石艷香，郝江輝，白定勇，劉桂榮

(1.山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030006；2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006;3.潞安集團(tuán)余吾煤業(yè)公司自動(dòng)化科，山西 長(zhǎng)治 046103)

近幾年,有很多研究專注于非線性系統(tǒng)中不同周期力的影響。例如,由扭曲力產(chǎn)生的混沌行為[1],周期脈沖產(chǎn)生的復(fù)合周期加倍[2],周期外力產(chǎn)生的混沌反控制[3],帶有不同周期外力的隨機(jī)共振[4]等等。研究的方法包括多重進(jìn)位擾動(dòng)理論和Melnikov方法,這些方法用于研究由不同周期力驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)的非線性共振和同宿分支。

本文研究幅值調(diào)節(jié)力對(duì)Josephson系統(tǒng)的影響,系統(tǒng)如下

(1)

這里sinx+ksin 2x表示相位檢測(cè)特性的混沌環(huán)；β-α(1+kcosx)y表示理想過(guò)濾器的移位函數(shù)； (f+2gcosωt)sinΩt是幅值調(diào)節(jié)力，f是非調(diào)節(jié)載體的振幅，2g是調(diào)節(jié)度，ω和Ω表示外力的兩個(gè)頻率。

許多實(shí)際問(wèn)題的模型都是由此方程,或者相似的方程描述的。Josephson系統(tǒng)具有一個(gè)明顯的特征，即具有非線性屬性。因此，有必要去研究系統(tǒng)(1)，以此來(lái)獲得系統(tǒng)隨不同的參數(shù)變動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)特征。Salam等[5]和Bartuccelli等[6]利用Melnikov函數(shù)和定性分析,提供分支圖來(lái)證明對(duì)一些參數(shù)系統(tǒng)混沌的存在。帶有一個(gè)周期外力的Josephson方程的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[7-9]。Yang等[10]研究了帶有兩個(gè)周期外力的Josephson系統(tǒng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài),得到了系統(tǒng)在周期擾動(dòng)和擬周期擾動(dòng)下混沌存在的準(zhǔn)則。另外，Jing等[11-12]研究受常數(shù)dc和ac驅(qū)動(dòng)的Josephson系統(tǒng)，顯示出導(dǎo)致混沌的條件以及考慮了當(dāng)鎖相變化時(shí)，對(duì)周期和次諧分支的影響。最近，Ravichandran等[13]從理論分析和數(shù)值模擬兩方面，研究了受幅值調(diào)節(jié)力控制的Duffing振子的同宿分支和從正規(guī)到混沌的轉(zhuǎn)變。本文研究系統(tǒng)(1)的異宿分支和混沌。利用Melnikov方法[14]，得到異宿分支及混沌存在的條件。同時(shí)，利用數(shù)值模擬研究分支參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。數(shù)值模擬包括不動(dòng)點(diǎn)的分支圖、相圖和系統(tǒng)分支圖，以此來(lái)驗(yàn)證理論分析，并且還顯示出新的動(dòng)態(tài)行為: 包括在不同混沌區(qū)域中的n周期軌道，一系列倍周期分支和逆倍周期分支，帶有復(fù)雜周期窗口和內(nèi)部危機(jī)的瞬時(shí)混沌等。

1 非擾動(dòng)系統(tǒng)的不動(dòng)點(diǎn)和相圖

若ε=0，系統(tǒng)(1)可以寫(xiě)成如下非擾動(dòng)形式

(2)

系統(tǒng)(2)是一個(gè)Hamilton系統(tǒng)，Hamilton函數(shù)為

特征方程為

λ2+cosx+2kcos 2x=0

(3)

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)(2)不動(dòng)點(diǎn)(xj,yj)穩(wěn)定性分析，可以得到如下結(jié)論。

圖1(a)和(b)分別是系統(tǒng)(2)當(dāng)k=1時(shí)不動(dòng)點(diǎn)的分支圖和相圖。

圖1 系統(tǒng)(2)不動(dòng)點(diǎn)的分支圖和相圖，這里k=1

2 計(jì)算Melnikov函數(shù)

系統(tǒng)(1)可改寫(xiě)為如下的自治形式

(4)

假設(shè)未擾動(dòng)系統(tǒng)的異宿軌道為(x0,y0)=(x0(t),y0(t)),則系統(tǒng)(4)的Melnikov函數(shù)為

(5)

這里t0是Poincare映射與橫截面相交的時(shí)間，也可理解為外力項(xiàng)的初始時(shí)刻。

2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+gA4(Ω+ω)·

sin(Ω+ω)t0+gA5(Ω-ω)sin(Ω-ω)t0]

(6)

3 Ω=ω時(shí)幅值調(diào)節(jié)力對(duì)系統(tǒng)的影響

通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬，研究當(dāng)Ω=ω時(shí)系統(tǒng)(1)馬蹄混沌的產(chǎn)生，有以下3種情形

Case 1:g=0；

Case 2:g固定不變；

Case 3:f固定不變。

3.1 g=0時(shí)的異宿分支與混沌

當(dāng)g=0時(shí)，系統(tǒng)(1)由正弦外力fsinΩt驅(qū)使，則Melnikov函數(shù)(6)為

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0]

因此，如果

定理1 系統(tǒng)(4)在

f=±R1(β,α,k,Ω)

處發(fā)生異宿分支，說(shuō)明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖2(a)-(d)分別給出了系統(tǒng)(1)在(f,x),(α,x)和(β,x)平面上的分支圖，這里(a)g=0,β=0.02,α=0.2,k=1；(b)g=0,β=0.02,f=2,k=1；(c)g=0,β=0.004,f=1.5,k=1；(d)g=0,α=0.2,f=1,k=1。

從圖2(a)-(c)，看到混沌狀態(tài)與周期狀態(tài)的交替出現(xiàn)。從圖2(d)，發(fā)現(xiàn)帶有周期窗口和內(nèi)部危機(jī)的瞬時(shí)混沌。圖3給出了對(duì)應(yīng)于圖2的相圖。

圖2 (a) 系統(tǒng)(1)在(f,x)平面的分支圖；(b-c)系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖；(d)系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖

圖3 (a-b)對(duì)應(yīng)圖2(a)的相圖;(c-d)對(duì)應(yīng)圖2(b)的相圖; (e-f)對(duì)應(yīng)圖2(c)的相圖;(g-h)對(duì)應(yīng)圖2(d)的相圖.

3.2 g固定不變時(shí)的異宿分支與混沌

g的值固定不變，當(dāng)Ω=ω時(shí)，Melnikov函數(shù)(6)為

M(t0)=2[βA1-αA2(k)+fA3(Ω)sinΩt0+

gA4(2Ω)sin(2Ω)t0]

因此，如果

|R2(β,α,k,Ω,g)|

定理2 系統(tǒng)(4)在

f=±R2(β,α,k,Ω,g)

處發(fā)生異宿分支，說(shuō)明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖4(a)和(b)分別給出了系統(tǒng)(1)在(f,x)和(β,x)平面上的分支圖，這里(a)g=0.1,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)g=0.1,f=0.2,α=0.2,k=1。

圖4 (a) 系統(tǒng)(1)在(f,x)平面的分支圖；(b)系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖

從圖4中可以看到混沌狀態(tài)與周期狀態(tài)的交替發(fā)生，帶有復(fù)雜周期窗口與內(nèi)部危機(jī)的瞬時(shí)混沌。圖5(a)和(b)分別給出當(dāng)f=1.15和β=1.137的相圖。

圖5 對(duì)應(yīng)于圖4的相圖

3.3 f固定不變時(shí)的異宿分支與混沌

f的值固定不變，當(dāng)Ω=ω，使Melnikov函數(shù)M(t0)具有簡(jiǎn)單零點(diǎn)的必要條件是

定理3 系統(tǒng)(4)在

g=±R3(β,α,k,Ω,f)

處發(fā)生異宿分支，說(shuō)明如果ε>0充分小，則橫截異宿軌道存在，系統(tǒng)(4)可能產(chǎn)生混沌。

圖6(a)和(b)分別給出了系統(tǒng)(1)在(g,x)和(α,x)平面上的分支圖，這里(a)f=0.2,β=0.02,α=0.2,k=1;(b)f=0.2,β=0.02,g=0.1,k=1；圖6(c)和(d)分別是圖6(a)和(b)的局部放大分支圖。

從圖6(c)看到，當(dāng)g=1.64和g=1.68時(shí)帶有周期-2窗口和內(nèi)部危機(jī)的混沌區(qū)域。圖7(a)和(b)分別給出g=1.645和α=0.05時(shí)的相圖。

圖6 (a) 系統(tǒng)(1)在(g,x)平面的分支圖；(b) 系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖； (c) 對(duì)應(yīng)(a)的局部放大分支圖，這里1.5

圖7 (a) 對(duì)應(yīng)圖6(a)的相圖； (b) 對(duì)應(yīng)圖6(b)的相圖

4 Ω≠ω時(shí)幅值調(diào)節(jié)力對(duì)系統(tǒng)的影響

通過(guò)數(shù)值模擬，研究受幅值調(diào)節(jié)力驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)(1)在不同頻率Ω≠ω下的動(dòng)力學(xué)行為。有以下兩種情形

Case 1:Ω和ω是可通約的；

Case 2:Ω和ω是不可通約的。

4.1 Ω和ω是可通約的

取參數(shù)值β=0.02,α=0.2,k=1,ω=1,Ω=2。這種情形下外力是周期的。圖8(a)給出了g=0而f是變化的分支圖。圖中可看出具有內(nèi)部危機(jī)、間斷動(dòng)力學(xué)行為以及從1，2周期開(kāi)始到混沌的倍周期分支。研究當(dāng)f分別固定在一正規(guī)區(qū)域和一混沌區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)(1)隨控制參數(shù)g變化的動(dòng)力學(xué)行為。當(dāng)f=1.18且g=0時(shí)系統(tǒng)是周期的，圖8(b)是g從0到1的分支圖。圖8(c)是對(duì)應(yīng)于f=1.22時(shí)的分支圖(當(dāng)g=0時(shí)是混沌的)。圖8(d)給出了f=0且g∈[0,1]時(shí)的分支圖。圖8(e)和(f)分別給出了當(dāng)固定g為g=0.63(周期區(qū)域)和g=0.66(混沌區(qū)域)時(shí)的分支圖，從圖中可以清晰的看出控制參數(shù)f對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。

圖8 各種分支結(jié)構(gòu)，這里k=1,β=0.02,ω=1,Ω=2,α=0.2

4.2 Ω和ω是不可通約的

圖9 分支結(jié)構(gòu)，這里k=1,β=0.02,

圖10 對(duì)應(yīng)圖9(a)和(b)的相圖

5 系統(tǒng)(1)的其他分支結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為

研究系統(tǒng)(1)的其他分支結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為， 考慮以下3種分支參數(shù)情形

(i)β為分支參數(shù)(0≤β≤0.05)，固定α=0.2,g=0.1,ω=1,Ω=2和一些f值；

(ii)α為分支參數(shù)(0≤α≤0.5)，固定f=0.2,g=0.1,ω=1和一些Ω值；

(iii)Ω為分支參數(shù)(0≤Ω≤2)，固定β=0.002,f=0.2,g=0.1,ω=1和一些α值。

情形(i)對(duì)不同的f值，圖11(a)-(d)給出了系統(tǒng)(1)在(β,x)平面上的分支圖，顯示出振幅f對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。從圖中可以看到混沌行為和周期行為交替出現(xiàn)，并且發(fā)現(xiàn)帶有復(fù)雜周期窗口的混沌區(qū)域。

圖11 系統(tǒng)(1)在(β,x)平面的分支圖，這里(a)f=0.5;(b)f=0.7;(c)f=0.8;(d)f=1

情形(ii) 對(duì)不同的Ω值，圖12(a)-(d)給出了(α,x)平面上的分支圖，顯示出頻率Ω對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響。從圖中可以看到混沌行為和擬周期行為交替出現(xiàn)。

圖12 系統(tǒng)(1)在(α,x)平面的分支圖，這里(a)Ω=0.2;(b)Ω=1.4;(c)Ω=2;(d)Ω=3

情形(iii) 圖13(a)和(b)給出了系統(tǒng)(1)在(Ω,x)平面上的分支圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)大范圍的帶有小的擬周期窗口的混沌區(qū)域。

圖13 系統(tǒng)(1)在(Ω,x)平面的分支圖，這里(a)α=0.1;(b)α=0.25

6 結(jié) 論

本文研究了受幅值調(diào)節(jié)力驅(qū)動(dòng)的Josephson系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，利用理論分析和數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)很多復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為，這些行為源自阻尼和幅值調(diào)節(jié)力的影響。特別的，從圖11-13可以看出幅值調(diào)節(jié)力中的振幅f和頻率Ω對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響起了關(guān)鍵的作用。圖12顯示出通過(guò)調(diào)節(jié)阻尼α值，可以調(diào)節(jié)系統(tǒng)從混沌進(jìn)入到周期狀態(tài)，故可以將其看作是一個(gè)控制器。對(duì)理解Josephson系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，這些結(jié)論是重要且實(shí)用的。

參考文獻(xiàn)：

[1]KONISHI K. Generating chaotic behaviors in an oscillator driven by periodic forces[J]. Phys Lett A,2003,320:200-206.

[2]VENKATESAN A,PARTHASARATHY S,LAKSHMANAN M. Occurrence of multiple period-doubling bifurcation route to chaos in periodically pulsed chaotic dynamical systems[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2003,18(4):891-898.

[3]GE Z M,LEU W Y. Anti-control of chaos of two-degrees-of-freedom loudspeaker system and chaos synchronization of different order systems[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2004,20(3): 503-521.

[4]GANDHIMATHI V M,MURALI K,RAJASEKAR S. Stochastic resonance with different periodic forces in over damped two coupled an harmonic oscillators[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(5):1034-1047.

[5]SALAM F M A,SASTRY S S. Dynamics of the forced Josephson junction circuit: the regions of chaos[J]. IEEE Trans Cir Syst,1985,32:784-796.

[6]BARTUCCELLI M,CHRISTIANSEN P,PEDESEN N,et al.Prediction of chaos in a Josephson junction by the Melnikov function technique[J]. Phys Rev B,1986,33:4686-4691.

[7]JING Z J. Application of qualitative methods of differential equation to study phase-locked loops[J]. SIAM J Appl Math,1983,43(6):1245-1258.

[8]JING Z J. Chaotic behavior in the Josephson equation with periodic force[J]. SIAM J Appl Math,1989,49(6):1749-1758.

[9]JING Z J,CHAN K Y,XU D S,et al. Bifurcation of periodic solutions and chaos in Josephson system[J]. Discrete Contin Dyn Syst,2001,7(3):573-592.

[10]YANG J P,FENG W,JING Z J. Complex dynamics in Josephson system with two external forcing terms[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2006,30(1):235-256.

[11]JING Z J,CAO H J. Bifurcation of periodic orbits in a Josephson equation with a phase shift[J]. Int J Bifurcation Chaos: Appl Sci Eng,2002,12(7):1515-1530.

[12]CAO H J,JING Z J. Chaotic dynamics of Josephson equation driven by constant dc and ac forcings[J]. Chaos,Solitons and Fractals,2001,12(10):1887-1895.

[13]RAVICHANDRAN V,CHINNATHAMBI V,RAJASEKAR S. Homoclinic bifurcation and chaos in Duffing oscillator driven by an amplitude-modulated force[J]. Phys A,2007,376:223-236.

[14]WIGGINS S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos[M]. New York: Springer-Verlag,1990.