高正暉，楊 柳

(衡陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)系，湖南 衡陽 421008)

自1981年Konno等[1]首次報告非線性振動模型存在環(huán)狀孤波解以來，引起了許多學(xué)者對非線性發(fā)展方程環(huán)狀孤波解的關(guān)注，現(xiàn)已發(fā)表了一些關(guān)于非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解的學(xué)術(shù)論文[2-4]。近年來，李繼彬[5-8]，劉正榮[9-10]等運用動力系統(tǒng)的分支理論對一些非線性發(fā)展方程的行波解的動力學(xué)行為進行了研究，發(fā)現(xiàn)一些非線性發(fā)展方程的環(huán)狀孤波解不是一個真正的解，它是由三個破缺行波解所組成，并給出了一些非線性發(fā)展方程破缺行波解的參數(shù)表示。

1970年，Kadomtsev等[ 11-12 ]首次提出如下二維的KdV方程，即KP方程

(ut+uux+uxxx)x+εuyy=0

(1)

它是一個重要的非線性偏微分方程, 該方程有著廣泛的物理背景，常用來描述二維小振幅弱色散波，如二維淺水波、未磁化等離子體聲波等，在流體力學(xué)、等離子體物理、氣體動力學(xué)等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用，對它的深入研究將有利于實際物理問題的解決。本文的目的是對含非線性色散項的Kadomtsev-Petrishvili方程

(ut+uux+(u2)xxx)x+εuyy=0

(2)

進行研究，運用動力系統(tǒng)分支理論對方程(2)的行波系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行分析，根據(jù)這些分析，我們也獲得了該行波系統(tǒng)存在環(huán)狀孤波解，它也是由三個破缺行波解所組成，并給出了破缺行波解的參數(shù)表示。

1 行波系統(tǒng)的分支相圖

對于方程(2)，我們作如下行波變換:ξ=x+ay+βt,u(x,y,t)=φ(ξ)，其中α,β為待定常數(shù)。由此方程(2)約化為常微分方程

(βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?)′+

εα2φ″(ξ)=0

(3)

對(3) 式積分并取積分常數(shù)為0，得

βφ′(ξ)+φ(ξ)φ′(ξ)+(φ2(ξ))?+

εα2φ′(ξ)=0

(4)

再對(4) 式積分并取積分常數(shù)為g，得

2φ′2(ξ)+2φ(ξ)φ″(ξ)=g

(5)

令φ′=v，并令λ=β+εα2，則可得以下平面自治系統(tǒng)(行波系統(tǒng))

(6)

令dξ=2φdτ，則除奇異直線φ=0外，行波系統(tǒng)(6)與下面的可積系統(tǒng)有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(7)

顯然，行波系統(tǒng)(7)的首次積分是

(8)

對于行波系統(tǒng)(7)，其平衡點滿足方程組

(9)

圖1 行波系統(tǒng)(7)的平面相圖

2 破缺行波解的參數(shù)表示

1)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ>0,g<0時，方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

(11)

由(11)式可得

(12)

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

(13)

其中ξ0是積分常數(shù)。

因此，得

從而解得

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖2)的參數(shù)表示

(14)

圖2 參數(shù)方程(14)的平面圖

2)當(dāng)Δ=λ2+2g>0且λ<0,g<0時，方程的破缺行波解的參數(shù)表示。

(15)

由此得到行波系統(tǒng)(6)由三個破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解

(16)

其中ξ0是積分常數(shù)。

因此，得

從而解得

由此得到行波系統(tǒng)(6)的由三個破缺行波解組成的環(huán)狀孤波解(如圖3)的參數(shù)表示

圖3 參數(shù)方程(18)的平面圖

(θ為參數(shù))

(18)

參考文獻(xiàn)：

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[12] 郭柏靈. 非線性演化方程[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 1995.