賈瑞芝，任麗莎，劉瑞華

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

一般情況下，人們觀測到的圖像都帶有噪聲。噪聲會導(dǎo)致圖像的質(zhì)量下降，影響圖像的視覺效果，因此去除噪聲是圖像處理的重要研究內(nèi)容之一［1－2］。然而在圖像去噪過程中，圖像的重要特征(比如紋理)會被毀壞。常見的噪聲有高斯噪聲、椒鹽噪聲和Poisson噪聲等。

近年來，變分去噪的方法［3－10］被廣泛應(yīng)用。其中最經(jīng)典的模型是ROF模型［3］，它是由Rudin等于1992年提出的，即:給定一幅含有高斯噪聲的圖像f定義在Ω?R2，要求從f中修復(fù)出真實(shí)圖像u。他們提出了下面的極小化問題:

這里:λ是一個(gè)正參數(shù);第1項(xiàng)是正則項(xiàng)，起光滑噪聲的作用;第2項(xiàng)是保真項(xiàng)，是為了保證去噪后的圖像和原圖像偏差不會太大。上面模型在去除噪聲的同時(shí)保持了圖像的邊界。然而，當(dāng)λ很小時(shí)，正則項(xiàng)會過度光滑圖像，使得圖像的部分紋理細(xì)節(jié)被毀壞，并且，在ROF模型中，由于λ是全局參數(shù)，不是局部參數(shù)，同樣會導(dǎo)致部分紋理被毀壞。

對于其他含有全局參數(shù)的變分模型也存在相同的問題，即在圖像去噪過程中，這些模型在光滑噪聲的同時(shí)去掉了部分紋理，這樣修復(fù)出來的圖像和真實(shí)圖像就有偏差。

黎芳等［4］通過引入一個(gè)紋理檢測函數(shù)改進(jìn)了ROF模型的保真項(xiàng)，克服了以上變分模型的缺點(diǎn)。本文的模型就是基于黎芳等的思想，重新構(gòu)造ROF模型的保真項(xiàng)，以實(shí)現(xiàn)圖像去噪和保持紋理的目的。

1 相關(guān)工作

黎芳等利用紋理檢測函數(shù)改進(jìn)了ROF模型的保真項(xiàng)，提出了下面的能量泛函極小化問題［4］:

其中

需先經(jīng)TV光滑去噪，即

從g函數(shù)的構(gòu)造可以看出:在光滑部分，6個(gè)通道都趨于0，使得g趨于1，這時(shí)模型的正則項(xiàng)起主要作用，故光滑了圖像的噪聲;在紋理部分，由于至少有一個(gè)通道趨于無窮，使得g趨于0，這時(shí)模型的保真項(xiàng)起主要作用，而且這個(gè)模型中的λ是個(gè)相對比較大的參數(shù)，故可以保持圖像的紋理。在上面這個(gè)模型中，λ(1－g)是一個(gè)局部參數(shù)，故克服了階梯效應(yīng)。

Chao等［5］構(gòu)造了一個(gè)新的紋理檢測函數(shù)，通過異性擴(kuò)散的方法實(shí)現(xiàn)了圖像的去噪。這個(gè)紋理檢測函數(shù)是由局部梯度和灰度級方差構(gòu)成。梯度是檢驗(yàn)圖像紋理的一個(gè)重要指標(biāo)，梯度的模越大，紋理越明顯，然而，在梯度的模小的地方也可能存在小的紋理細(xì)節(jié)。為了能檢驗(yàn)出更多的紋理，Chao等人引入灰度級方差構(gòu)造了下面這個(gè)紋理檢測函數(shù):

其中，灰度級方差是由一個(gè)3×3的鄰域窗口計(jì)算出的:

灰度級方差的優(yōu)點(diǎn)是:即使在梯度相差不大的地方，它的灰度級方差也會相差很大，因此可以檢測出小的紋理細(xì)節(jié)。

另外，▽ui，i=1，2，3，4 是這個(gè)窗口的上、下、左和右4個(gè)方向的梯度。

本文將利用這個(gè)紋理檢測函數(shù)代替改進(jìn)的ROF模型中的紋理檢測函數(shù)來實(shí)現(xiàn)圖像去噪和保持紋理的目的。

2 模型的提出

由本文分析可知，利用紋理檢測函數(shù)g'可重新構(gòu)造ROF模型的保真項(xiàng)，另外又增加了一項(xiàng)保真項(xiàng)，得到如下的模型:

其中:λ和θ都是正參數(shù);f是觀測到的含有噪聲的圖像;u是去噪后的圖像;v是噪聲圖像。在卡通部分，g→1，正則項(xiàng)和第2個(gè)保真項(xiàng)起主要作用，正則項(xiàng)可以去除噪聲，第2個(gè)保真項(xiàng)可以保證修復(fù)出的兩幅圖像之和不會與原圖像偏差太大。在紋理部分，g→0，由于λ比較大，所以第1個(gè)保真項(xiàng)起主要作用，這時(shí)紋理就被保持在去噪后的圖像u中。因此本文模型不僅可以去除噪聲，而且可以有效的保持部分紋理信息。

u的最小值和v的最小值可通過求解下面的演化方程

的穩(wěn)態(tài)解得到。

3 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

在下面的實(shí)驗(yàn)中，空間、時(shí)間步長均取為1，迭代次數(shù)為30次，在本模型中紋理檢測函數(shù)g'中的參數(shù)為:k=10;λ =0.1，θ=0.01。

針對在原始圖像中加入方差為σ=0.03高斯噪聲的圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，分別利用ROF模型、改進(jìn)的ROF模型與本模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較。

圖1和圖2為3種模型處理的結(jié)果。由圖1(d)和圖2(d)可以看到ROF模型在去噪的過程中大量的紋理信息丟失。從圖1(e)和圖2(e)可以看到改進(jìn)的ROF模型去噪效果得到了很大的改進(jìn)，保持了圖像原有的大量信息。但與圖1(f)和圖2(f)比較，可以看出本模型去噪后的圖像保持了原圖像更多的信息，如圖1(f)與圖1(e)比較，Barbara頭巾上的紋理和她背后椅子上的紋理更清晰。為了進(jìn)一步說明本模型的有效性，筆者使用信噪比對3個(gè)模型進(jìn)行比較，信噪比越大說明效果越好。從信噪比的比較也可以看出本模型的去噪效果較好。

圖1 Barbara圖去噪的結(jié)果與比較

圖2 Lena圖去噪的結(jié)果與比較

4 結(jié)束語

本文提出了一個(gè)新的圖像去噪模型，通過與ROF模型和改進(jìn)的ROF模型比較，可以看出本文提出的模型在去除噪聲的同時(shí)，能很好地保持圖像的部分紋理。但是，還有部分紋理細(xì)節(jié)在圖像去噪過程中丟失，這就要求在以后的工作中進(jìn)一步改進(jìn)模型以實(shí)現(xiàn)在去噪過程中保持圖像紋理的目的。

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