譚司庭，史 峰

(1.中南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖南 長沙 410083;2.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

一個(gè)地區(qū)的貨運(yùn)量，是最重要的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)之一，直接表明了該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)活躍程度?？茖W(xué)準(zhǔn)確地對貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測，是運(yùn)輸業(yè)持續(xù)健康發(fā)展的有效保障，是運(yùn)輸各級決策部門制定發(fā)展戰(zhàn)略和規(guī)劃的重要依據(jù)。人們往往習(xí)慣用某個(gè)模型對貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測［1－2］，但這些方法由于各自的局限性，常常預(yù)測精度不高。為了綜合利用現(xiàn)有的預(yù)測方法所提供的信息，盡可能地提高預(yù)測精度，許多人采用組合預(yù)測方法對貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測［3－4］。J.M.Bates和C.W.J.Granger對組合預(yù)測進(jìn)行了系統(tǒng)研究［5］。唐小我［6］等研究了基于定權(quán)組合預(yù)測問題，取得良好的效果。但它允許負(fù)權(quán)重因子的存在，物理意義不明顯。許多學(xué)者對非負(fù)權(quán)組合做了大量的研究［7－8］，主要集中變權(quán)組合的研究［9－11］，如何提高預(yù)測精度。

在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，變權(quán)組合預(yù)測方法對1個(gè)計(jì)劃年度內(nèi)的短期預(yù)測有較好的預(yù)測精度，但對于5年以上的長期預(yù)測，其預(yù)測誤差非常大。因此，本文提出新的變權(quán)組合預(yù)測模型，在進(jìn)行長期預(yù)測時(shí)，增加收斂條件，使變權(quán)的優(yōu)勢在長期預(yù)測中也能體現(xiàn)。根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算表明，本方法在短期預(yù)測與長期預(yù)測中均能取得良好效果。

1 改進(jìn)的變權(quán)組合預(yù)測模型

設(shè)n個(gè)時(shí)刻原始數(shù)據(jù)序列為x(t)，t=1，2，…，n。m個(gè)預(yù)測模型在t時(shí)刻預(yù)測值為fi(t)，i=1，2，..，m;t=1，2，..，n。在 t時(shí)刻變權(quán)的組合預(yù)測值為

式中，gi(t)為第i個(gè)模型在t時(shí)刻的權(quán)重，滿足:

式中，ei(t)為第i個(gè)預(yù)測模型的預(yù)測值在t時(shí)刻的誤差。

變權(quán)組合預(yù)測模型就是利用m個(gè)預(yù)測模型的預(yù)測值確定前n個(gè)時(shí)刻的權(quán)重值，再預(yù)測某個(gè)時(shí)刻的權(quán)重值gi(t)，從而得到該時(shí)刻的預(yù)測值。對gi(t)的預(yù)測，可以設(shè)定其函數(shù)形式，在此設(shè)為p次多項(xiàng)式形式:

式中，k表示預(yù)測到未來某個(gè)時(shí)刻，且k≥n。

對條件(2)，由于要任意t都成立，故:

最優(yōu)變權(quán)組合模型:滿足(10)和(11)式。

由于該模型有可能讓變權(quán)系數(shù)為負(fù)值，使權(quán)重因子的意義不明確，故非負(fù)權(quán)組合預(yù)測模型一般會增加 1 個(gè)條件［7－8］:

因此，最優(yōu)非負(fù)變權(quán)組合模型滿足(10)～(12)式。

但是，這種非負(fù)權(quán)組合由于在求解系數(shù)矩陣時(shí)，非線性方程組呈病態(tài)，故在長期預(yù)測時(shí)，由于積累誤差，計(jì)算會發(fā)散，預(yù)測誤差也非常大，特別是多項(xiàng)式階數(shù)p取3以上更明顯。使用多項(xiàng)式作為預(yù)測的權(quán)重函數(shù)，就是用多項(xiàng)式去逼近真實(shí)的函數(shù)。這種逼近的方法，必須滿足收斂的條件?？梢孕略鰲l件:

使多項(xiàng)式在k的時(shí)間內(nèi)收斂。

因此，在進(jìn)行長期預(yù)測時(shí)，增加公式(13)的收斂條件，會減少發(fā)散的危險(xiǎn)，即由式(10)～(13)式構(gòu)成了帶收斂條件的最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測模型;在進(jìn)行短期預(yù)測時(shí)，則由式(10)～(12)構(gòu)成最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測模型。

2 權(quán)重矩陣G的求解算法

利用拉格朗日求極值法，求解最優(yōu)變權(quán)組合模型:

為了求解帶收斂條件的最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測模型，將條件(13)寫成如下形式:

利用拉格朗日求極值法可以求出權(quán)重系數(shù)gi，j。令

對變量 gi0，φij，λi的偏導(dǎo)為零得到:

解上述非線性方程組即可得到權(quán)重矩陣G。事實(shí)上，上述非線性方程組是一個(gè)病態(tài)方程組，用一般的非線性方程組的方法無法求得正確解。

令ξ=EvG+Aλ。如果存在vG滿足ξ=0，方程(17)就能滿足，此時(shí)的解就是最優(yōu)變權(quán)組合的解。如果由于條件(13)的限制，不能滿足ξ=0，可令相應(yīng)項(xiàng)的 cosφij=0，sinφi，j= ± 1，gi，j= ± gi，j－1，則相應(yīng)Ci中的j+1行為零，如果存在vG滿足ξ中除gij對應(yīng)的分量ξi·m+j外，其他分量為零，方程(17)仍然能滿足;如果不能滿足繼續(xù)令相應(yīng)項(xiàng)的cosφij=0，直到滿足為止。

對于 gi，j= ± gi，j－1的正負(fù)號的取定也不是隨意的，它可能讓方程不滿足ATvG－B≠0;也有可能出現(xiàn)0=0的情況。為了順利解出方程，給出如下算法:

(1)給定定權(quán)的minJ和相應(yīng)的vG。

(3)如果ηij=0保持變量gij，否則將矩陣E的第(i－1)(p+1)+j行加上(i－1)(p+1)+j+1行與ηij的積，并將A做相應(yīng)的變換。再將矩陣E的第(i－1)(p+1)+j列加上(i－1)(p+1)+j+1列與ηij的積。并去掉相應(yīng)的第(i－1)(p+1)+j+1行、列以及相應(yīng)的變量 gij，這樣得到新的矩陣 E'，A'，v'G。

(6)改變η中非零項(xiàng)的正負(fù)號，嘗試下一個(gè)可能的η。如果所有可能的嘗試完畢，轉(zhuǎn)第7步;否則轉(zhuǎn)第3步。

(7)輸出相應(yīng)的vG。

3 實(shí)例分析

以長沙市的貨運(yùn)量為例，對上面算法進(jìn)行實(shí)例分析。從1990～2008年的全社會固定資產(chǎn)投資、GDP總額、貨運(yùn)總量為長株潭原始數(shù)據(jù)。2009～2015年的全社會固定資產(chǎn)投資、GDP總額是通過指數(shù)外推得到的數(shù)據(jù)。通過這些原始數(shù)據(jù)對2015年長沙市的貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測。

表1 原始數(shù)據(jù)及貨運(yùn)量預(yù)測數(shù)據(jù)Table 1 Original data and forecast data of freight volumes

(1)多元線性回歸:以全社會固定資產(chǎn)投資(x1)、GDP總額(x2)為自變量，貨運(yùn)總量(y)為因變量，得到回歸方程:

(2)二次指數(shù)平滑法:由于貨運(yùn)量數(shù)據(jù)有較明顯的變動(dòng)，因此取α =0.8。已知的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)n=19，故初值的選擇對以后預(yù)測的影響不大，故選擇第1期的數(shù)據(jù)作為初始值。

(3)灰色GM(1，1)模型預(yù)測:首先對貨運(yùn)量數(shù)據(jù)累加，再進(jìn)行預(yù)測，得到預(yù)測方程為:

最后再累減得到預(yù)測數(shù)據(jù)見表1。

(4)指數(shù)曲線外推:利用指數(shù)曲線耦合得到預(yù)測方程:

(5)組合預(yù)測模型:利用前面4種預(yù)測方法進(jìn)行組合預(yù)測，組合方法有方差倒數(shù)法、最優(yōu)定權(quán)、最優(yōu)變權(quán)、帶收斂條件的最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測，這些組合預(yù)測方法得到預(yù)測權(quán)重矩陣數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 組合預(yù)測的權(quán)重系數(shù)矩陣Table 2 Weight coefficient matrix of combined forecast

采用滾動(dòng)的方式，進(jìn)行短期預(yù)測測試，即每次用前面若干個(gè)數(shù)據(jù)記錄來預(yù)測下1個(gè)步長的數(shù)據(jù)，見表3。

表3顯示各種預(yù)測方法的短期預(yù)測的誤差。從表中可以看到，組合預(yù)測比單個(gè)預(yù)測誤差小，變權(quán)預(yù)測組合比定權(quán)預(yù)測的誤差小。在短期預(yù)測中，最優(yōu)變權(quán)的預(yù)測效果最好，且隨著預(yù)測函數(shù)的最高次數(shù)p的增加，預(yù)測精度逐步增加。

為了進(jìn)行長期預(yù)測測試，利用1990年到2008年的數(shù)據(jù)，對2009－2015年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表4所示。

表3 短期預(yù)測誤差比較Table 3 Comparison of short term forecast errors

對于未來的2015年，由于無法知道真實(shí)的貨運(yùn)量值，所以無法對其進(jìn)行誤差比較。對于同一種預(yù)測方法，p取不同值，只是預(yù)測精度不同，因此通過自身方法的預(yù)測值，p取不同值進(jìn)行比較，可以反映數(shù)據(jù)可靠程度。表5中的F2，F(xiàn)3分別表示p=2，3時(shí)的預(yù)測值，表5顯示了最優(yōu)變權(quán)組合、帶有收斂條件的最優(yōu)變權(quán)組合2種方法對2015的貨運(yùn)量預(yù)測結(jié)果的比較，利用p取不同值的差別，比較2種方法的預(yù)測結(jié)果。收斂的最優(yōu)變權(quán)組合的相對偏差達(dá)295%，可以明顯看到最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測方法的不可信。它的預(yù)測值與其他方法預(yù)測值也相差很多。而具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型，與其他方法并不大，自身比較也不大。可以看到，具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型同樣適合長期預(yù)測，而最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測不適合長期預(yù)測。而在短期預(yù)測中也有明顯優(yōu)勢。

表4 2009～2015年的貨運(yùn)量預(yù)測值Table 4 Freight volumes forecast of 2009～2015

事實(shí)上，最優(yōu)變權(quán)模型就是利用短期誤差平方和最小得到的結(jié)果，而在長期預(yù)測時(shí)，由于不滿足收斂條件，使數(shù)據(jù)發(fā)散，模型不再適用。具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型正好彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)。如果最優(yōu)變權(quán)模型滿足收斂條件時(shí)，最優(yōu)變權(quán)模型與具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型結(jié)果是相同的。具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型無論何時(shí)都保證數(shù)據(jù)收斂，因此對長期預(yù)測同樣適合。如果預(yù)測期加長，則限制更多，這樣短期預(yù)測誤差增大，但保證長期預(yù)測收斂，這樣做是值得的。

表5 2015年預(yù)測數(shù)據(jù)分析Table 5 Analysis of 2015 forecasts data

4 結(jié)論

(1)將具有多項(xiàng)式形式的變權(quán)函數(shù)的最優(yōu)變權(quán)組合模型應(yīng)用于長沙市的貨運(yùn)量的預(yù)測。發(fā)現(xiàn)該模型對短期預(yù)測，提高精度效果非常明顯;在進(jìn)行長期預(yù)測時(shí)，通過增加收斂條件，建立了帶有收斂條件的最優(yōu)變權(quán)模型。通過引入松弛函數(shù)，對求解過程做出理論分析，給出了具體算法。算法避免了病態(tài)非線性方程的計(jì)算。

(2)通過具有收斂性的最優(yōu)變權(quán)模型與最優(yōu)變權(quán)模型比較，發(fā)現(xiàn)帶有收斂條件的最優(yōu)變權(quán)模型在長期預(yù)測的效果非常理想，在短期預(yù)測時(shí)采用不帶收斂條件的最優(yōu)變權(quán)組合預(yù)測模型，利用這2個(gè)模型在不同條件下分別工作，取得不錯(cuò)的效果。

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