張 順，楊洪勇

（魯東大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025）

所謂多智能體系統(tǒng)的一致性，是指隨著時(shí)間的演化，一個(gè)多主體系統(tǒng)中所有主體的狀態(tài)趨于一致[1]。對(duì)于多智能體系統(tǒng)的建模，Reynolds提出了Boid模型[2]，但該模型的一些基本規(guī)則要求限制較多。Vicsek等人從統(tǒng)計(jì)力學(xué)角度提出了一個(gè)經(jīng)典模型模擬粒子涌現(xiàn)的一致性現(xiàn)象。Jadbabaie等人最早對(duì)Vicsek提出的模型用矩陣方法進(jìn)行了理論分析[3]。Olfati-Saber等人比較詳細(xì)地提出了一致性問(wèn)題的理論框架，并給出了基本的一致性協(xié)議，得到了多智能體系統(tǒng)取得平均一致的條件，而且分析了網(wǎng)絡(luò)拓?fù)淝袚Q和系統(tǒng)存在時(shí)延的情況，給出了時(shí)延相關(guān)的一致性收斂條件[4]。Ren和Beard等人[5-7]同樣考慮了一致性的基本問(wèn)題，對(duì)一致性協(xié)議從連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間方面進(jìn)行了描述，并且給出了時(shí)變拓?fù)淦胶鉅顟B(tài)分析。

本文主要是采用LMI方法對(duì)具有時(shí)變結(jié)構(gòu)不確定性的二階時(shí)延多智能體系統(tǒng)的一致性進(jìn)行分析，為獲得相對(duì)較低的保守性，引入自由權(quán)矩陣的思想，得到了系統(tǒng)取得一致的判據(jù)。

1 問(wèn)題描述

1.1 圖論基礎(chǔ)

假設(shè)對(duì)于兩個(gè)節(jié)點(diǎn) i≠j，若存在下標(biāo)集合{k1，k2，…，kl}，且 aik1＞0，ak1k2＞0， …，ak1j＞0 則稱(chēng)節(jié)點(diǎn) i和節(jié)點(diǎn) j之間存在一條有向連通路徑。若對(duì)于圖G中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在至少一條有向連通路徑，則稱(chēng)圖G為強(qiáng)連通圖。

1.2 一致性協(xié)議

用 xi（t）表示智能體的位置，vi（t）表示智能體 i的速度，假定任意智能體的狀態(tài)方程為：

其中 k1＞0 為速度的控制增益，Δaij（t）為多智能體系統(tǒng)時(shí)變結(jié)構(gòu)不確定性，τ（t）為兩個(gè)智能體之間的有界時(shí)變時(shí)延且滿足：

其中時(shí)延上界h＞0。當(dāng)且僅當(dāng)任意智能體i，j狀態(tài)方程滿足條件（4）時(shí)，稱(chēng)控制協(xié)議（2）漸近可解二階智能體系統(tǒng)（1）的一致性問(wèn)題：

則有結(jié)構(gòu)不確定性的二階時(shí)延多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示成如下矩陣形式：

引理1[9]給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q=QT，H，E則有：

對(duì)所有滿足 FT（t）F（t）≤I的 F（t）都成立的充要條件是存在一正數(shù)ε＞0使得下式成立

2 主要結(jié)論

對(duì)于時(shí)延滿足式（3）有強(qiáng)連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的時(shí)變結(jié)構(gòu)二階時(shí)延多智能體系統(tǒng)：

則采用一致性協(xié)議（2）的多智能體系統(tǒng)（7）能夠漸近實(shí)現(xiàn)平均一致，其中

證明：分成兩步來(lái)證明，首先考慮無(wú)結(jié)構(gòu)不確定性的二階時(shí)延多智能體系統(tǒng)，即狀態(tài)方程和控制協(xié)議滿足

故如果 Ψ ＞0 且 [I]＜0，對(duì)于充分小 ε 的有V˙（t，ξ）≤-ε‖ξ（t）‖2。滿足時(shí)延約束（2）時(shí)，系統(tǒng)（16）是漸近穩(wěn)定的。而利用shur補(bǔ)定理，得到 [I]＜0 與

等價(jià)。

然后，在此基礎(chǔ)上考慮系統(tǒng)（7），用 B′=-（L+Lc（t））?U=-（B+DF（t）Eb），替代（22）式中的 B，其中 D，Eb為常數(shù)矩陣，F(xiàn)（t）為未知的時(shí)變矩陣，且滿足?t＞，F(xiàn)T（t）F（t）＜I對(duì)應(yīng)的式（22）變?yōu)?/p>

應(yīng)用引理1，式（24）成立的一個(gè)充要條件是存在一個(gè)正數(shù)使得下邊式（25）成立

應(yīng)用 shur補(bǔ)，式（25）等價(jià)于式（11）。

3 實(shí)例仿真

考慮如圖1所標(biāo)4個(gè)智能體組成的系統(tǒng)的強(qiáng)連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖，假定無(wú)結(jié)構(gòu)不確定性的鄰接矩陣取值為0，1。

圖1 四智能體不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式Fig.1 Topology map of 4 agents

對(duì)圖1中Ga所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，采用控制協(xié)議（2）的二階系統(tǒng)（1）仿真，令k1=2，取智能體間通信時(shí)延均為τ=0.3，初始狀態(tài)位置 x（0）=[50-40-20 30]T，速度 V（0）=[3 2 4 8]。 根據(jù)定理1，可以知道，該具有結(jié)構(gòu)不確定性的二階時(shí)延多智能體系統(tǒng)最終會(huì)趨于穩(wěn)定在圖1所示拓?fù)浠A(chǔ)上人為加入時(shí)變不確定性，拓?fù)錇镚a的四智能體系統(tǒng)的各個(gè)智能體的位置變量和速度變量的演化仿真過(guò)程如下：

圖2 多智能體系統(tǒng)一致性位置與速度與時(shí)間關(guān)系圖Fig.2 Simulation of states of 4 agents

可以看到，各個(gè)智能體隨著時(shí)間的變化位置（圖2（a））趨向于某一固定值，速度（圖2（b））收斂于 0。對(duì)于圖1中拓?fù)銰b和其他未描述的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得到類(lèi)似結(jié)果；另外，對(duì)于在時(shí)延上界范圍內(nèi)的不同時(shí)延，也得到了類(lèi)似的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文采用了時(shí)域分析方法研究了具有時(shí)變結(jié)構(gòu)不確定性的時(shí)延二階多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定性，主要用LMI方法進(jìn)行了分析，并在推導(dǎo)證明結(jié)論過(guò)程中引入了具有較低保守性的自由權(quán)矩陣思想，而且考慮了系統(tǒng)實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中可能存在的結(jié)構(gòu)不確定性的因素，得到了相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)。

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