大學(xué)出版社，2009:86.

［4］徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2000:58.

［5］鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論入門［M］.杭州:浙江教育出版社，1985:98－99.

［6］［美］麗貝卡·戈德斯坦.不完備性——哥德爾的證明和悖論［M］.長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2008:18.

［7］溫邦彥.也談?wù)_理解哥德爾不完全性定理——與陳慕澤先生商榷［J］.重慶工學(xué)院學(xué)報(bào):社會(huì)科學(xué)，2009(4).

［8］［美］斯圖爾特·夏皮羅.數(shù)學(xué)哲學(xué)——對(duì)數(shù)學(xué)的思考［M］.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2009:16.

G?del Dialectical Thinking and Proof of Incompleteness Theorem

LIN Shi－Fang
(Department of Humanities，F(xiàn)ujian Medical University，F(xiàn)uzhou 50008，China)

By analyzing the contex and the proven thought process about Godel incompleteness theorem，the four aspects can be revealed from G?del dialectical way of thinking.The four aspects are the concept of mutual subordination，issue evolution，the system structure and system of the same conversion and structural conversion，and use of paradox.

G?del;incompleteness theorem;dialectical thinking

B80－0

A

1674－8425(2011)09－0015－04

2011－02－17

林世芳(1976—)，女，福建周寧人，廈門大學(xué)哲學(xué)系博士研究生，福建醫(yī)科大學(xué)人文學(xué)院講師，研究方向:科學(xué)思想史、科學(xué)哲學(xué)。

(責(zé)任編輯 王烈琦)