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        一種適合求復(fù)數(shù)根的拋物牛頓割線法

        2011-08-01 08:25:50黃志強郭妞萍王希云
        太原科技大學(xué)學(xué)報 2011年6期
        關(guān)鍵詞:方法

        黃志強,郭妞萍,王希云

        (1.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系,太原030024;2.西安財經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計學(xué)院,西安710061)

        求解非線性方程f(x)=0根x*的數(shù)值方法首推牛頓迭代法[1],其思想是給定一個初始近似解,過該點作曲線的切線,若切線與x軸相交,新近似解可采用該交點的橫坐標(biāo),依此類推,得到—個近似解序列{xk}.迭代格式為:xn+1=xn-f(xn)·[f'(xn)]-1,n=1,2,…,但牛頓迭代法的一個明顯缺點是對每一個k都要計算f'(xk),導(dǎo)數(shù)的計算往往十分麻煩,尤其當(dāng)f'(xk)相對較小時,計算要很精確,否則會產(chǎn)生很大的舍入誤差。因此,很多學(xué)者對它作了研究修改,但是在含根區(qū)間內(nèi)既要保持其收斂速度,又要在所考慮f'(xk)≠0這一苛刻條件,兩者不可以兼得,所以可從另外的角度來考慮該問題。

        在文獻[2]中,給出了一種適合于迭代求復(fù)根的拋物牛頓法,這種新型迭代求解非線性方程的復(fù)數(shù)根方法,它在牛頓法失效時可替代使用。同時,對于實系數(shù)多項式,它可迭代出全部根,包括其實根和復(fù)根,其收斂程度也比牛頓法快。但是每迭代一次都需要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(xk),如果函數(shù)在xk處的導(dǎo)數(shù)不存在,則此方法失效。本文針對拋物牛頓法存在的問題,將其進行了改進推廣,用傳統(tǒng)的割線代替切線思想,對拋物牛頓法進行修正,得到一種新方法——拋物牛頓割線法。它能有效克服上述這些方法的缺點,而且收斂速度比經(jīng)典的牛頓迭代法快。

        1 拋物牛頓割線法的構(gòu)造

        設(shè)f(x)=0是非線性方程,x=xk為f(x)=0的一個近似解,若f(x)在xk的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo),現(xiàn)將f(x)在點xk處用泰勒公式二階展開,即

        則當(dāng)x∈U(xk),f(x)≈h(x),令h(x)=0

        解方程得

        以此作為f(x)=0的一個近似解,并構(gòu)造拋物牛頓割線法迭代格式[2]如下:

        拋物牛頓割線法構(gòu)造思想為:假設(shè)f(x)在xk的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo),將f(x)在xk處用Taylor公式二階展開,按照傳統(tǒng)的割線法類似的思路,即用差商代替導(dǎo)數(shù),提出一種新的迭代方法,迭代格式為

        式(3)中的Ak,k-1,Bk,k-1采用雙點割線法進行計算。

        若采用單點割線法進行計算,則計算公式為:

        ω的取值應(yīng)使解xk+1比xk更接近解x*,為方便計算可取ω=±1.

        定理1 設(shè)f(x)=0是非線性方程,s為f(x)=0的一個根,若f(x)在s的某個領(lǐng)域內(nèi)三階可導(dǎo)且f″(x)≠0,則存在 ε > 0,當(dāng)x-1,x0∈Iε時,則由式(2)產(chǎn)生的序列收斂于方程的根。

        拋物牛頓割線法符號ω可正可負(fù),它意味著近似的拋物線或近似方程在復(fù)數(shù)域上的兩個解。已知牛頓切線法至少是二階收斂的,拋物牛頓法是三階收斂[2]的,所以拋物牛頓割線法的收斂速度應(yīng)該在二者之間,而且迭代中不需要導(dǎo)數(shù)的計算,可計算性和適應(yīng)性增強,后面的數(shù)值實驗也驗證了這個事實。

        2 拋物牛頓割線法的幾何解釋

        從幾何上看,如果在迭代點所作的拋物線g(x)=與x軸相交,則拋物牛頓割線法是將曲線f(x)上過點p(xk,f(xk))的拋物線與x軸的交點來代替f(x)與x的交點,拋物線g(x)與f(x)在點p(xk,f(xk))相交且具有相同的凹凸性,從而將拋物線g(x)=0的解可作為f(x)=0的一個新的近似解。

        3 數(shù)值實驗

        解 易知在復(fù)數(shù)域內(nèi),5次的實多項式應(yīng)恰有5個根。該曲線有3個實根和一對共軛復(fù)根,若用牛頓切線法,僅能求出其3個實根。采用拋物牛頓割線法計算如下:采用公式0,1,2,…進行迭代,式中Ai,j,Bi,j由式(4)進行計算,計算結(jié)果如表1和表2所示。

        表1 拋物牛頓割線法取(ω=1,x0=-10)時與牛頓切線法和拋物牛頓法迭代比較

        表2 拋物牛頓割線法取(ω=1,x0=0)時與牛頓切線法和拋物牛頓法迭代比較

        同理,取 ω =1,x0=8,x-1=10,經(jīng)過 5 次迭代可獲得方程的近似根9.375 676,牛頓迭代法需要5次,拋物牛頓法需要3次迭代。取ω=-1,x0=6,x-1=8,經(jīng)過6次迭代可獲得方程的近似根3.080 095,牛頓迭代法需要7次,拋物牛頓法需要4次迭代。由于實系數(shù)多項式的復(fù)根成對出現(xiàn),所以方程的另一個復(fù)根為0.284 8-1.831 036i.

        算例2 求方程x-lnx=2在(2,∞)的根,計算中要求精確到10-8.

        解 采用式(2)-(3)進行迭代計算,計算結(jié)果列于表3,結(jié)果表明拋物牛頓割線法具有相當(dāng)?shù)氖諗克俣?,且不受?dǎo)數(shù)條件的限制。

        表3 拋物牛頓割線法取ω=1時與牛頓切線法和牛頓割線法迭代比較

        4 結(jié)論與展望

        本文提出了一種新型求解非線性方程的迭代方法——拋物牛頓割線法,它不需要函數(shù)在節(jié)點處導(dǎo)數(shù)信息,計算速度比牛頓迭代法要快,實質(zhì)上相當(dāng)于對牛頓割線法的一種加速,可以迭代求解復(fù)數(shù)域內(nèi)實系數(shù)多項的全部解。對于方程組有類似的結(jié)論,但方法將復(fù)雜的多,同理對于實系數(shù)多項式方程組,也能迭代出復(fù)數(shù)域內(nèi)全部的實根和復(fù)根。但是和拋物牛頓法相比,拋物牛頓割線法是多步方法,收斂速度沒有拋物牛頓法快,其優(yōu)點是不需要求函數(shù)在迭代節(jié)點處導(dǎo)數(shù)值,計算工作量要小,在牛頓法和拋物牛頓法失效的情況下,此方法可以繼續(xù)迭代計算。

        [1]吳新元.對牛頓迭代法的一個重要修改[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1999,20(8):863-866.

        [2]王禮廣,熊岳山,蔡放.一種適合于迭代求復(fù)數(shù)根的拋物牛頓法[J].湖南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,30(4):11-14.

        [3]顏慶津.數(shù)值分析[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2000.

        [4]周智恒,范毅,廖芹.一元實系數(shù)多項式方程根的求解問題[J].華南理工大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,30(5):8-11.

        [5]WILKISION J H.代數(shù)特征值問題[M].石鐘慈,譯.北京:科學(xué)出版社,1987.

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