徐 偉，徐建國(guó)，王 博

(1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 鄭州 450001;2.鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，河南 鄭州 450001)

多廂矩形渡槽邊墻、隔墻兼做縱梁，沿槽身縱向一定距離布有側(cè)肋、橫梁及拉桿，具有整體性好、剛度大、輸水流量大等優(yōu)點(diǎn)，是南水北調(diào)中線輸水渡槽主選結(jié)構(gòu)形式之一.隨著高強(qiáng)混凝土及預(yù)應(yīng)力技術(shù)的應(yīng)用，槽身邊墻、隔墻及底板的高厚比、寬厚比變得越來(lái)越大，在多種荷載組合作用下，橫截面內(nèi)存在較大的縱向壓力及彎矩，在設(shè)計(jì)、施工乃至運(yùn)行過(guò)程中，應(yīng)充分考慮槽身穩(wěn)定性問(wèn)題［1］.

有限條法橫向位移采用插值多項(xiàng)式函數(shù)，縱向采用解析函數(shù)代替常規(guī)有限元法的離散化方法，降低了結(jié)構(gòu)維數(shù)，單元?jiǎng)澐趾?jiǎn)單，輸入數(shù)據(jù)少，適合于各種邊界條件和加載條件，精度在求解板、殼和橋梁結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力計(jì)算及穩(wěn)定分析中已得到驗(yàn)證［2－5］，不足之處在于對(duì)橫截面形狀不規(guī)則的復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以進(jìn)行條元?jiǎng)澐趾徒Y(jié)構(gòu)計(jì)算，即使結(jié)構(gòu)橫截面形狀規(guī)則，若條元內(nèi)有橫向加勁肋或條元間有橫向連接拉桿，常規(guī)有限條法也較難解決.文獻(xiàn)［6］采用梁殼復(fù)合有限條法計(jì)算渡槽自振特性，解決了條元內(nèi)橫向加勁肋及條元間橫向連接拉桿的問(wèn)題.針對(duì)渡槽槽身橫截面形狀規(guī)則的特點(diǎn)，本文基于最小勢(shì)能原理，探討應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法分析多廂矩形渡槽槽身的彈性穩(wěn)定問(wèn)題.相對(duì)靜力分析，彈性穩(wěn)定分析時(shí)結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能除彈性勢(shì)能及外力勢(shì)能外，還包括附加應(yīng)變能［7］.

1 殼條的附加應(yīng)變能

槽身彈性穩(wěn)定分析屬于小撓度問(wèn)題，不考慮殼條中面位移引起的附件應(yīng)變.彎曲引起的平面附加應(yīng)變?yōu)椋?］:

式中:w為殼條的彎曲撓度.

式中:t為殼條的厚度;Nx，Ny為殼條中面內(nèi)拉壓力;Nxy，Nyx為殼條中面內(nèi)剪力.

彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過(guò)程中外力所做的功，因此可通過(guò)計(jì)算中面內(nèi)力在附加應(yīng)變上所做的功來(lái)求得彎曲引起的附加應(yīng)變能［8］:

引入形函數(shù)表示的殼條彎曲撓度［6］，則有:

式中:δs，m為殼條節(jié)線位移參數(shù)列陣［6］.兩端簡(jiǎn)支時(shí)，矩陣 gs，m的具體形式如下:

式中:km=mπ/a;a，b為殼條長(zhǎng)度和寬度;x，y為殼條局部坐標(biāo).由式(3)和(4)可得殼條的幾何剛度矩陣:

其基本單位子矩陣為:

S為彈性穩(wěn)定分析時(shí)殼條初始平面應(yīng)力矩陣：

2 板內(nèi)加勁肋的影響

槽身側(cè)肋、橫梁為邊墻、底板的板內(nèi)加勁肋，彈性穩(wěn)定分析時(shí)，需考慮其對(duì)整體結(jié)構(gòu)幾何剛度的影響.用殼條節(jié)線位移參數(shù)計(jì)算殼條內(nèi)梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)位移的公式為［6］:

式中:T為位移轉(zhuǎn)換矩陣，Tim，Tjm是與梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)i，j對(duì)應(yīng)的m項(xiàng)位移轉(zhuǎn)換矩陣的子矩陣.

若空間梁?jiǎn)卧谄渚植孔鴺?biāo)系中的幾何剛度矩陣記為kbg，則用殼條節(jié)線位移參數(shù)表示的梁?jiǎn)卧郊討?yīng)變能為［9］:

可得殼條內(nèi)梁?jiǎn)卧跉l節(jié)線位移廣義坐標(biāo)系中的幾何剛度矩陣為:

3 梁殼復(fù)合有限條總勢(shì)能

由彈性力學(xué)能量原理可求得殼條彈性勢(shì)能Us，梁?jiǎn)卧膹椥詣?shì)能Ub及殼條外力勢(shì)能W［6］，梁殼復(fù)合有限條總勢(shì)能等于彈性勢(shì)能、附加應(yīng)變能及外力勢(shì)能之和:

式中:ks為殼條剛度矩陣;為梁?jiǎn)卧跉l節(jié)線位移參數(shù)廣義坐標(biāo)中的剛度矩陣;qe為殼條分布荷載系數(shù);n為一個(gè)梁殼復(fù)合有限條中梁?jiǎn)卧膫€(gè)數(shù).

由式(13)得梁殼復(fù)合有限條的幾何剛度矩陣為:

4 橫向連接拉桿的處理

設(shè)編號(hào)為H的槽身殼條與拉桿相連，拉桿離散后與殼條相連的梁?jiǎn)卧幪?hào)為E，節(jié)點(diǎn)為e和f，其中節(jié)點(diǎn)e為殼條節(jié)線上的一點(diǎn).梁?jiǎn)卧狤節(jié)點(diǎn)位移與殼條H節(jié)線位移參數(shù)滿足關(guān)系［6］:

由上式可以看出，對(duì)于橫向連接拉桿梁?jiǎn)卧狤的附加應(yīng)變能可作如下描述:附加應(yīng)變能由3部分組成，即與之相連接的殼條H引起的附加變形勢(shì)能、梁?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)f引起的附加變形勢(shì)能，以及殼條H與梁?jiǎn)卧狤相互作用引起的附加應(yīng)變能.整體結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，梁?jiǎn)卧狤的節(jié)點(diǎn)f的位移作為整體結(jié)構(gòu)的單獨(dú)自由度來(lái)處理.計(jì)算所得的矩陣經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，將其中的各元素計(jì)入整體幾何剛度矩陣相應(yīng)位置.

5 彈性穩(wěn)定分析的基本方程

把局部坐標(biāo)系內(nèi)的節(jié)線位移、剛度矩陣及荷載轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系中去，然后利用編碼法［10］可建立多廂矩形槽槽身整體的位移列陣、剛度矩陣和荷載列陣.設(shè)組集后槽身整體位移列陣為δ，剛度矩陣為K，幾何剛度矩陣為KG，外荷載列陣為F.則整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于各單元應(yīng)變能之和:

由最小勢(shì)能原理知?jiǎng)菽艿囊浑A變分等于0，得彈性穩(wěn)定問(wèn)題的基本方程:

彈性穩(wěn)定臨界狀態(tài)的特點(diǎn)是:即使外荷載F=0，結(jié)構(gòu)仍能維持一定的變位，即δ≠0.如果縱向荷載按比例因子λ增加，則如上方程即轉(zhuǎn)換為彈性穩(wěn)定分析的廣義特征值問(wèn)題［9］:

6 算例驗(yàn)證

6.1 算 例 1

某矩形薄板，長(zhǎng)(a)、寬(b)均為2 m，厚度t為0.2 m，對(duì)邊簡(jiǎn)支，沿寬度均勻承受60 MPa的縱向壓力，彈性模量為3.25×107MPa，泊松比為0.167.為增強(qiáng)薄板的穩(wěn)定性，可在薄板縱向或橫向布置加勁肋.利用梁殼復(fù)合有限條法，沿寬度劃分為5個(gè)殼條，計(jì)算不同長(zhǎng)寬比時(shí)薄板的穩(wěn)定系數(shù)，并與鐵摩辛柯解［11］相比較，計(jì)算結(jié)果列于表1.

表1 薄板屈曲系數(shù)Tab.1 Buckling coefficients of thin plate

可見(jiàn)，本文解與鐵摩辛柯解最大相對(duì)誤差為0.036，說(shuō)明應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法分析加肋薄板的彈性穩(wěn)定是適合的，精度滿足工程計(jì)算要求.隨著薄板長(zhǎng)寬比的增加，穩(wěn)定系數(shù)逐漸降低，就單根加勁肋而言，縱向加肋效果優(yōu)于橫向加肋.

6.2 算 例 2

圖1 槽身橫截面Fig.1 Cross-section of aqueduct

南水北調(diào)中線雙洎河渡槽初步設(shè)計(jì)槽身為預(yù)應(yīng)力兩廂矩形槽，單跨長(zhǎng)30 m，設(shè)計(jì)水位為6.58 m，兩端簡(jiǎn)支.每槽凈寬7.0 m;邊墻凈高 7.9 m，厚 0.6 m;隔墻厚 0.9 m;底板厚0.4 m，沿槽身縱向每隔一段距離布有側(cè)肋、橫梁及拉桿.分別利用梁殼復(fù)合有限條法和ANSYS程序進(jìn)行如表2所示的多工況下槽身的彈性穩(wěn)定分析.應(yīng)用ANSYS程序分析時(shí)，采用塊體單元?jiǎng)澐纸Y(jié)構(gòu)［12］，并進(jìn)行了單元加密計(jì)算，以驗(yàn)證有限單元法的有效性.利用梁殼復(fù)合有限條法計(jì)算時(shí)，按照等效荷載法計(jì)算節(jié)線處預(yù)應(yīng)力效應(yīng)［13］.2種方法計(jì)算得出的各工況下槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)見(jiàn)表2.

通過(guò)對(duì)計(jì)算數(shù)據(jù)分析可得如下結(jié)論:

(1)梁殼復(fù)合有限條法計(jì)算多廂矩形槽槽身彈性穩(wěn)定分析時(shí)具有與ANSYS程序分析相同的精度，可以作為有限元法的替代方法.

(2)理論上，計(jì)算級(jí)數(shù)m取值越大，計(jì)算精度越高.但實(shí)際計(jì)算中，隨著級(jí)數(shù)項(xiàng)的增加，計(jì)算量也成倍增加，因此級(jí)數(shù)m的取值應(yīng)以滿足精度要求為準(zhǔn).算例中m取到25時(shí)精度已經(jīng)足夠.

(3)正常使用時(shí)，風(fēng)荷載及人群荷載對(duì)槽身內(nèi)有橫向拉桿彈性穩(wěn)定影響不大.

(4)隨著槽內(nèi)水位的增加，槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)降低，但屈曲模態(tài)沒(méi)有變化.圖2(a)繪出了工況5一階屈曲模態(tài)的水平面投影，工況2，3，4與之相同.

(5)圖2(b)繪出了工況1一階屈曲模態(tài)的水平面投影，對(duì)比圖2(a)和(b)知:預(yù)應(yīng)力作用不僅降低了槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)，而且一階屈曲模態(tài)也發(fā)生了變化，說(shuō)明在預(yù)應(yīng)力逐步作用過(guò)程中，槽身結(jié)構(gòu)體系受力狀況發(fā)生了轉(zhuǎn)變.

(6)各種計(jì)算工況下結(jié)構(gòu)自身并無(wú)變化，只是荷載情況不同，表2計(jì)算結(jié)果的差異主要是由荷載矩陣計(jì)算形式不同引起的.

表2 計(jì)算工況及槽身彈性屈曲系數(shù)Tab.2 Working cases and buckling coefficients of aqueduct

圖2 槽身屈曲模態(tài)Fig.2 Buckling mode of aqueduct

7 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法計(jì)算多廂矩形渡槽槽身彈性穩(wěn)定時(shí)，具有單元?jiǎng)澐趾?jiǎn)單、數(shù)據(jù)輸入少、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，精度滿足工程要求.算例2所選渡槽為實(shí)際工程設(shè)計(jì)方案，在正常使用狀況下彈性穩(wěn)定系數(shù)較大，不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)破壞.施工過(guò)程特別是槽身預(yù)應(yīng)力張拉過(guò)程中的穩(wěn)定性問(wèn)題及動(dòng)力穩(wěn)定性問(wèn)題應(yīng)作進(jìn)一步研究.

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