車永星 侯新宇

(電子薄膜與集成器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,四川 成都610054)

1.引 言

平面周期結(jié)構(gòu),尤指頻率選擇表面(Frequency Selective Surface,FSS)是由無源諧振單元按一定的排列方式組成的準(zhǔn)二維平面周期陣列[1]。它對(duì)某些頻帶內(nèi)的入射電磁波呈全反射特性,而對(duì)另一些頻帶內(nèi)的入射波則呈透射特性。其在微波毫米波領(lǐng)域的應(yīng)用非常廣泛,如濾波器設(shè)計(jì)、微帶電路、天線散射等。

在傳統(tǒng)的許多含有縫隙的FSS輻射結(jié)構(gòu)分析時(shí)一般都假設(shè)金屬屏的厚度為零,由于新的應(yīng)用以及頻率向更高發(fā)展的需要,必須將金屬FSS屏的厚度考慮在內(nèi)[2]。有許多全波法可以求解一般的孔徑問題,但缺乏簡(jiǎn)便性和可用于零厚度孔徑下直接積分公式模型(即2.5-D模型)的內(nèi)部一致性。因此,研究可精確求解有限厚度金屬屏,且同時(shí)具有與零厚度情況下相似的簡(jiǎn)便性的有效近似法是非常有必要的。

根據(jù)已有的關(guān)于求解周期結(jié)構(gòu)問題的文獻(xiàn)[3][4],可以看到基于矩量法求解的積分公式法(Integral Equation-Method of Moments,IE-MoM)是一種高精度的算法。但I(xiàn)E-MoM算法需要可靠準(zhǔn)確的相關(guān)格林函數(shù),而對(duì)于周期問題精確定義的格林函數(shù)會(huì)引出另一問題,即周期格林函數(shù)的慢收斂性。這就要求對(duì)現(xiàn)有的一般或特殊形式的加速技術(shù)作進(jìn)一步的研究。

由文獻(xiàn)[5][6]可知非線性級(jí)數(shù)加速法Shanks變換在通常情況下有較好的收斂,但在靠近源的區(qū)域會(huì)遇到困難。由文獻(xiàn)[7]可知特殊加速算法Ewald變換則對(duì)自由空間格林函數(shù)有非常快的收斂。

論文綜合采用了一般分析方法中Shanks變換和特殊分析方法中Ewald變換的優(yōu)點(diǎn),針對(duì)加速多層周期格林函數(shù),尤其是矢量位格林函數(shù),給出了一種新的有效的加速算法。此算法將屏的有限厚度并入零厚度情況下的算法或公式中,同時(shí)不增加計(jì)算時(shí)間和計(jì)算復(fù)雜度。最后,文中利用此方法對(duì)有限厚度的四腿加載單元FSS做了相應(yīng)計(jì)算,給出了相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果。

2.有限厚度FSS分析

2.1 積分方程-矩量法(IE-MoM)

首先,對(duì)FSS做離散化處理。在FSS上定義一個(gè)周期單元,并將每個(gè)周期單元表面離散為多個(gè)網(wǎng)格,為了較好地近似實(shí)際表面,采用三角形或矩形組成的劃分網(wǎng)格。任何由周期結(jié)構(gòu)的散射或輻射所引出的問題均可以表達(dá)為如下積分方程

式中,算子L為積分-差分算子,其將未知的表面電流 a和已知的激勵(lì)v聯(lián)系在一起。在矩量法(MoM)中,將未知電流a展開為一組N維矢量基函數(shù)fi的線性組合,其表示如下

然后將積分方程(1)與矢量權(quán)函數(shù)組wi做內(nèi)積,方程可離散化為

方程(3)也可以簡(jiǎn)單表達(dá)如下

式中 ：Z=[zij]N×N是 MoM 矩陣 ;V=[vj]N×1為激勵(lì)矢量;I=[ai]N×1表示未知電流系數(shù)。在這里權(quán)函數(shù)wi=f i.

由于電流和磁流結(jié)合不適于模擬周期結(jié)構(gòu),因此,在這里以位格林函數(shù)作為基函數(shù)和權(quán)函數(shù)。圖1為單層介質(zhì)襯底上的平面周期結(jié)構(gòu),其中介質(zhì)襯底厚度為h,任意形狀的相同單元分別沿x軸和y軸以周期a、b分布,平面波以角度 θin和 φin照射,在這里假設(shè)導(dǎo)體厚度可忽略不計(jì)。

圖1 單層介質(zhì)襯底的平面FSS

如果假設(shè)表示無周期邊界的二維自由空間或?qū)咏橘|(zhì)中的格林函數(shù)為G0(x-x′,y-y′),則對(duì)于上述周期結(jié)構(gòu)的格林函數(shù)的“空間域”公式表示如下

式中：Gmn(x,y)=G0(x-x′-ma,y-y′-nb)=ksinθicosφi和=ksinθisinφi分別為波傳播矢量的x軸分量和y軸分量;m,n分別表示沿x軸方向的第m個(gè)單元,沿y軸方向的第n個(gè)單元。

應(yīng)用二維泊松求和公式[7]及傅里葉變換,由公式(5)即可得到頻域的周期格林函數(shù)如下

2.2 加速算法

在矩量法求解積分方程方法中,要求有可靠穩(wěn)定的周期格林函數(shù),但這同時(shí)會(huì)引出另一問題,即周期格林函數(shù)的慢收斂。為了保證計(jì)算時(shí)間在可接受范圍內(nèi),并可以提供精確的計(jì)算結(jié)果,在計(jì)算中必須使用加速算法。一種針對(duì)加速多層周期矢量位格林函數(shù)的加速算法如下。首先將周期格林函數(shù)表達(dá)式(6)重新寫為

式中：矢量位周期格林函數(shù)由兩部分組成,其中前一項(xiàng)為“動(dòng)態(tài)”部分,后一項(xiàng)為“靜態(tài)”部分。在模式和的“動(dòng)態(tài)”部分的收斂中應(yīng)用改進(jìn)的Shanks變換

初始條件為

式中：Sn為級(jí)數(shù)的n項(xiàng)部分和,當(dāng)n→∞時(shí),Sn→S,S為級(jí)數(shù)和。利用上述級(jí)數(shù)收斂變換,模式和的“動(dòng)態(tài)”部分將只需計(jì)算偶數(shù)階部分,且有更好的數(shù)值穩(wěn)定性和精度,得到快速收斂。在“靜態(tài)”部分的收斂問題中應(yīng)用Ewald變換可得

式中的補(bǔ)余誤差函數(shù)將使得級(jí)數(shù)迅速收斂。將式(8)和式(10)合并后,即可實(shí)現(xiàn)對(duì)矢量位周期格林函數(shù)的加速收斂。

2.3 有限厚度FSS的算法實(shí)現(xiàn)

對(duì)于有限厚度的縫隙型FSS,可以分解為兩部分分別求解,即內(nèi)問題(縫隙內(nèi)部區(qū)域)和外問題。外問題應(yīng)用2.1節(jié)給出IE-MoM 方法求解,并利用2.2節(jié)給出的加速算法加速M(fèi)oM 的計(jì)算速度。對(duì)于內(nèi)問題,將縫隙腔體由具有相同幾何截面的2-D目標(biāo)代替[8-10],然后通過修改相應(yīng)格林函數(shù)引入縫隙厚度,利用文獻(xiàn)[11]給出的從有限厚度到零厚度位格林函數(shù)的平滑轉(zhuǎn)換,即可在不增加額外復(fù)雜度的情況下對(duì)縫隙內(nèi)部區(qū)域進(jìn)行求解。

3.數(shù)值結(jié)果與分析

3.1 模 型

以圖2所示的四腿加載單元FSS為例。其中單元周期D=7 mm,單元縫隙寬度w=0.2 mm,偶極子長(zhǎng)度L=4.2 mm,偶極子寬度t=1.2 mm,FSS屏厚度為h,襯底材料相對(duì)介電常數(shù)εr=4.2,損耗正切 tanδ=0.02,襯底厚度h1=2 mm.

圖2 FSS單元模型

3.2 傳輸系數(shù)

分別利用上述算法和全波電磁仿真軟件HFSS對(duì)圖2所給FSS單元的傳輸系數(shù)進(jìn)行計(jì)算。假定平面波沿法向入射,在FSS屏厚度為h=0 mm,0.2 mm(大約為 λ/200,由文獻(xiàn)[1]可知,當(dāng)屏厚度大于λ/1000時(shí)不可忽略)時(shí)的傳輸曲線如圖3所示。由圖可知,由于厚度的存在FSS屏的諧振點(diǎn)略向高頻偏移。通過對(duì)用文中所給方法和HFSS仿真結(jié)果的比較,兩種方法取得了很好的一致性。

3.3 遠(yuǎn)場(chǎng)散射

為了檢驗(yàn)厚度對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)參數(shù)的影響,對(duì)圖2所示FSS結(jié)構(gòu)的散射進(jìn)行了計(jì)算。無限周期格林函數(shù)作為3×3單元陣列的一次近似,使用平面波源沿法向入射。格林函數(shù)的無限求和在前三個(gè)部分求和后截?cái)?。輻射方向圖如圖4所示。實(shí)際上,無限方法對(duì)于無限陣列中的單元能給出更好近似解,而在有限陣列中會(huì)受到邊緣散射的影響。從圖中可以明顯地看出,本文方法與全波方法計(jì)算所得結(jié)果基本一致。

3.4 表面電場(chǎng)分布

圖5給出了由IE-MoM算法結(jié)合矢量位周期格林函數(shù)加速算法計(jì)算得到的FSS單元電場(chǎng)二維分布圖。屏厚度為h=0.2 mm,由電場(chǎng)方向沿y軸的平面波激勵(lì)。在兩個(gè)方向上,周期格林函數(shù)均只取前40項(xiàng),計(jì)算速度得到明顯提高。

3.5 計(jì)算時(shí)間

由全波方法、一般IE-MoM算法和結(jié)合了加速算法的IE-MoM算法所得計(jì)算時(shí)間隨未知量的變化曲線如圖6所示。平面波沿法向入射,電場(chǎng)沿y軸方向極化。由圖可知,隨著未知量個(gè)數(shù)的線性增長(zhǎng),全波算法和一般IE-MoM算法所耗時(shí)間的增長(zhǎng)率逐漸增大,而加速計(jì)算的IE-MoM算法所耗時(shí)間只近似于線性增長(zhǎng),雖然計(jì)算時(shí)間沒有得到大幅度的提高,但仍較另兩種方法更簡(jiǎn)單快速。

4.結(jié) 論

將積分方程矩量法應(yīng)用于有限厚度平面周期結(jié)構(gòu)的電磁特性的求解計(jì)算,并綜合采用了一般加速方法Shanks變換和特殊加速方法Ewald變換的優(yōu)點(diǎn),給出了針對(duì)矢量位周期格林函數(shù)加速的新的有效加速算法。通過對(duì)有限厚度屏的反射系數(shù)、傳輸系數(shù)、遠(yuǎn)場(chǎng)輻射、表面電場(chǎng)分布的計(jì)算,表明文中所述算法與全波電磁仿真軟件 HFSS所得結(jié)果具有很好的一致性,同時(shí),在計(jì)算時(shí)效上得到了顯著提高。

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