張志峰 蘇玉玲 蔣逢春 楊 坤 李俊豐 楊紅軍

（鄭州輕工業(yè)學院，河南 鄭州 450002）

1.引言

光的衍射現(xiàn)象是光的波動性的一種表現(xiàn)，討論光波衍射采用的基本原理是以惠更斯-菲涅爾原理為基礎(chǔ)。波動在傳播過程中，只要其波面受到某種限制，就必然伴隨著衍射的發(fā)生，當這種限制的空間幾何線度波長大小可比擬時，其衍射現(xiàn)象才顯著表現(xiàn)出來。在計算衍射光波場的光振動和光強度分布時，常常利用菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式。通過對光的各種衍射現(xiàn)象的研究，可以深入具體地了解光的波動性[1-3]。

在大學物理關(guān)于光的衍射教學過程中，光學實驗比較抽象，學生經(jīng)常很難理解光學理論、實驗現(xiàn)象、實驗原理及過程。而且教材中多數(shù)只對單縫的夫瑯和費衍射和圓孔的夫瑯和費衍射進行討論，而不提及其它形狀衍射屏的衍射情況，為此，本文用MATLAB強大函數(shù)作圖功能，模擬討論了五種常用元件（單縫、光柵、單矩孔、雙矩孔及圓孔）的夫瑯和費衍射圖。利用計算機模擬光衍射，不但可以不受實驗儀器和實驗場地的限制，而且在大學物理課堂教學中可以更形象、更直觀，有利于學生的理解。同時通過多種元件的夫瑯和費衍射計算機仿真，能夠動態(tài)直觀地呈現(xiàn)光學衍射中各種物理量之間的關(guān)系，有利于大學物理實驗中光學部分教學的開展。因此，我們應(yīng)當充分利用計算機軟件功能為教學增添活力，為學生理解復雜的理論和實驗做好鋪墊?？梢杂肕ATLAB、VC++、VB++及LABVIEW等軟件為平臺，實時計算和模擬，鼓勵學生獨立思考、深入探索，研究一些更多關(guān)于光學的問題[4-7]。

2.夫瑯禾費衍射理論

由基礎(chǔ)光學可知，衍射是光的波粒二象性中波動性的表現(xiàn)，是光的基本屬性之一。其主要表現(xiàn)在光波在遇到一定尺寸障礙物時不沿直線傳播。夫瑯和費衍射的原理如圖1所示，一束平行光照射到衍射屏上，按照平面波理論，衍射屏開口處AB的波前向各個方向發(fā)出次波，方向彼此相同的衍射次波經(jīng)透鏡L1匯聚到其像方焦平面的同一點Q上。滿足相長干涉條件的位置為亮條紋，滿足相消干涉條件的位置為暗條紋，明暗條紋構(gòu)成了該衍射屏或元件的夫瑯禾費衍射圖樣。根據(jù)Babinet原理，透明的衍射屏和不透明元件可看成一對互補屏。

3.單矩孔、單縫、光柵及雙矩孔的夫瑯和費衍射仿真

圖1 夫瑯和費衍射原理圖

3.1 單矩孔夫瑯和費衍射仿真

假設(shè)矩形孔沿x、y方向的邊長分別為a、b，衍射光波的方向用二維衍射角α、β來表示，則衍射光波在透鏡L1的后焦平面上會聚點Q（x,y）的和振動的相對強度為：

此時Q點的強度分布為：

上式表明，矩形孔衍射的相對強度是兩個單縫衍射因子的乘積。若b＞＞a，矩形孔就變成了平行于y軸的狹縫，夫瑯和費衍射圖樣將集中在x軸上，衍射光僅沿垂直于狹縫方向擴展，此時變成單縫夫瑯和費衍射，只需進行一維計算，則此時Q點強度分布為（在傍軸近似條件下）：

模擬時令 f=1m，a=0.0015m，b=0.0005m，λ=600nm ，根據(jù)公式利用Matlab編程，得到的矩形孔三維光強分布圖和平面上二維光強分布如圖2所示，與教材上的理論結(jié)果相符。在實際的實驗中可以改變參數(shù)來得到不同的結(jié)果，為實驗操作提供理論上的指導，節(jié)省精力和時間，提高了學生學習的效率和興趣。

圖2 矩形孔夫瑯和費衍射仿真結(jié)果

3.2 單縫夫瑯和費衍射仿真

單縫夫瑯和費衍射的程序與矩形孔夫瑯和費衍射程序相似，設(shè)線陣探測器長度為4000um，透鏡焦距100mm，入射光波長0.633um，探測器像元間距8um，則根據(jù)公式利用Matlab編程，仿真結(jié)果如圖3所示。由于夫瑯和費衍射圖樣中高級次區(qū)域的強度很小，所顯示的該區(qū)域圖樣很暗，以至于探測器探測的夫瑯和費衍射條紋經(jīng)常被零級明條紋干擾，所以對所生成的衍射圖樣進行灰度比例尺變換預處理，以改善高級次衍射條紋的視覺效果，經(jīng)過預處理的衍射圖樣，可以顯現(xiàn)出多級衍射條紋的灰度。

圖3 單縫夫瑯禾費衍射仿真結(jié)果

3.3 光柵夫瑯和費衍射仿真

對于光柵夫瑯禾費衍射，設(shè)每個狹縫的寬度均為a，相鄰兩狹縫間不透明部分的寬度為b，則縫間距（光柵常量）為d=a+b。同樣取α為衍射角，f為透鏡焦距，衍射屏上透光的總狹縫數(shù)為N，則當平面光波垂直照射衍射屏時，沿α方向的衍射光波在Q處的合振動的相對強度為：

圖4 光柵夫瑯禾費衍射仿真結(jié)果

3.4 雙矩孔夫瑯和費衍射仿真

當衍射孔為雙矩孔時，其相當于有長和寬的雙縫干涉，雙矩孔夫瑯和費衍射光強公式為：

模擬時令f=1m，a=0.002m，b=0.001m，根據(jù)公式利用Matlab編程，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 雙矩形孔夫瑯禾費衍射仿真結(jié)果

4.圓孔夫瑯和費衍射仿真

圓孔夫瑯禾費衍射系統(tǒng)如圖6所示，圓孔的復振幅透過率可以表示為：

圖6 圓孔夫瑯禾費衍射示意圖

式中，a為圓孔半徑；r0為孔徑平面的徑向坐標。采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，觀察平面上的夫瑯和費衍射圖樣也是圓對稱的。任意徑向坐標r處的強度分布為：

式中J1(x)是一階貝塞爾函數(shù)，模擬時令f=1m，λ=600nm，a=0.001m，利用MATLAB編程，程序運行完畢后，依次得到以下圖形7。圓孔衍射和矩孔衍射的三維圖形基本相同，二維圖形形狀不同。如果把矩形孔看成一個正n邊形，并且邊長極其小的時候，正n邊形相當于一個圓孔。因此，圓孔和矩形孔雖然形狀不同，但是整體上都是單孔的夫瑯和費衍射，其光強分布在一定程度上的分布時相同的。

圖7 圓孔夫瑯禾費衍射仿真結(jié)果

5.結(jié)論

利用計算機模擬光衍射，不但可以不受實驗儀器和實驗場地的限制，而且在大學物理實際教學中可以更形象、更直觀，有利于學生的理解。同時通過多種元件的夫瑯和費衍射計算機仿真，能夠動態(tài)直觀地呈現(xiàn)光學衍射中各種物理量之間的關(guān)系，有利于光學實驗教學的開展。

[1]謝嘉寧，趙建林，陳偉成，楊東升，周儉波.夫瑯禾費衍射的計算機仿真[J].大學物理，2004(3)：51-54.

[2]文建國，金聲震.基本夫瑯和費衍射實驗的計算機仿真[J].大學物理實驗，2002(4)：64-66.

[3]趙凱華，鐘錫華.光學上冊[M].北京：北京大學出版社，1984.

[4]Zhifeng Zhang,Yuling Su,Chao Lu,Xiaodong Zhang.Denoising of Fraunhofer diffraction signal based on wavelet analysis[C].2010 International Conference on Measuring Technology and Mechatronics Automation,Conferenceof IEEE：902-905.

[5]潘柏根,金施群,劉志建.基于VC++的夫瑯和費衍射仿真[J].儀器儀表用戶,2010(4)：66-69.

[6]夏靜,陸訓毅,楊德君.圓孔、方孔和雙矩孔夫瑯和費衍射的MATLAB仿真[J].高等函授學報（自然科學版），2009(6)：91-93.

[7]閻細圣,郭裕順,盧山鷹.光學仿真軟件的系統(tǒng)架構(gòu)設(shè)計[J].計算機仿真,2009(9)：264-268.