陳宗榮

（西昌學院 汽車與電子工程學院，四川 西昌615013）

1966年，A.T.Chatas提出當油層只打開很小的層段開采時，油藏中具有球向流動特性，并建立 了 球 向 流 動 油 藏 模 型［1］；1980 年，W.E.Brigham等分析了考慮井筒儲集的球向流動油藏［2］；1985年，J.A.Joseph和 L.F.Koederitz又進一步研究了考慮井筒儲集和表皮效應球向流動問題。現(xiàn)實問題中有許多情況采用球面向心流（簡稱球向流）模型進行試井分析更合適，例如存在底水或者塊狀厚油層試井、電纜式地層試井、垂向干擾試井等情形［3］。

2001年以來，國內(nèi)一些學者興起了油藏中儲層及井底壓力分布式的相似結(jié)構(gòu)［4－12］研究，獲得了大量卓有成效的結(jié)果，其主要結(jié)論是：某些滲流模型解的表達式具有相似的結(jié)構(gòu)——可以表示為連分式或連分式的乘積形式，且結(jié)構(gòu)形式只與某一邊值條件有關(guān)，而其所謂的相似核函數(shù)與定解方程和另外的邊值條件有關(guān)。但以前有關(guān)相似結(jié)構(gòu)的研究并未涉及到球向滲流問題。

1 球面徑向滲流的數(shù)學模型

考慮具有井筒儲集和表皮效應下的變流率的球面徑向心滲流網(wǎng)絡(luò)，假設(shè)：儲層水平、孔隙介質(zhì)均一、各向同性、產(chǎn)層厚度均勻、單相的流體球向流入井內(nèi)；流體微可壓縮（即壓縮系數(shù)是常數(shù)），流體的黏度不改變且服從等溫達西定律；忽略重力、毛管力的影響；開井前，油藏中各處壓力均等于原始地層壓力p0，開井后以變產(chǎn)量q（t）生產(chǎn)。這樣，就可建立如下的分形介質(zhì)球向滲流的數(shù)學模型。

滲流基本方程

初始條件

內(nèi)邊界條件

外邊界條件為

這里：pD，pwD，tD，rD，RD，qD，CD分別為無量綱量儲層壓力、井底壓力、時間、球向距離、外邊界半徑、流率、井筒儲集系數(shù)；S為表皮因子（或稱污染系數(shù)），其定義見文獻［3，13，14］。

2 模型的求解及其解的相似結(jié)構(gòu)

先作變換

則定解問題（1）～（4）式可轉(zhuǎn)化為如下簡單的形式

再對定解問題（6）作關(guān)于無量綱時間tD的Laplace變換（z為Laplace空間變量）

則上述定解問題（6）轉(zhuǎn)化成如下的常微分方程邊值問題

易知，（11）式中的定解方程的通解為

其中在求特解時，任意常數(shù)A和B由（11）式中的定解條件確定。

利用 （11）式中內(nèi)邊界條件，得

得

若定義相似核函數(shù)Ψ（rD，z）如下

聯(lián)立求解線性方程組（13）、（14），確定待定常數(shù)A和B后，將其代入（12）式中得到再由（5）式，即得具有相似結(jié)構(gòu)的儲層內(nèi)無量綱壓力的Laplace空間解。對于3種外邊界（無窮大、定壓、封閉）條件，均具有統(tǒng)一的表迖式

3 結(jié)論與認識

b.一般情況下，可采用Stehfest數(shù)值反演公式［15］，求得所給統(tǒng)一形式的表迖式（即解的相似結(jié)構(gòu)式（16）式和（17）式）相對應的不同情況下的實空間數(shù)值解，完全滿足試井分析中的應用需要。

c.由（15）式知，相似核函數(shù)Ψ（rD，z）只與定解方程的2個線性無關(guān)的解（或及外邊界條件有關(guān)，而與內(nèi)邊界條件無關(guān)；而解的相似結(jié)構(gòu)式，即（16）式和（17）式，只與內(nèi)邊界條件有關(guān)，而與外邊界條件無關(guān)。這既使得內(nèi)、外邊界條件對儲層中的壓力與井底壓力的影響變得十分清晰明了，無疑又給編制試井分析軟件帶來了極大的方便，可以簡化和優(yōu)化軟件結(jié)構(gòu)。

d.由相似結(jié)構(gòu)式（16）和（17），很容易看出和分析井筒儲存與表皮效應對儲層壓力和井底壓力的影響。

［1］Chatas A T.Unsteady spherical flow in petroleum reservoir［J］.SPE Journal，1966，6（2）：102－114.

［2］Brigham W E，Peden J M，Ng K F，et al.The analysis of spherical flow with wellbore storage［J］.SPE Journal，1980，20（5）：21－29.

［3］Joseph J A，Koederitz L F.Unsteady－state spherical flow with storage and skin［J］.SPE Journal，1985，25（6）：804－822.

［4］李順初，劉德華，張普齋.均質(zhì)油藏在不同邊界條件下的壓力分布［J］.江漢石油學院學報，2001，23（2）：16－17.

［5］李順初，李小平，黃炳光，等.均質(zhì)儲層壓力動態(tài)解的綜合研究［J］.鉆采工藝，2002，25（1）：50－51.

［6］蒲俊，李順初，伊良忠.外邊界定壓油藏中控制井底壓力狀態(tài)下的產(chǎn)率試井分析［J］.勘探地球物理進展，2004，27（6）：448－450.

［7］李順初，鄭鵬社，張宇飛.均質(zhì)油氣藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.純粹數(shù)學與應用數(shù)學，2006，22（4）：459－463.

［8］蒲俊，李順初，伊良忠.外邊界封閉儲層中控制井底壓力狀態(tài)下的產(chǎn)率試井分析［C］／／數(shù)學及其應用.北京：原子能出版社，2007：545－548.

［9］李順初，鄭鵬社，張宇飛.復合油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.數(shù)學的實踐與認識，2008，38（3）：23－28.

［10］李順初，鄭鵬社，張宇飛.合采油藏試井分析解的相似結(jié)構(gòu)［J］.高校應用數(shù)學學報，2009，24（2）：234－238.

［11］李偉，李順初，蘇見朋.裂縫－洞－井連通油藏模型及其Laplace空間解［J］.鉆采工藝，2009，32（5）：47－49.

［12］李順初.微分方程解的相似結(jié)構(gòu)的初探與展望［J］.西華大學學報：自然科學版，2010，29（2）：223－226.

［13］孔祥言.高等滲流力學［M］.合肥：中國科技大學出版社，1995.

［14］同登科，陳欽雷，廖新維，等.非線性滲流力學［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2003.

［15］Horald Stehfest.Numerical inversion of Laplace transforms ［J］.Communications of the ACM，1970，13（1）：47－49.