徐 偉，徐建國，王 博

(1.鄭州大學 土木工程學院，河南 鄭州 450001;2.鄭州大學 水利與環(huán)境學院，河南 鄭州 450001)

多廂矩形渡槽邊墻、隔墻兼做縱梁，沿槽身縱向一定距離布有側肋、橫梁及拉桿，具有整體性好、剛度大、輸水流量大等優(yōu)點，是南水北調中線輸水渡槽主選結構形式之一.隨著高強混凝土及預應力技術的應用，槽身邊墻、隔墻及底板的高厚比、寬厚比變得越來越大，在多種荷載組合作用下，橫截面內存在較大的縱向壓力及彎矩，在設計、施工乃至運行過程中，應充分考慮槽身穩(wěn)定性問題［1］.

有限條法橫向位移采用插值多項式函數(shù)，縱向采用解析函數(shù)代替常規(guī)有限元法的離散化方法，降低了結構維數(shù)，單元劃分簡單，輸入數(shù)據(jù)少，適合于各種邊界條件和加載條件，精度在求解板、殼和橋梁結構的靜、動力計算及穩(wěn)定分析中已得到驗證［2－5］，不足之處在于對橫截面形狀不規(guī)則的復雜結構難以進行條元劃分和結構計算，即使結構橫截面形狀規(guī)則，若條元內有橫向加勁肋或條元間有橫向連接拉桿，常規(guī)有限條法也較難解決.文獻［6］采用梁殼復合有限條法計算渡槽自振特性，解決了條元內橫向加勁肋及條元間橫向連接拉桿的問題.針對渡槽槽身橫截面形狀規(guī)則的特點，本文基于最小勢能原理，探討應用梁殼復合有限條法分析多廂矩形渡槽槽身的彈性穩(wěn)定問題.相對靜力分析，彈性穩(wěn)定分析時結構的總勢能除彈性勢能及外力勢能外，還包括附加應變能［7］.

1 殼條的附加應變能

槽身彈性穩(wěn)定分析屬于小撓度問題，不考慮殼條中面位移引起的附件應變.彎曲引起的平面附加應變?yōu)椋?］:

式中:w為殼條的彎曲撓度.

式中:t為殼條的厚度;Nx，Ny為殼條中面內拉壓力;Nxy，Nyx為殼條中面內剪力.

彈性體內的應變能等于變形過程中外力所做的功，因此可通過計算中面內力在附加應變上所做的功來求得彎曲引起的附加應變能［8］:

引入形函數(shù)表示的殼條彎曲撓度［6］，則有:

式中:δs，m為殼條節(jié)線位移參數(shù)列陣［6］.兩端簡支時，矩陣 gs，m的具體形式如下:

式中:km=mπ/a;a，b為殼條長度和寬度;x，y為殼條局部坐標.由式(3)和(4)可得殼條的幾何剛度矩陣:

其基本單位子矩陣為:

S為彈性穩(wěn)定分析時殼條初始平面應力矩陣：

2 板內加勁肋的影響

槽身側肋、橫梁為邊墻、底板的板內加勁肋，彈性穩(wěn)定分析時，需考慮其對整體結構幾何剛度的影響.用殼條節(jié)線位移參數(shù)計算殼條內梁單元節(jié)點位移的公式為［6］:

式中:T為位移轉換矩陣，Tim，Tjm是與梁單元節(jié)點i，j對應的m項位移轉換矩陣的子矩陣.

若空間梁單元在其局部坐標系中的幾何剛度矩陣記為kbg，則用殼條節(jié)線位移參數(shù)表示的梁單元附加應變能為［9］:

可得殼條內梁單元在殼條節(jié)線位移廣義坐標系中的幾何剛度矩陣為:

3 梁殼復合有限條總勢能

由彈性力學能量原理可求得殼條彈性勢能Us，梁單元的彈性勢能Ub及殼條外力勢能W［6］，梁殼復合有限條總勢能等于彈性勢能、附加應變能及外力勢能之和:

式中:ks為殼條剛度矩陣;為梁單元在殼條節(jié)線位移參數(shù)廣義坐標中的剛度矩陣;qe為殼條分布荷載系數(shù);n為一個梁殼復合有限條中梁單元的個數(shù).

由式(13)得梁殼復合有限條的幾何剛度矩陣為:

4 橫向連接拉桿的處理

設編號為H的槽身殼條與拉桿相連，拉桿離散后與殼條相連的梁單元編號為E，節(jié)點為e和f，其中節(jié)點e為殼條節(jié)線上的一點.梁單元E節(jié)點位移與殼條H節(jié)線位移參數(shù)滿足關系［6］:

由上式可以看出，對于橫向連接拉桿梁單元E的附加應變能可作如下描述:附加應變能由3部分組成，即與之相連接的殼條H引起的附加變形勢能、梁單元節(jié)點f引起的附加變形勢能，以及殼條H與梁單元E相互作用引起的附加應變能.整體結構計算時，梁單元E的節(jié)點f的位移作為整體結構的單獨自由度來處理.計算所得的矩陣經坐標轉換后，將其中的各元素計入整體幾何剛度矩陣相應位置.

5 彈性穩(wěn)定分析的基本方程

把局部坐標系內的節(jié)線位移、剛度矩陣及荷載轉換到結構整體坐標系中去，然后利用編碼法［10］可建立多廂矩形槽槽身整體的位移列陣、剛度矩陣和荷載列陣.設組集后槽身整體位移列陣為δ，剛度矩陣為K，幾何剛度矩陣為KG，外荷載列陣為F.則整個結構的應變能等于各單元應變能之和:

由最小勢能原理知勢能的一階變分等于0，得彈性穩(wěn)定問題的基本方程:

彈性穩(wěn)定臨界狀態(tài)的特點是:即使外荷載F=0，結構仍能維持一定的變位，即δ≠0.如果縱向荷載按比例因子λ增加，則如上方程即轉換為彈性穩(wěn)定分析的廣義特征值問題［9］:

6 算例驗證

6.1 算 例 1

某矩形薄板，長(a)、寬(b)均為2 m，厚度t為0.2 m，對邊簡支，沿寬度均勻承受60 MPa的縱向壓力，彈性模量為3.25×107MPa，泊松比為0.167.為增強薄板的穩(wěn)定性，可在薄板縱向或橫向布置加勁肋.利用梁殼復合有限條法，沿寬度劃分為5個殼條，計算不同長寬比時薄板的穩(wěn)定系數(shù)，并與鐵摩辛柯解［11］相比較，計算結果列于表1.

表1 薄板屈曲系數(shù)Tab.1 Buckling coefficients of thin plate

可見，本文解與鐵摩辛柯解最大相對誤差為0.036，說明應用梁殼復合有限條法分析加肋薄板的彈性穩(wěn)定是適合的，精度滿足工程計算要求.隨著薄板長寬比的增加，穩(wěn)定系數(shù)逐漸降低，就單根加勁肋而言，縱向加肋效果優(yōu)于橫向加肋.

6.2 算 例 2

圖1 槽身橫截面Fig.1 Cross-section of aqueduct

南水北調中線雙洎河渡槽初步設計槽身為預應力兩廂矩形槽，單跨長30 m，設計水位為6.58 m，兩端簡支.每槽凈寬7.0 m;邊墻凈高 7.9 m，厚 0.6 m;隔墻厚 0.9 m;底板厚0.4 m，沿槽身縱向每隔一段距離布有側肋、橫梁及拉桿.分別利用梁殼復合有限條法和ANSYS程序進行如表2所示的多工況下槽身的彈性穩(wěn)定分析.應用ANSYS程序分析時，采用塊體單元劃分結構［12］，并進行了單元加密計算，以驗證有限單元法的有效性.利用梁殼復合有限條法計算時，按照等效荷載法計算節(jié)線處預應力效應［13］.2種方法計算得出的各工況下槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)見表2.

通過對計算數(shù)據(jù)分析可得如下結論:

(1)梁殼復合有限條法計算多廂矩形槽槽身彈性穩(wěn)定分析時具有與ANSYS程序分析相同的精度，可以作為有限元法的替代方法.

(2)理論上，計算級數(shù)m取值越大，計算精度越高.但實際計算中，隨著級數(shù)項的增加，計算量也成倍增加，因此級數(shù)m的取值應以滿足精度要求為準.算例中m取到25時精度已經足夠.

(3)正常使用時，風荷載及人群荷載對槽身內有橫向拉桿彈性穩(wěn)定影響不大.

(4)隨著槽內水位的增加，槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)降低，但屈曲模態(tài)沒有變化.圖2(a)繪出了工況5一階屈曲模態(tài)的水平面投影，工況2，3，4與之相同.

(5)圖2(b)繪出了工況1一階屈曲模態(tài)的水平面投影，對比圖2(a)和(b)知:預應力作用不僅降低了槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)，而且一階屈曲模態(tài)也發(fā)生了變化，說明在預應力逐步作用過程中，槽身結構體系受力狀況發(fā)生了轉變.

(6)各種計算工況下結構自身并無變化，只是荷載情況不同，表2計算結果的差異主要是由荷載矩陣計算形式不同引起的.

表2 計算工況及槽身彈性屈曲系數(shù)Tab.2 Working cases and buckling coefficients of aqueduct

圖2 槽身屈曲模態(tài)Fig.2 Buckling mode of aqueduct

7 結語

應用梁殼復合有限條法計算多廂矩形渡槽槽身彈性穩(wěn)定時，具有單元劃分簡單、數(shù)據(jù)輸入少、計算效率高的優(yōu)點，精度滿足工程要求.算例2所選渡槽為實際工程設計方案，在正常使用狀況下彈性穩(wěn)定系數(shù)較大，不會發(fā)生失穩(wěn)破壞.施工過程特別是槽身預應力張拉過程中的穩(wěn)定性問題及動力穩(wěn)定性問題應作進一步研究.

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