劉厚才， 廖艷春

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基于Pareto最優(yōu)解的零件制作方向優(yōu)化研究

劉厚才， 廖艷春

（湖南科技大學機電工程學院，湖南湘潭 411201）

分析了快速成型工藝中零件制作方向?qū)χ萍砻尜|(zhì)量、所需支撐面積和零件制造時間的影響，分別建立了它們的優(yōu)化數(shù)學模型。采用了基于Pareto最優(yōu)解的多目標優(yōu)化遺傳算法NSGA－II進行優(yōu)化計算，通過與單目標優(yōu)化方法求得最優(yōu)結(jié)果的對比，表明用多目標優(yōu)化方法進行零件制作方向的優(yōu)化計算，不僅可以求出比單目標方法更優(yōu)的解，而且通過一次優(yōu)化計算就可得到多個較優(yōu)的零件制作方向。

計算機應用；快速成型；多目標優(yōu)化；零件制作方向；Pareto最優(yōu)解

在快速成型技術(shù)的制造過程中，零件的制作方向是一個非常重要的工藝參數(shù)，它直接影響制件的表面質(zhì)量、支撐結(jié)構(gòu)、制作時間等指標，并最終影響著零件的制作成本。在當前許多商品化的快速成型系統(tǒng)中，零件的制作方向仍然靠用戶人工選擇，這樣，零件制作方向的選擇在很大程度上取決于用戶的經(jīng)驗和主觀技巧。對于形狀和結(jié)構(gòu)較簡單的零件一般憑直覺或經(jīng)驗比較容易確定一個較好的零件制作方向，但是對于形狀和結(jié)構(gòu)較復雜的零件就很難憑直覺或經(jīng)驗選出一個較優(yōu)的零件制作方向，而且大多數(shù)用戶不具備這種能力。為了解決這個問題，國內(nèi)外研究人員通過采用不同的方法對零件制作方向與這些指標的關(guān)系進行過理論分析與研究，建立零件制作方向的優(yōu)化數(shù)學模型，并對優(yōu)化模型進行數(shù)值求解，以實現(xiàn)對任意形狀和結(jié)構(gòu)零件制作方向的自動優(yōu)化方法。零件制作方向的優(yōu)化是一個多目標優(yōu)化問題，目前有關(guān)零件制作方向的優(yōu)化研究要么進行的只是單目標優(yōu)化研究，要么就是先通過線性加權(quán)法將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標優(yōu)化問題，再采用單目標優(yōu)化方法求最優(yōu)解。這是一種先決策后搜索的尋優(yōu)模式，本質(zhì)上仍然屬于單目標優(yōu)化，其存在如下明顯的不足：第一，目標權(quán)重作為決策者的一種偏好信息，一般很難預先確定；第二，每次計算只能產(chǎn)生一個最優(yōu)解，且優(yōu)化結(jié)果對權(quán)重系數(shù)的分布很敏感；第三，決策者往往希望提供多種方案以供選擇，而該方法只能提供唯一解。為此，本文將基于Pareto最優(yōu)原理的多目標優(yōu)化方法用于快速成型工藝中零件制作方向的優(yōu)化研究，為零件制作方向的優(yōu)化研究提供了一種新思路，該方法經(jīng)過一次優(yōu)化計算就可以獲得各目標在不同權(quán)重分配情況下零件制作方向的多個最優(yōu)解的集合（即Pareto最優(yōu)解集）。該方法更好地反映零件制作方向多目標優(yōu)化的實質(zhì)，可以實現(xiàn)了真正意義上的零件制作方向的多目標優(yōu)化。

1 多目標的優(yōu)化模型

根據(jù)已有的研究成果可知，在快速成型加工過程中受零件制作方向影響最大的主要是3個指標：零件的表面質(zhì)量、零件所需的支撐和零件的制作時間。本文也選用這3個指標作為對快速成型工藝中零件制作方向進行優(yōu)化的目標。

1.1 以表面質(zhì)量為目標的優(yōu)化模型

在快速成形技術(shù)中，零件的制造過程是先對三維模型進行二維離散，然后再用二維離散數(shù)據(jù)堆積成三維實物，因此，在零件的傾斜表面上會留下大量的呈樓梯狀臺階，這在快速成形技術(shù)中被稱為臺階效應(staircase effect)，是由快速成形的固有成形原理帶來的。臺階效應會導致實際的零件表面與期望的零件表面存在一定的體積誤差。易知通過減少因臺階效應產(chǎn)生的體積誤差，可以提高零件的表面質(zhì)量，因此以零件表面質(zhì)量為優(yōu)化目標可以通過選擇一個零件制作方向，使因臺階效應產(chǎn)生的體積誤差最小來實現(xiàn)。

在快速成形工藝中，零件模型的接口文件一般都是采用STL文件格式，STL文件是通過用三角形面片的方法來逼近模型表面。假設(shè)用表示第個三角形面片的外法線方向的單位矢量，A表示該面片的面積，表示與之間的夾角，面片的3個頂點坐標為：P(x,y,z), P(x,y,z)，P(x,y,z)。是選定的在模型坐標系下零件制作方向的單位矢量，是零件制作方向與軸之間的夾角，是零件制作方向在平面上的投影與軸之間的夾角，則有。

以零件表面質(zhì)量為目標的優(yōu)化模型可表述如下

式中為零件模型的三角面片的個數(shù)

1.2 以支撐為目標的優(yōu)化模型

快速成型工藝中，在零件的懸空部位下面一般需要設(shè)置支撐。本文在進行制作方向優(yōu)化時只考慮支撐面積，且只計算外法線朝下的三角形面片的面積。因此，以減少支撐為優(yōu)化目標的模型如下

1.3 以制作時間為目標的優(yōu)化模型

在快速成型工藝中，通過降低零件在z軸方向上的高度可以大大減少零件的切片層數(shù)，進而可以較多地減少制作時間。因此，減少零件的制作時間可以通過使零件在制作方向上的高度最小來實現(xiàn)。

設(shè)P(x,y,z)是零件模型中某一三角形面片的一個頂點的坐標，該頂點用向量表示為[x,y,z]，=1，2，…，，是零件模型中頂點的個數(shù)。則以制作時間為優(yōu)化目標的模型可表示如下

2 優(yōu)化模型的求解

2.1 求解方法

關(guān)于優(yōu)化問題的求解主要有兩類方法：解析法和直接法。解析法只適用于優(yōu)化的目標函數(shù)及約束有明確的解折表達式的情況。直接法則是用直接搜索的方法，經(jīng)過若干次迭代計算來搜索目標函數(shù)的最優(yōu)解，直接法主要適用于目標函數(shù)較復雜或目標函數(shù)不能通過變量明確表示的情況。由優(yōu)化目標模型式(1)、式(2)和式(3)可以看出，對這三個優(yōu)化模型的求解只能采用直接法。

基于模擬生物進化過程的遺傳算法，是一種自組織全局優(yōu)化的概率搜索算法，具有群體學習功能、自適應進化等特點，而且能夠在單一種群中并行地處理一組解的集合，是求解多目標優(yōu)化問題的有效方法。將Pareto最優(yōu)原理與遺傳算法相結(jié)合形成的求解多目標優(yōu)化問題的方法稱為多目標遺傳算法。多目標遺傳算法是在基本遺傳算法的基礎(chǔ)上發(fā)展來的，為了適應多目標優(yōu)化問題求Pareto最優(yōu)解的需要，算法中除了有基本遺傳算法中的選擇、交叉和變異算子外，還增加了種群分級排序、小生境處理和精英保留3個算子。迄今為止，研究人員已經(jīng)提出了多種多目標遺傳算法，其中比較突出有第二代非支配排序遺傳算法(NSGA-II)，該算法具有穩(wěn)定的收斂性和較好的全局最優(yōu)解搜尋能力，已成為了目前求解多目標優(yōu)化問題的標準算法之一。本文就采用NSGA-II算法來進行零件制作方向的多目標優(yōu)化求解。

2.2 求解算法的流程

基因編碼方法采用二進制編碼方式，取求解精度0.1o，初始種群的產(chǎn)生采用隨機產(chǎn)生方式。種群分級排序、小生境處理、選擇、雜交、變異和精英保留算子采用NSGA-II算法。算法的終止條件設(shè)定為進化的代數(shù)達到設(shè)定的最大的代數(shù)，求解算法的流程如圖1所示。

圖1 求解算法流程

3 優(yōu)化實例分析

根據(jù)上述的算法原理，在Windows XP操作平臺上用Visual C++ 6.0編寫了快速成型工藝中零件制作方向的自動優(yōu)化計算程序。為了檢驗優(yōu)化的效果，本文選用了如圖2所示的2個模型樣件進行測試，圖2(a)是一導軌滑塊模型，由60個三角形面片組成，圖2(b)是一個螺旋槳模型，由16992個三角形面片組成。圖2(a)取自文獻[2]，是零件制作方向優(yōu)化研究中常用的模型，文獻[14-17]通過單目標優(yōu)化方法求得它的最優(yōu)制作方向如圖3所示，其中方向1是以表面質(zhì)量為目標的最優(yōu)制作方向，方向2是以減少支撐為目標的最優(yōu)制作方向，方向3是以制作時間為目標的最優(yōu)制作方向。

(a) (b)

圖3 單目標優(yōu)化方法求得的導軌滑塊最優(yōu)制作方向

用NSGA-II多目標優(yōu)化算法對導軌滑塊模型制作方向的優(yōu)化計算，得到的Pareto最優(yōu)結(jié)果如表1所示，其中算法的控制參數(shù)設(shè)置為：種群數(shù)100，雜交概率0.9，變異概率0.1，最大進化代數(shù)200，切片厚度0.1mm。

表1 導軌滑塊模型的優(yōu)化計算結(jié)果

從表中數(shù)據(jù)可以看出，用NSGA-II多目標優(yōu)化算法求得的以減少支撐為目標的最優(yōu)制作方向與文獻[14-17]中以單目標優(yōu)化方法得到的相同，而以表面質(zhì)量和制作時間為目標的最優(yōu)制作方向與單目標優(yōu)化方法得到的相差180°。通過查看NSGA-II算法最后得到的優(yōu)化數(shù)據(jù)，當＝0°時各優(yōu)化目標的值為，體積誤差：97.345mm，待支撐面積：10812.3mm，零件制作高度：50mm。由此可見，文獻[14-17]通過單目標優(yōu)化方法求得的只是一個次優(yōu)的制作方向，而通過NSGA-II方法求得的才是一個最優(yōu)的制作方向。這是因為基于Pareto最優(yōu)原理的多目標優(yōu)化方法，在優(yōu)化求解的過程中，可以在保證單一目標最小的情況下，同時具有搜索使其它目標值最小的能力，而通過線性加權(quán)法將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成單目標優(yōu)化問題來求解的方法，則不具備這種搜索能力。從表1中的4號和5號可以看出，通過NSGA-II方法還得到了一個較優(yōu)的零件制作方向，經(jīng)過分析可以得出，導軌滑塊模型較優(yōu)的制作方向?qū)嶋H上只有3個，而這剛好是它的第3個較優(yōu)的制作方向（即方向）。這表明用NSGA-II方法在對導軌滑塊制作方向的優(yōu)化計算中不僅比通常單目標優(yōu)化方法求出了更優(yōu)的解，而且在一次的優(yōu)化計算中還得到了它的全部較優(yōu)解，這也同時表明用多目標遺傳算法NSGA-II方法進行零件制作方向的優(yōu)化計算是有效的。

根據(jù)上述同樣的算法控制參數(shù)，用NSGA-II方法對螺旋槳模型制作方向的優(yōu)化計算得到的Pareto最優(yōu)目標值的分布分別如圖4所示。圖中每個點都代表著一個較優(yōu)的制作方向，即3個目標在某一權(quán)重系數(shù)下的零件最優(yōu)制作方向。從Pareto最優(yōu)解集中取得的螺旋槳模型的3個單目標的最優(yōu)制作方向分別如圖5所示。

對螺旋槳模型按圖5中(a)和(b)兩個制作方向，用光固化三維打印快速成形工藝制做了兩個螺旋槳實物模型（如圖6所示），圖7是螺旋槳實物模型A和B處的局部放大圖。從圖6和圖7中可以看出：通過優(yōu)化計算得到的按體積誤差最小（即零件表面質(zhì)量最高）的制作方向制得的零件（圖7(a)所示）的表面質(zhì)量明顯高于按待支撐面積最小的制作方向制得的零件（圖7 (b)所示）。

圖4 螺旋槳模型的Pareto最優(yōu)目標值的分布

(a) 表面質(zhì)量最高 (b) 支撐最少 (c) 制作時間最短

(a) 體積誤差最小 (b) 待支撐面積最小

(a) A處局部放大 (b) B處局部放大

4 結(jié) 論

零件的制作方向優(yōu)化是一個多目標優(yōu)化問題，本文選用了制件表面質(zhì)量、所需支撐面積和零件制造時間3個指標作為優(yōu)化目標，分別建立了它們的優(yōu)化數(shù)學模型。采用了基于Pareto最優(yōu)解的多目標優(yōu)化遺傳算法NSGA-II進行優(yōu)化計算，通過與單目標優(yōu)化方法求得最優(yōu)結(jié)果的對比，表明用多目標優(yōu)化方法進行零件制作方向的優(yōu)化計算，不僅可以求出比單目標方法更優(yōu)的解，而且通過一次優(yōu)化計算就可得到多個較優(yōu)的零件制作方向。操作者可以根據(jù)實際要求和偏好，從優(yōu)化計算得到的零件較優(yōu)制作方向中選取一個合適的方向進行零件制作，以實現(xiàn)零件表面質(zhì)量、所需支撐和零件的制作時間三者之間的最優(yōu)組合。

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Part Building Orientation Optimization Based on Pareto Optimal Solutions

LIU Hou-cai, LIAO Yan-chun

( College of Electromechanical Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan Hunan 411201, China )

The effect of part building orientation on the part’s surface quality, the needed supporting area and building time is analyzed in the processing of rapid prototyping, and their optimizing models are established. The multi-objective optimizing generic algorithm of NSGA-II based on Pareto optimal solutions are used to seek the optimum solutions. Compared with the results gained by the single-objective optimizing way, it is shown that not only the better solution is gained but also many Pareto optimal solutions can be gained in one optimizing computing by NSGA-II.

computer application; rapid prototyping; multi-objective optimizing; part building orientation;Pareto optimal solutions

TP 391

A

1003-0158(2011)01-0157-06

2009-07-13

湖南省教育廳科研資助項目（09C397）；湖南省自然科學基金重點資助項目（09JJ3093）

劉厚才（1975-），男，湖北廣水人，博士，主要研究方向為快速成型與快速制模。