戚建明

（山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

正規(guī)族與正規(guī)函數(shù)的一個(gè)注記

戚建明

（山東大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南 250100）

設(shè)F為單位圓盤(pán)Δ上的一族全純函數(shù)，a和b為2個(gè)有限的復(fù)數(shù)且有b≠a，如果對(duì)任意的z∈Δ且對(duì)每個(gè)f∈F，若f=α?f＇=α，且f=b?f＇=b，則存在一正整數(shù)M且對(duì)任意的f∈F，有

亞純函數(shù)；正規(guī)族；Nevanlinna理論

1 引言及主要結(jié)果

設(shè)C為復(fù)平面，D為C上的一區(qū)域，F(xiàn)為一族定義在D上的亞純函數(shù)，如果F在D上正規(guī)，那么對(duì)于F的任意一族子列{fn}?F，存在子序列{fnj}在D上局部一致收斂于一亞純函數(shù)或者∞.[1]本文不失一般性，假定D=Δ={|z |＜1}.

設(shè)f和g為區(qū)域D上的亞純函數(shù)，a和b為2個(gè)復(fù)數(shù)，如果f(z)=a則g(z)=b，我們記

如果f (z)=a?g(z)=a ，則稱(chēng)f和g分擔(dān)a在D上．最近，很多學(xué)者[2-5]研究了亞純函數(shù)分擔(dān)值的問(wèn)題.

f為C上的亞純函數(shù)，如果存在一正數(shù)M，且滿(mǎn)足

則f被稱(chēng)為C-正規(guī)函數(shù)[6]601.

f為Δ上的亞純函數(shù)，如果存在一正數(shù)M，且滿(mǎn)足

則f被稱(chēng)為Δ-正規(guī)函數(shù)[6]601.

Schwick[7]研究了正規(guī)族與分擔(dān)值的問(wèn)題，并證明了定理A.

定理A 設(shè)F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，并且a,b,c為3個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)每個(gè)f∈F，f和f＇分擔(dān)a,b,c在D上，則F在D上正規(guī).

定理A經(jīng)Pang等[8]改進(jìn)得到定理B.

定理B 設(shè)F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，并且設(shè)a,b為2個(gè)不同的復(fù)數(shù). 如果對(duì)每個(gè)f∈F，f和f＇分擔(dān)a,b在D上，則F在D上正規(guī)．

2000年，Pang[6]研究了正規(guī)族與正規(guī)函數(shù)的關(guān)系，并證明了定理C.

定理C 設(shè)F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，并且a,b,c為3個(gè)不同的復(fù)數(shù)，如果對(duì)每個(gè)f∈F，f和f＇分擔(dān)a,b,c在D上，則存在一正整數(shù)M=M(a,b,c)并且對(duì)任意f∈F，有（1-|z|2）f#(z )=

注記1 定理C表明如果亞純函數(shù)族F滿(mǎn)足定理C的條件，則f∈F在D上是一正規(guī)函數(shù).

顯然，定理C對(duì)于分擔(dān)3個(gè)不同的有限復(fù)數(shù)是成立的；那么，定理C是否對(duì)分擔(dān)2個(gè)不同的復(fù)數(shù)成立呢？最近，Lü等[9]證明了下面的結(jié)果.

定理D 設(shè)F為區(qū)域D上的一族亞純函數(shù)，設(shè)a和b為2個(gè)有限的復(fù)數(shù)且b≠a，若對(duì)于每一個(gè)f∈F 且z∈D，f=a ?f＇=a，并且f=b?f＇=b ，則F在D上正規(guī).

注記2 對(duì)于2個(gè)不同的有限復(fù)數(shù)，定理D減弱了全純函數(shù)分擔(dān)值的條件，改進(jìn)了定理B．

定理D能否像定理C那樣改進(jìn)是本文研究的問(wèn)題. 本文中，我們主要研究了分擔(dān)值的正規(guī)族與正規(guī)函數(shù)之間的關(guān)系，并得到了定理1.

定理1 設(shè)F為單位圓盤(pán)Δ上的一族全純函數(shù)，a和b為2個(gè)有限的復(fù)數(shù)且b≠a，如果對(duì)于每一個(gè)f∈F且z∈D，f=a ?f＇=a，且f=b?f＇=b，則存在一正整數(shù)M并且對(duì)任何f∈F，有

注記3 例1說(shuō)明對(duì)所有的f∈F，若滿(mǎn)足定理1的條件，則其結(jié)果是正確的，因此定理1的情形可能發(fā)生.

注記4 定理1表明若任何一族全純函數(shù)F滿(mǎn)足定理1的條件，則f∈F在區(qū)域D上是一正規(guī)函數(shù).

2 引理

引理1[10-11]設(shè)F為D上的一族亞純函數(shù)，F(xiàn)在單位圓盤(pán)Δ上且對(duì)每個(gè)f∈F，其零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為k．假定存在數(shù)A≤1，則f∈F且f=0時(shí)，有. 如果F在Δ上不正規(guī)，則當(dāng)0≤α≤k，存在：l）一數(shù)r∈(0,1)；2）一復(fù)數(shù)列一函數(shù)列fn∈F ；4）一列正整數(shù)ρn→0+；且有局部一致地收斂于一非常數(shù)的亞純函數(shù)g(ζ)在C上，并且g(ζ)的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是k，g#(ζ)≤g#(0)=kA+1. 特別地，g的級(jí)至多是2.

3 定理1的證明

假定f不是單位圓盤(pán)Δ上的正規(guī)函數(shù)，則存在zn,zn＜1和函數(shù)fn∈F ，并且函數(shù)

滿(mǎn)足

因此F={gn(z )}在Δ上不正規(guī). 由引理1，且α=k=1和A=α+1，則存在：1）一數(shù)r∈(0,1)；2）一復(fù)數(shù)列一函數(shù)列fn∈F ；4）一列正整數(shù)ρn→0+；有：

在C上依球徑一致收斂，并且

因此，由引理1，G(ξ)的級(jí)至多是1.

假定存在一點(diǎn)η0并且有G(η0)=0，則由Hurwitz定理，存在ηn,ηn→η0在n→∞時(shí)

于是，有

因此，G(ξ)的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是2. 類(lèi)似地，可證明G(ξ)-(b-a)的零點(diǎn)重?cái)?shù)至少是2. 下面將證明G(ξ)≠(b-a). 假定η0是G(ξ)-(b-a)的一個(gè)零點(diǎn)且重?cái)?shù)是m(m≥2)，則G(m)(η0)≠0；因此存在一正整數(shù)δ，且有

注意G(ξ)≡/b-a，由Rouche定理，則存在ηn,j(j=1,2,…,m)在上且有Gn(ηn,j)= b-a. 由式（1）并且注意f=b?f＇=b ，得到

因此每一個(gè)ηn,j是Gn(ξ)-(b-a)的單零點(diǎn)，即ηn,j≠ηn,k(1≤j≠k≤m).

另一方面，

由Nevanlinna第一和第二基本定理，有

因此T(r,G)≤S(r,G)，這意味著G是一常數(shù)，矛盾，定理1獲證.

注記5 從定理1，我們得到像定理D那樣關(guān)于分擔(dān)值的正規(guī)定則.

[1] HAYMAN W K. Meromorphic functions[M]. Oxford: Clarendon Press, 1964.

[2] LI Jiangtao, YI Hongxun. Normal families and uniqueness of entire functions and their derivatives[J]. Arch Math, 2006, 87: 52-59.

[3] LU Feng, XU Junfeng, YI Hongxun, Uniqueness theorem and normal family of entire functions and their derivatives[J]. Ann Polon Math, 2009,95: 67-75.

[4] MENG Chao. Uniqueness of meromorphic functions sharing one value[J]. Appl Math E-Notes, 2007, 7: 199-205.

[5] MENG Chao. Value sharing of entire functions[J]. Appl Math E-Notes, 2008, 8: 179-185.

[6] PANG Xuecheng, ZALCMAN L. Normality and shared values[J]. Ark Mat, 2000, 38: 171-182.

[7] PANG Xuecheng, ZALCMAN L. Normal families and shared values[J]. Bull London Math Soc, 2000, 32: 325-331.

[8] PANG Xuecheng. Normal family of meromorphic functions and normal function[J]. Chinese Ann Math Ser A, 2000, 21: 601-604.

[9] SCHWIEK W. Sharing values and normality[J]. Arch Math, 1992, 59: 50-54.

[10] XIAO Yonghou, LI Xiaoming. An entire function sharing one small entire function with its derivative[J]. Appl Math E-Notes, 2008, 8: 238-245.

[11] ZALCMAN L. Normal family’s new perspectives[J]. Bull Amer Math Soc, 1998, 35: 215-230.

A Note for the Normal Family and Normal Function

QI Jian-ming
(School of Mathematics, Shandong University, Jinan 250100, China)

LetFbe a family of holomorphic functions on the unit diskΔ, and letaandbbe two finite complex numbers such thatb≠a. If, for eachf∈Fandz∈Δ, f=a ?f＇=a , andf=b ?f＇=b , then there exists a positive numberMsuch that for any

meromorphic function; normal family; Nevanlinna theory

O174.52

A

1006-7302（2011）01-0006-04

2010-08-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10771121）；山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（Z2008A01）；高等學(xué)校博士點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)基金資助項(xiàng)目（200604220409）

戚建明（1981—），男，江蘇阜寧人，博士研究生，主要從事復(fù)分析理論與應(yīng)用研究.