郭文斌，朱自強(qiáng)，魯光銀

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，有色金屬成礦預(yù)測(cè)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410083)

與傳統(tǒng)的重力異常相比，重力梯度張量測(cè)量的是重力矢量的梯度，能更直接地反映密度異常體的邊界，對(duì)圈定礦藏范圍或地質(zhì)構(gòu)造形態(tài)方面具有重要意義。此外，梯度測(cè)量能夠克服運(yùn)動(dòng)載體自身加速度的影響，重力梯度張量測(cè)量被廣泛應(yīng)用于海洋、航空及衛(wèi)星重力測(cè)量。目前，國外的重力梯度測(cè)量技術(shù)相對(duì)成熟。Bell Geospace公司、ARKeX公司和EDEX公司等都開發(fā)出全張量重力梯度測(cè)量系統(tǒng)，可以測(cè)量重力梯度張量的全部獨(dú)立分量。超導(dǎo)重力梯度儀的應(yīng)用使運(yùn)動(dòng)載體上的重力測(cè)量結(jié)果(如航空重力)的分辨率達(dá)到地面重力測(cè)量結(jié)果的分辨率，具有礦產(chǎn)資源勘探的能力。國內(nèi)外重力梯度張量解釋技術(shù)也取得了一定成就[1-8]，如：Vasco等[3]利用張量重力的對(duì)角線元素對(duì)Oklahoma西南地區(qū)的航空重力張量進(jìn)行了反演；Zhang等[4]利用歐拉反褶積法反演了重力全張量；Zhdanov等[5]采用三維正則化收斂方法對(duì)重力梯度張量單分量及全張量進(jìn)行了反演，并用該方法對(duì)實(shí)測(cè)的航空重力梯度張量及海洋重力梯度張量進(jìn)行反演。另外，國外對(duì)重力張量的去噪、譜分析等方面的研究也取得了一定的成果[7-8]?？傊瑖庵亓μ荻葟埩康难芯肯鄬?duì)成熟，進(jìn)入了商業(yè)應(yīng)用階段。而國內(nèi)在這方面的研究只處于起步階段，還沒有重力梯度張量測(cè)量技術(shù)及相應(yīng)的數(shù)據(jù)解釋技術(shù)。與線性反演算法相比，非線性反演算法具有更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和反演效率，被越來越多地用于地球物理反演。在各種非線性算法中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法由于具有獨(dú)立的學(xué)習(xí)能力，被成功地用于各種地球物理方法中[7-17]。在重磁異常的數(shù)據(jù)解釋方面，眾多研究者[15-17]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和重磁異常反演理論相結(jié)合，提出了一些反演效果更好的擬神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并在實(shí)際的數(shù)據(jù)解釋中取得了很好的效果。在此，本文作者提出一種基于RPROP算法(彈性BP算法)的擬BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，并將其用于重力梯度張量的解釋。

1 重力梯度張量

重力梯度張量[18-20]能夠反映重力場(chǎng)的空間變化速率，與傳統(tǒng)的重力異常相比，具有更高的分辨率，在遠(yuǎn)景區(qū)，其水平分辨率與地震反射波法的水平分辨率相當(dāng)。從數(shù)學(xué)角度來講，重力梯度張量是重力場(chǎng)在各個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)，可用重力勢(shì)的二次導(dǎo)數(shù)表示。在笛卡爾坐標(biāo)系中，若重力勢(shì)為V，則重力梯度張量可表示為一個(gè)3×3的矩陣：

由于在地球外部，位場(chǎng)滿足拉普拉斯方程即Vxx+Vyy+Vzz=0，并滿足重力場(chǎng)的無旋性即Vxy=Vyx，Vxz=Vzx，Vzy=Vyz，因此，重力梯度張量中只有5個(gè)分量是獨(dú)立的。

如圖1所示，在右手笛卡爾坐標(biāo)系中，x軸方向指向正北方向，y軸指向東方向，z軸垂直向下，場(chǎng)源空間存在一剩余密度為的長方體，其 2個(gè)角點(diǎn)坐標(biāo)分別為 (ξ1,η1,ζ1)和 (ξ2,η2,ζ2)，則在地面任意觀測(cè)點(diǎn)(x，y，z)的重力異常及梯度張量的各分量為[19]：

圖1 右手笛卡爾坐標(biāo)系中的長方體模型Fig.1 Cuboid model in right-hand Cartesian coordinate

G=6.67×10-11m3/(kg3s2)，為萬有引力常量。式(2)～(7)可統(tǒng)一寫為如下形式：

其中：α和β可為x，y和z；Sαβ稱為位置函數(shù)。

2 擬BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial neural network，簡稱ANN)[21]是通過模擬生物神經(jīng)元的非線性映射功能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行處理的一種方法，具有超強(qiáng)的適應(yīng)能力和學(xué)習(xí)能力。在各種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，誤差逆?zhèn)鞑ゾW(wǎng)絡(luò)(Back propagation network，簡稱BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))是一種應(yīng)用比較廣泛和成熟的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。典型的 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是3層前饋階層網(wǎng)絡(luò)，由輸入層、隱含層和輸出層構(gòu)成，各層之間實(shí)行全連接。從理論上講，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以很好地實(shí)現(xiàn)地球物理的反演，但是，在實(shí)際應(yīng)用中，該反演方法過分依賴于用于網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的樣本集，若樣本集種類、數(shù)量不足，則難以取得較好的反演效果。為了改變這種情況，管志寧等[17]借鑒神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值調(diào)整方法(梯度下降法)，提出了不需要樣本集的擬BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，并在理論模型和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的三維物性反演中取得很好的效果。但是，當(dāng)數(shù)據(jù)量大時(shí)，梯度下降法收斂速度慢甚至無法收斂，且易陷入局部最小，這使得在實(shí)際應(yīng)用中無法對(duì)場(chǎng)源空間進(jìn)行較精細(xì)劃分。為克服這個(gè)缺點(diǎn)，在 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常采用附加動(dòng)量法、擬牛頓法、彈性 BP法(RPROP)和Levenberg-Marquard 法[22]等。在實(shí)際應(yīng)用中，擬牛頓法、Levenberg-Marquard 法收斂速度最快，但需要較大存儲(chǔ)量，若數(shù)據(jù)量過多，則需要較高的硬件設(shè)施；附加動(dòng)量法雖然收斂速度有所提高，但在數(shù)據(jù)量大時(shí)其速度仍不夠快；彈性BP算法[23]收斂速度較快，所需存儲(chǔ)量小，更適用于大數(shù)據(jù)量的計(jì)算，在此，本文采用彈性BP算法改進(jìn)擬BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，以達(dá)到更好的反演效果，并用其對(duì)重力梯度張量進(jìn)行反演。

根據(jù)三維物性反演理論，用垂直于x，y和z軸的3組平面將觀測(cè)面以下的場(chǎng)源空間劃分為長方體的堆積，各長方體的體積既可以相等，也可以不等。為了便于計(jì)算，將場(chǎng)源空間劃分為若干相等的長方體單元。設(shè)第j個(gè)物性單元的密度為ρi，據(jù)式(8)，則觀測(cè)平面內(nèi)第i個(gè)測(cè)點(diǎn)重力梯度張量各分量Gαβ,i的觀測(cè)值可以表示為：

設(shè)各測(cè)點(diǎn)重力張量分界理論值為Ti，則式(9)可表示為：

其中：i=1，2，…，m；j=1，2，…，n；m為正演計(jì)算的總點(diǎn)數(shù)；n為劃分的物性單元的總數(shù)。

本文使用3層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層為各測(cè)點(diǎn)實(shí)測(cè)重力張量的各分量值，隱含層表示各物性單元的密度，輸出層為各測(cè)點(diǎn)理論值，通過輸入與輸出的不斷比較，來調(diào)整隱層各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值，達(dá)到反演的目的。假設(shè)張量的各分量實(shí)測(cè)值為fi，理論值為Ti，對(duì)實(shí)測(cè)值和理論值進(jìn)行S型變換：

式中：θi為神經(jīng)元的閾值；θ0為控制系數(shù)。由于S型函數(shù)具有非線性特性和可微型，這是實(shí)現(xiàn) BP算法的重要一步[17]。定義網(wǎng)絡(luò)誤差為：

對(duì)E求各單元密度值ρj的偏導(dǎo)數(shù)：

若依據(jù)傳統(tǒng)的擬 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，使用梯度下降法對(duì)各單元密度值進(jìn)行調(diào)整，則當(dāng)式(16)計(jì)算所得偏導(dǎo)數(shù)很小時(shí)，則收斂速度很慢，甚至無法收斂。在對(duì)重力梯度張量的計(jì)算中，偏導(dǎo)數(shù)可達(dá)到10-7，甚至更小，若依據(jù)梯度下降法對(duì)個(gè)單元進(jìn)行調(diào)整，則調(diào)整量很小，這使得計(jì)算難以收斂。而RPROP 算法(彈性BP算法)權(quán)值調(diào)整幅度是獨(dú)立的，只考慮導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定物性參數(shù)的更新方向，若連續(xù)2次迭代的偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同，則說明上次調(diào)整過度權(quán)值調(diào)整幅度減少，反之，則增加。由于物性參數(shù)調(diào)整的幅值與偏導(dǎo)數(shù)的值無關(guān)，這種算法更易收斂。

彈性BP算法對(duì)各單元的密度值調(diào)整規(guī)則如下：

設(shè)第j個(gè)單元的第k次迭代的密度值為，其調(diào)整值為，則

式中：Δkj是1個(gè)獨(dú)立量，第k次迭代第j個(gè)物性單元物密度值的調(diào)整幅度僅由Δkj決定，調(diào)整的方向則由偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)決定。若2次迭代的偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，則表明調(diào)整的幅度不夠大，需要增大調(diào)整量繼續(xù)調(diào)整，以加快收斂速度；若2個(gè)迭代的偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)不同，則表明調(diào)整幅度過大，密度值超過最佳值，需要減小調(diào)整量反方向調(diào)整。這種方法有效地避免了因偏導(dǎo)數(shù)過小導(dǎo)致的難以收斂問題，而且當(dāng)調(diào)整量不足時(shí)，其調(diào)整幅度會(huì)持續(xù)增大，可以跳過一些局部最小點(diǎn)，可見：與梯度下降法相比，彈性 BP法不易陷入局部最小。在數(shù)據(jù)量較大時(shí)，其優(yōu)勢(shì)更加明顯。

每次迭代的Δkj由下式?jīng)Q定：

式中：0＜η-＜1＜η+；η+和η-分別為用于增加和減少調(diào)整量的系數(shù)，這兩者應(yīng)相互協(xié)調(diào)，不宜差別過大，否則會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的收斂效果。調(diào)整量的初始值則根據(jù)期望的反演精度來確定，初始調(diào)整量應(yīng)小于反演精度，但不應(yīng)過小。本文使用下列目標(biāo)函數(shù)作為迭代停止的條件：

式中：ε為任意正數(shù)。當(dāng)滿足式(20)或迭代達(dá)到一定次數(shù)時(shí)，則停止迭代。在實(shí)際計(jì)算中，往往難以選擇合適的ε使反演結(jié)果達(dá)到最優(yōu)，若ε選取過大，則反演效果較差；若ε選取過小，則式(20)很難被滿足，網(wǎng)絡(luò)難以收斂。本文在反演過程中選取較小的ε，以期獲得更好的反演效果。為防止ε過小出現(xiàn)難以收斂的問題，在迭代達(dá)到一定次數(shù)且目標(biāo)函數(shù)值變化平緩時(shí)也認(rèn)為網(wǎng)絡(luò)收斂，停止迭代。

為了減少多解性的影響，加入下列約束條件：當(dāng)?shù)欢ù螖?shù)后，令

在全部 5個(gè)分量獨(dú)立分量的聯(lián)合反演(全張量反演)中，選取5個(gè)獨(dú)立的分量(Vxx,Vzz,Vxy,Vxz,Vyz)，令：

式中：G和S分別為5個(gè)獨(dú)立分量的觀測(cè)值和相應(yīng)的位置函數(shù)組成的矩陣。然后，用式(22)代替式(9)，依據(jù)相同的物質(zhì)參數(shù)調(diào)整規(guī)則即式(16)，(17)及(18)，計(jì)算各個(gè)物性單元的密度ρ。

3 重力梯度張量反演

將場(chǎng)源空間劃分為15×15×5個(gè)物性單元，每個(gè)物性單元在x和y方向上的長度為40 m，z方向上的長度為60 m，目標(biāo)體模型如圖2所示。該模型為2個(gè)長×寬×高都為120 m×160 m×120 m的長方體，兩者之間的距離為120 m，其頂面埋深都為120 m，剩余密度都為 0.31×103kg/m3。地面的矩形測(cè)網(wǎng)共有15×15即225個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，沿x方向和y方向點(diǎn)距都為40 m，將通過正演公式計(jì)算其在觀測(cè)面上的各重力梯度張量作為觀測(cè)值。

圖2 異常體模型的切片圖Fig.2 Slice of anomalous body model

3.1 單分量反演

采用前面提出的反演方法對(duì)重力梯度張量的5個(gè)獨(dú)立分量分別進(jìn)行反演，令ε=0.01，若式(20)成立，則認(rèn)為算法收斂，迭代停止；若不滿足式(20)，但迭代次數(shù)達(dá)到1 000次且目標(biāo)函數(shù)值變化平緩時(shí)，也停止迭代。在各個(gè)分量的反演中，目標(biāo)函數(shù)均未達(dá)到要求，迭代1 000次后，目標(biāo)函數(shù)值幾乎無變化，停止迭代。反演結(jié)果如圖3所示。在各個(gè)分量的反演計(jì)算中，所有物性單元的密度初值都為0 t/m3，各個(gè)計(jì)算耗時(shí)都在23 s左右。

從圖3可以看出：Vxx和Vyy分量較準(zhǔn)確地反映了目標(biāo)體的密度，但看不出其形態(tài)特征。在Vzz分量中，即使在增加約束條件的情況下，仍在一定區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)較大的負(fù)值，但負(fù)值區(qū)域與目標(biāo)體位置比較接近。Vxz分量反映了異常體的大體形態(tài)特征；Vyz分量在橫向上較準(zhǔn)確地反映了異常體的形態(tài)特征，但對(duì)其埋深反映得并不準(zhǔn)確；Vxy分量則較為準(zhǔn)確地反映了目標(biāo)異常的形態(tài)特征，但反演得出的密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于真實(shí)密度。各個(gè)分量的反演效果都不太理想。

3.2 全張量反演

3.2.1 不含噪聲數(shù)據(jù)反演

在全張量反演中，目標(biāo)函數(shù)仍沒達(dá)到預(yù)期要求，迭代1 000次后，目標(biāo)函數(shù)值幾乎無變化，停止迭代。反演結(jié)果如圖4所示。所有物性單元密度初值都為0 t/m3，整個(gè)計(jì)算過程耗時(shí)92.77 s。

圖3 單分量反演結(jié)果Fig.3 Inversion results of single component

從圖4可以看出：全張量反演結(jié)果明顯優(yōu)于單分量的反演結(jié)果，無論目標(biāo)體的形態(tài)特征還是密度都分別與真實(shí)模型的相應(yīng)特征和密度十分接近。

3.2.2 含噪聲數(shù)據(jù)反演

由于觀測(cè)誤差等影響，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)往往含有一定的噪聲成分，因此，本文分別對(duì)含有10%和20%隨機(jī)噪聲的數(shù)據(jù)進(jìn)行反演，并分析噪聲對(duì)該算法的影響。其反演結(jié)果如圖5所示。從圖5可見：所有物性單元仍舊取密度初值0 t/m3，2次反演計(jì)算耗時(shí)都在92 s左右，與不含噪聲的數(shù)據(jù)反演相比，并未增加計(jì)算時(shí)間。

圖4 使用5個(gè)獨(dú)立分量對(duì)不含噪聲數(shù)據(jù)聯(lián)合反演的結(jié)果Fig.4 Joint inversion results of five independent components without noise

圖5 對(duì)含噪聲數(shù)據(jù)聯(lián)合反演的反演結(jié)果Fig.5 Joint inversion result of five independent components with noise

在含10%隨機(jī)噪聲的情況下，在計(jì)算過程中，使用約束條件進(jìn)行約束，仍在背景區(qū)域出現(xiàn)了一些較大的負(fù)值，但仍準(zhǔn)確地反映了目標(biāo)體的形態(tài)及密度特征。噪聲主要影響背景區(qū)域的密度參數(shù)，若對(duì)反演結(jié)果按約束條件式(21)再次進(jìn)行修正，則可達(dá)到不含噪聲數(shù)據(jù)的反演效果。

在含20%隨機(jī)噪聲的情況下，反演效果比前者的差。除了背景區(qū)出現(xiàn)較多負(fù)值外，目標(biāo)體的形態(tài)特征(大小及位置)與模型的差距變大。

4 結(jié)論

(1) 將 RPROP算法與擬 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法相結(jié)合，提出了一種適于重力梯度張量反演計(jì)算的算法。該算法具有收斂速度快、不易陷入局部最小等特點(diǎn)，可用于數(shù)據(jù)量較大的反演計(jì)算。

(2) 本文使用該方法對(duì)理論模型進(jìn)行了重力梯度張量的單分量反演和全張量反演。該方法耗時(shí)較少，反演過程快速。在單分量反演過程中，各個(gè)分量反演結(jié)果都較差，其中，Vxx和Vyy在一定程度上反映了目標(biāo)體的密度特征，但并未反映出形態(tài)特征；而Vxy和Vyz分量較準(zhǔn)確地反映了目標(biāo)異常的形態(tài)特征，但并未反映出其密度特征。由于包含了更多的信息，全張量反演(即 5個(gè)獨(dú)立分量的聯(lián)合反演)結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于單分量反演結(jié)果，準(zhǔn)確地反映出異常體的形態(tài)及密度特征。在反演過程中，初始模型的各單元密度初值都為 0 t/m3，這表明該方法的全張量反演對(duì)初值的依賴性較小。

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