劉 東 馮全源

(1.西南交通大學電氣工程學院,四川 成都 610031;2.西南交通大學信息科學與技術(shù)學院,四川 成都 610031)

1.引 言

近年來,粒子群優(yōu)化(PSO)算法[1]得到了廣泛的關(guān)注。PSO算法是KENNEDY與EBERHART提出的一種模仿鳥群社會行為的智能優(yōu)化算法,已成功地應用于許多工程優(yōu)化問題中[2]。

陣列天線方向圖綜合實質(zhì)上是多目標優(yōu)化問題,具有多參數(shù)、非線性、不可微甚至不連續(xù)等特性。這類大規(guī)模非線性的全局優(yōu)化問題,傳統(tǒng)的最小二乘等局部搜索方法很難滿足要求[3]。智能優(yōu)化算法在解決全局優(yōu)化問題時表現(xiàn)出良好的性能,將智能優(yōu)化算法與陣列天線方向圖綜合相結(jié)合是一個研究熱點[4-11]。

文獻[4]將遺傳算法用于陣列天線方向圖綜合,文獻[5]將粒子群算法用于陣列天線方向圖綜合,文獻[6]在LDW-PSO算法基礎(chǔ)上改進了ω變化策略同時對全局最優(yōu)粒子進行擾動,并將改進算法應用于陣列天線方向圖綜合,文獻[7]將遺傳算法中的交叉變異思想引入PSO算法并應用于陣列天線方向圖綜合,文獻[8]在LDW-PSO算法的 ω變化策略上加入了停滯策略,將算法應用于陣列天線方向圖綜合,文獻[9]研究了陣列天線適應值函數(shù)的選取,給出了一個較為通用的適應值函數(shù)表達式,并用陣列天線方向圖綜合進行了驗證。這些算法在旁瓣抑制和深零陷生成上取得了良好的效果,其改進思路是通過改進優(yōu)化算法來提升陣列天線方向圖綜合效率,算法越來越復雜且算法通用性也很難兼顧。

采用智能算法對陣列天線方向圖綜合進行優(yōu)化(本文此處及以下簡稱方向圖優(yōu)化)一方面取決于算法的效率,一方面取決于適應值函數(shù)的選取。由遺傳算法,粒子群算法等群體智能算法的工作原理可以知道,適應值函數(shù)返回值對種群朝著全局最優(yōu)點遷移起著至關(guān)重要的作用。如果適應值函數(shù)指示性不好,區(qū)分度不強,那么算法性能再好也很難收斂。改進適應值函數(shù)可以更好地將優(yōu)化問題與已有算法相匹配,充分發(fā)揮算法的優(yōu)化能力。

本文提出了一種分階段適應值函數(shù),其基本思想是當將多目標優(yōu)化問題分解成多個階段目標,不同階段的指標和側(cè)重點都有不同。仿真結(jié)果表明在多零點約束低旁瓣方向圖優(yōu)化應用中,不改變PSO算法的情況下,采用分階段適應值函數(shù)可以大幅提升算法性能。

2.方向圖優(yōu)化中的適應值函數(shù)

陣列天線方向圖綜合是通過對陣元位置,激勵幅值及相位進行調(diào)整來實現(xiàn)預設的陣列天線波束形狀。最常見的陣列天線是等距直線陣列天線,其方向圖優(yōu)化是通過調(diào)整N個各向同性輻射單元的激勵電流幅度和相位,從而使天線的遠場方向圖達到預期的特性指標要求。

采用智能算法來實現(xiàn)等距直線陣列天線方向圖優(yōu)化就是根據(jù)不同參數(shù)組對應的適應值函數(shù)大小來決定各個陣元電流幅值相位的調(diào)整大小和方向。如果適應值函數(shù)小于設定的數(shù)值,表示當前參數(shù)能夠滿足當前設計指標。

方向圖優(yōu)化常用的適應值函數(shù)有兩種[9]。一種是基于不同角度值上的誤差均方和,如式(1)

式中：m為整個方向圖角度范圍上的采樣點數(shù);Ti為在第i個采樣點上的設計;Ei為第i點上的計算值。

另一種是基于方向圖性能指標加權(quán)和,如式(2)所示

式中：θ0和θm為設計主瓣位置和計算主瓣位置;SLLmax為最高旁瓣電平;θBWFN為第一零陷主瓣寬度;w1至w3為不同指標的加權(quán)值。式(2)中只包含主瓣位置,主瓣寬度以及最高旁瓣電平。文獻[9]中式(3)包含更多方向圖指標。不過適應值函數(shù)包含指標越多,優(yōu)化起來也就越困難。對于多目標優(yōu)化問題來說,不同指標加權(quán)值如何平衡目前還沒有一個可以遵循公式,對于復雜指標的多目標優(yōu)化問題更是如此。

3.算法效率與適應值函數(shù)策略

對于遺傳算法,粒子群算法等基于種群的智能優(yōu)化算法來說,其尋優(yōu)本質(zhì)是基于適應值函數(shù)反饋的概率尋優(yōu),都存在早熟收斂的問題。

3.1 適應值函數(shù)與算法收斂效率

文獻[10]指出在停滯狀態(tài)下,如果特征值小于1,PSO算法中的粒子種群會集中到一個平衡點附件。實際上,在PSO算法中,如果參數(shù)設置在收斂范圍內(nèi),除全局最優(yōu)粒子外的粒子都向全局最優(yōu)粒子靠攏,并聚集在全局最優(yōu)粒子附近的區(qū)域。對于不太復雜的優(yōu)化問題,全局最優(yōu)極值點在全局最佳粒子附近的概率較大,粒子群算法這種聚集特性會有利于算法收斂。但是當維數(shù)增高或優(yōu)化指標較多時,這一策略也會使整個粒子群很快聚集到局部極值點附近,保持聚集狀態(tài)而非擴大搜索區(qū)域,從而導致算法早熟收斂。為了防止早熟收斂,改善收斂效率,國內(nèi)外學者都對算法做了大量改進[2],不過都沒有從本質(zhì)上改進算法防止早熟收斂的方法,也沒有針對所有優(yōu)化問題通用的改善方法。

優(yōu)化算法早熟收斂一方面是由于算法的固有特征造成的。另一方面,適應值函數(shù)的指示性,區(qū)分性也和算法尋優(yōu)效率關(guān)系密切。對于復雜多目標優(yōu)化問題來說,合適的適應值函數(shù)能夠讓算法區(qū)分局部極值點和全局最優(yōu)點,同時也能區(qū)分主要指標和次要指標。文獻[9]中通過不同的加權(quán)值來區(qū)分方向圖優(yōu)化中的主要指標和次要指標,但在方向圖優(yōu)化中,在優(yōu)化進行不同的階段,不同的指標改進不是同步的,往往次要指標的改進會導致參數(shù)尋優(yōu)區(qū)域偏離主要指標改進的方向。由于多指標加權(quán)方式的適應值函數(shù)存在“顧此失彼”以及次要指標“喧賓奪主”等問題,所以單純依靠一個通用的適應值函數(shù)來解決不同類型的方向圖優(yōu)化在實際實現(xiàn)中比較困難。

3.2 分段適應值函數(shù)策略

采用通用統(tǒng)一的方向圖優(yōu)化適應值函數(shù)進行方向圖優(yōu)化必須選取合適加權(quán)值,不然會導致算法優(yōu)化效率降低,尤其是在復雜多目標方向圖優(yōu)化應用中,算法很難收斂。

陣列天線遠場方向圖在某個固定角度的特性和所有陣元的電流幅值相位均相關(guān),任何一個陣元電流幅值陣元發(fā)生改變,整個方向圖特性都會改變。實際的方向圖往往具有多個設計指標,對主瓣位置和寬度,零陷位置和深度,還有最高旁瓣電平都有一定要求。同時優(yōu)化這些指標往往是矛盾的,滿足零陷位置和深度的參數(shù),其最高旁瓣電平很難降低;要顧及主瓣寬度,零點位置和深度又無法保證這使得采用智能算法來進行方向圖優(yōu)化特別是復雜多指標方向圖優(yōu)化比較困難。

由于實現(xiàn)智能算法性能的大幅改進比較困難,本文從適應值函數(shù)的角度出發(fā),通過選用與具體優(yōu)化問題更加匹配的分段適應值函數(shù)來提高陣列天線方向圖優(yōu)化的效率。這樣可以在不改變原來算法的情況下,充分發(fā)揮算法優(yōu)化潛力,提升整體優(yōu)化效果。本文采用分階段提高適應值函數(shù)指標的方法來完成復雜多指標方向圖優(yōu)化,取得了良好的效果。

3.3 適應值函數(shù)分段方法

適應值函數(shù)分段可以通過試驗方法確定,需要選擇一個合適的試驗次數(shù)以及優(yōu)化指標分段值。智能算法本質(zhì)上是隨機優(yōu)化算法,其優(yōu)化成功概率隨著優(yōu)化問題復雜性的增加而降低。在優(yōu)化復雜問題時,較大的試驗次數(shù)可以取得更好的優(yōu)化結(jié)果,通常試驗次數(shù)不少于20。優(yōu)化指標分段根據(jù)試驗成功率來確定。前一個階段的試驗成功率越高,多樣性越好,但導向性越差;反之多樣性降低,導向性提高。前一階段優(yōu)化指標過高過低都會降低后一個階段的優(yōu)化成功概率。如果適應值分為兩個階段,那么可以用不低于10%的優(yōu)化成功率來選擇第一個階段的優(yōu)化指標。

4.仿真實例

本文選取N個各向同性輻射單元組成的等間距直線陣列天線進行綜合,各個陣元的相位相同,只調(diào)整陣元的激勵電流的幅度來使得天線的遠場方向圖達到預期的特性指標要求。等間距的直線陣天線的遠場方向圖為

式中：φ是波束與線陣法線間的夾角;N為陣元個數(shù);In為各個陣元的激勵電流幅值;φn為各陣元激勵電流的相位;d是陣元間距;k=2π/λ,λ是波長。不考慮陣元間耦合。

為了比較不同適應值函數(shù)策略的效果,本文中所有仿真實例都采用文獻[8]中的LDW-PSO算法,w范圍為[0.1,0.9]。

4.1 實例1

考慮文獻[8]中的實例2,均勻直線陣,N=20,陣元間距d為λ/2,激勵電流相位均為0(邊射陣),電流幅值對稱,只優(yōu)化電流幅值。要求旁瓣電平小于 -15 d B,零陷位置[-20°、-25°、-30°、-35°、-40°、-45°、-50°],零陷深度小于 -85 dB.由于設計指標很高,文獻[8]中提及的所有算法都不能全部收斂,標準LDW-PSO算法采用200個粒子,400次迭代,20次試驗中甚至沒有一次收斂到0。

本實例的設計指標只考慮最高旁瓣電平以及指定位置零陷電平,適應度函數(shù)的選取在文獻[8]中的目標函數(shù)

式中：MSLL為最高旁瓣電平;SLVL為設計最高旁瓣電平;NULLˉMAX為所有指定角度處零陷電平的最大值;NLVL為設計零陷電平值。取α=0.8,β=0.2。

本實例采用兩段適應值函數(shù)策略,第一階段適應值函數(shù)中的收斂指標為指定位置零陷深度不高于-75 dB,旁瓣電平小于-5 dB.第二階段適應值函數(shù)收斂指標為指定位置零陷深度不高于-85 dB,旁瓣電平小于-15 dB.優(yōu)化算法使用標準LDW-PSO算法,粒子個數(shù)200,迭代次數(shù)200,每階段試驗次數(shù)均為20。

第一階段20次試驗2次收斂,第二階段將收斂的2個參數(shù)作為初始值,各做10次試驗,一共有2組收斂。圖1為優(yōu)化得到的方向圖,表1為各陣元電流幅值。

圖1 實例1方向圖

表1 實例1各陣元電流幅值

4.2 實例2

均勻直線陣,N=40,陣元間距d為 λ/2,激勵電流相位均為0(邊射陣),電流幅值對稱,只優(yōu)化電流幅值。要求旁瓣電平不低于-43 d B,主瓣寬度不大于12°。

這是一個超低旁瓣方向圖優(yōu)化,設計指標也比較高,比文獻[11]的旁瓣電平低0.5 dB,主瓣寬度也更窄。采用標準LDW-PSO算法,使用式(5)作為適應值函數(shù),200個粒子,迭代次數(shù)400,20次試驗無收斂。

本實例的適應度函數(shù)為：

式中：MSLL為最高旁瓣電平;SLVL為設計最高旁瓣電平;BodeWidth主瓣寬度。取α=0.8,β=0.2。采用兩階段適應值策略,第一階段的設計指標為方向圖旁瓣電平不低于-40dB,主瓣寬度小于20°。第二階段設計指標為方向圖旁瓣電平不低于-43 d B,主瓣寬度不大于12°。采用200個粒子,200次迭代,20次試驗。第一階段12次收斂,第二階段對第一階段優(yōu)化結(jié)果繼續(xù)優(yōu)化200代,6組收斂。圖2為優(yōu)化后的方向圖,表2為陣元電流幅值。

圖2

表2 實例2各陣元電流幅值

實例1和實例2均為多目標復雜方向圖優(yōu)化,在目前公開文獻中未見同等條件下有更高的設計指標。從圖1中可以看出：分兩階段優(yōu)化得到的2組方向圖均能在指定位置滿足零陷深度要求,在有些位置甚至低于-110 dB,同時旁瓣電平也都低于-15 dB.圖2中旁瓣電平低于-43 dB,第一零點主瓣寬度11.2°,達到了設計指標。

5.討 論

方向圖優(yōu)化是一個多目標優(yōu)化問題,存在具有多參數(shù)、非線性、不可微甚至不連續(xù)等特性。由于陣元數(shù)量和解空間維數(shù)一致,當陣元數(shù)較多時,不滿足收斂條件的極值區(qū)域遠遠多于滿足收斂條件的極值區(qū)域,基于搜索的智能算法如遺傳算法(GA),PSO等容易陷于局部極值導致早熟收斂。

在多目標復雜方向圖的優(yōu)化中,由于各個優(yōu)化指標之間的加權(quán)值很難調(diào)整到合適的比例,整個種群在解空間搜索時,很容易沿著某個優(yōu)化目標改進較快的方向前行,通常是權(quán)重較大或者約束較為簡單的目標,從而導致局部收斂。

在使用PSO及其改進算法優(yōu)化多目標復雜指標的方向圖時,現(xiàn)有防止早熟收斂的策略如最優(yōu)值擾動,保留全局最優(yōu)粒子的重新初始化等均無法保證算法能夠跳出局部極值,實際效果非常有限。全局最優(yōu)粒子擾動相當于單個粒子小范圍的隨機搜索,只有在算法開始階段可以改善整個粒子群向最優(yōu)粒子聚集的路徑,在早熟收斂時基本起不到效果。重新初始化策略可以讓整個粒子群重新由整個空間分布再次向全局最優(yōu)值位置進行搜索,由于PSO算法聚集特性,整個種群會在很短的時間內(nèi)聚集到全局最優(yōu)粒子附近,在這個期間,粒子搜索到比全局最優(yōu)粒子更好位置的概率非常小,甚至不如重新搜索。

本文采用的分階段適應值函數(shù)策略,由于各個指標分階段提高,使得各個階段更容易平衡各個優(yōu)化目標,不會導致某個優(yōu)化目標已經(jīng)滿足收斂條件而另外的優(yōu)化目標還差距很遠。這樣在解空間中,局部極值區(qū)域的深度更淺,有利于種群跳出局部極值點,實現(xiàn)全局收斂。在實際方向圖優(yōu)化中,可以分兩次或者更多階段將方向圖指標逐步提高至設計指標。

6.結(jié) 論

為了解決多目標復雜方向圖優(yōu)化很難收斂的問題,本文提出了一種分階段適應值策略,可以在PSO算法性能不變的情況下提高優(yōu)化效率。本文將此策略用于對陣列天線多零點低旁瓣方向圖以及超低旁瓣和窄主瓣方向圖的綜合,取得了良好的效果,體現(xiàn)了該策略的有效性。

致謝 本文受到2009西南交通大學青年百人計劃—中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助(項目編號：SWJTU09BR068)以及西南交通大學青年教師科研起步項目(2009Q014)資助。

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