1 前言

油膜軸承通常用于重型回轉(zhuǎn)機(jī)械,在這些軸承中,油膜用于減震,它可有助于衰減轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。為了振動(dòng)小使軸頸在穩(wěn)態(tài)平衡位置通常要求軸承剛度和阻尼系數(shù)線(xiàn)性化。這些系數(shù)給出縱向和橫向組合剛度,一般是軸頸的位移和角速度的非線(xiàn)性函數(shù)。該軸頸達(dá)到一平衡位置和以由角速度確定的位置以恒角速度旋轉(zhuǎn)。一些研究集中于求出軸承剛度和阻尼系數(shù)。這方面首創(chuàng)屬于Lund和Thomsen[1]。

大多數(shù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)分析,是不考慮起動(dòng)時(shí)與角加速度有關(guān),非線(xiàn)性期間以常角速度為前提。有關(guān)加速通常臨界速度研究的首創(chuàng)度屬于 Lewis[2],Baker[3]和M aurer及Weibet[4]。他們從分析觀點(diǎn)來(lái)觀察問(wèn)題,采用力與速度有關(guān)。Gash等[5]和Hassenpflug等[6]研究了加速度對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)子臨界速度的影響。在這些研究中,假定起動(dòng)時(shí)恒加速度。它表示在角速度大于轉(zhuǎn)子臨界速度時(shí)發(fā)生的位置振幅絕對(duì)值最大。對(duì)于超臨界情況,同時(shí)還觀察到脈沖頻率,Lee等[8]提出一個(gè)有限元方程式可用于一非對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)加速或減速時(shí)瞬態(tài)響應(yīng)的分析。Adile等[9]研究了一剛性轉(zhuǎn)子非線(xiàn)性動(dòng)特性。他們要求以大的工作靜態(tài)偏心率強(qiáng)化轉(zhuǎn)子的非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)特性。Ishida和Inoue[10]用理論和實(shí)驗(yàn)研究了Jeffcott轉(zhuǎn)子當(dāng)加速度以非線(xiàn)性彈性特性通過(guò)大多臨界速度時(shí)的非固定振動(dòng)。Diken[11]研究了Jeff-cott轉(zhuǎn)子的非性線(xiàn)振動(dòng)和次諧波渦旋頻率。結(jié)果表示存在次諧波瞬時(shí)振動(dòng),并且由于Jeffcott轉(zhuǎn)子的非線(xiàn)性造成的。Gu等[12]擴(kuò)展轉(zhuǎn)換矩陣技術(shù),用轉(zhuǎn)換矩陣Newark公式進(jìn)行-大型復(fù)雜的非線(xiàn)性轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)分析。該新公式提供有效的瞬態(tài)響應(yīng)計(jì)算。Guo和Kirk[13,14]研究了采用考慮外部柔性支承的轉(zhuǎn)子液壓動(dòng)力軸承系統(tǒng)的不穩(wěn)定邊界,它表明了外部的阻尼改進(jìn)了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性,反之,剛度使穩(wěn)態(tài)區(qū)變窄。Shi等[15]提出了-合適的時(shí)間-頻率分解技術(shù)描述回轉(zhuǎn)機(jī)械的瞬時(shí)振動(dòng)。該結(jié)果提供了可在特定的臨界速度以及加速度率下,精確的和有效的確保機(jī)械安全通過(guò)臨界速度的方法。Diken和Alnefaie[16]研究了馬達(dá)控制參數(shù)對(duì)Jeffcott轉(zhuǎn)子渦旋半徑和渦旋速度的性質(zhì)有很大的影響。Alnefaie[17]分析了一不平衡質(zhì)量對(duì)在由油膜軸承支承的Jeffcott轉(zhuǎn)子的渦旋的影響。

本文推薦-轉(zhuǎn)子模型,它由相對(duì)薄的彈性軸支承在油膜軸承上組成。一般忽略彈性軸的質(zhì)量。但在本研究中,考慮的剛度和阻尼計(jì)入軸的質(zhì)量,對(duì)不同的軸質(zhì)量與盤(pán)質(zhì)量比分析了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的固有值。

2 方程式

圖1示-由油膜軸承支承的轉(zhuǎn)子。圖2示該油膜軸承的橫截面圖,用它模擬縱向和橫向組合剛度和阻尼。

圖1 由油膜軸承支承的轉(zhuǎn)子Fig.1 A rafor supported by fluid film bearings

圖2示Oj是軸頸的中心,Ob是軸承的中心,Ej是軸頸的偏心距,Kxx,Kyy,Cxx,和Cyy為縱向剛度和阻尼系數(shù),而Kxy,Kyx,Cxy和Cyx分別為徑向軸承在x和y方向的橫向組合剛度和阻尼系數(shù)。這些系數(shù)是有關(guān)軸頸中心平衡位置求得的,這些無(wú)因次系數(shù)由文獻(xiàn)[1,18-20]給定為

圖2 具有縱向和橫向組合剛度和阻尼系數(shù)的油膜軸承模型Fig.2 Fluid film bearing model with direct and crosscoupling stiffness and damping coefficients

其中ε是軸頸的偏心率

式中c是軸承徑向間隙,fε和fβ是沿偏心距ej的法向反作用力,分別為

為求ε解下式

這里無(wú)因次軸承負(fù)荷Sommerfeld數(shù)S為

式中μ是粘度系數(shù),ω是轉(zhuǎn)子角速度,R是軸頸半徑,D是軸頸直徑,L是軸頸長(zhǎng)度,W是軸承負(fù)荷。當(dāng)轉(zhuǎn)子速度改變時(shí),Sommerfeld數(shù)S也改變;解式(12)求出 ε,再對(duì)各個(gè)速度在式(1)至(8)內(nèi)求得軸承系數(shù),這些系數(shù)為無(wú)因次系數(shù)。求出有因次系數(shù)為

圖3示轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型的盤(pán)的橫截面圖。圖示OXY固定參考構(gòu)架,O表示軸頸中心的原始位置,它還與軸頸中心相對(duì)于軸承中心Ob的平衡位置一致。Oj是渦旋運(yùn)動(dòng)時(shí)軸頸中心,rj是軸頸中心相對(duì)于O的位移,Od是盤(pán)的中心,rd是盤(pán)中心相對(duì)于O的位移。e是總偏心距,Om是質(zhì)量中心,md是盤(pán)質(zhì)量,ms是軸質(zhì)量。φ(t)是轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)角,θ(t)是渦旋角。研究起動(dòng)動(dòng)力學(xué),假定轉(zhuǎn)子的角速度不是常數(shù),對(duì)于轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程式的條件,求得以下運(yùn)動(dòng)方程式

進(jìn)行差分并重新整理后,得到以下方程式

其中Ks是彈性軸剛度,Cs是彈性軸的粘度阻尼系數(shù)。

無(wú)因次方程式的矩陣表達(dá)式為

該質(zhì)量矩陣為

該阻尼矩陣為

該剛度矩陣為

該力矢量為

圖3 支承于油膜軸承的轉(zhuǎn)子的橫截面圖Fig.3 Cross-Sectional View of a rotor supported by fluid film bearing

注意這些方程式,無(wú)因次時(shí)間是T=ωnt,相對(duì)于時(shí)間 T求導(dǎo),其他確定為

3 電機(jī)速度函數(shù)

假定轉(zhuǎn)子由電機(jī)加速。一般電機(jī)速度控制傳遞函數(shù)是兩階的,對(duì)于轉(zhuǎn)于起動(dòng)采用的速度函數(shù)和相對(duì)于τ求導(dǎo)如下[16,21]

相角φ為

式中ζc是速度的頻率,ωc是速度控制系統(tǒng)的頻率,ωm是電機(jī)最大速度或轉(zhuǎn)子角速度。電機(jī)速度函數(shù)的無(wú)因次參數(shù)是電機(jī)最大速度或轉(zhuǎn)子角速度與臨界速度比 ωm/ωn,控制系統(tǒng)頻率與速度控制系統(tǒng)阻尼比 ζc。

4 結(jié)果和討論

按表1[19]給定參數(shù)解式(18),用可變階躍排列Runge-Kutta方法解這些方程式。圖4示轉(zhuǎn)子速度和加速度速度控制系統(tǒng)頻率比和阻尼比分別假定為 ωc/ωn=0.02和ζ=0.7。圖5和圖6示縱向和橫向組合剛度和徑向軸承起動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的阻尼系數(shù)。

表1 轉(zhuǎn)子和軸承參數(shù)Table 1 Parameters of the rotor and bearing

圖4 起動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)子的速度和加速度Fig.4 Rotor speed and acceleration during strat-up run

圖5 軸頸軸承起動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的剛度系數(shù)Fig.5 Stiffness coefficients of the journal bearing during start-up run

圖6 徑向軸承起動(dòng)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)阻尼系數(shù)Fig.6 Damping coefficients of the journal bearing during strat-up run

研究系統(tǒng)的固有值,由式[18]構(gòu)成以下系統(tǒng)矩陣

該系統(tǒng)有8個(gè)固有值和根,它們是

圖7 復(fù)數(shù)根的軌跡Fig.7 Locus of the complex roots

前三組根是復(fù)數(shù)而其余兩組是實(shí)數(shù)。圖7示這些復(fù)數(shù)根的軌跡。對(duì)于該運(yùn)轉(zhuǎn)速比 ωm/ωn的范圍是0.5＜ωm/ωn＜6.0,ωm是轉(zhuǎn)子速度,ωn是轉(zhuǎn)子的臨界速度。質(zhì)量比取為β=ms/md=0,0.5,2和4。圖8示 λ1,2和 λ5,6的實(shí)數(shù)部分。 由線(xiàn)圖可見(jiàn),根組 λ1,2對(duì)于速比范圍為 1.75＜ωm/ωn＜2.82,β=0.0有正實(shí)數(shù)部分,它意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定。該不穩(wěn)定區(qū)間是1.91＜ωm/ωn＜2.24對(duì)于β=2.0,而對(duì)β≥4.0,則不穩(wěn)定區(qū)間消失。復(fù)數(shù)根組λ3,4對(duì)任何系統(tǒng)參數(shù)均不敏感,復(fù)數(shù)根組λ5,6對(duì)質(zhì)量比β敏感。

圖8 λ1,2和λ5,6的實(shí)數(shù)部分Fig.8 Real part ofλ1,2andλ5,6

圖9 實(shí)數(shù)根λ7Fig.9 The real root λ7

圖10 實(shí)數(shù)根λ8Fig.10 The real rootλ8

根組 λ5,6對(duì)速比為 ωm/ωn＞4.1和對(duì)于 β=4.0,它意味著系統(tǒng)不穩(wěn)定,對(duì)于 ωm/ωn＞4.60和β=2.0,根也有正實(shí)數(shù)部分。圖9和圖10分別示實(shí)根λ7和λ8,對(duì)于全部速比范圍,它們都是實(shí)數(shù)。

圖11示不同方向的根λ1,2和λ5,6,如式(31)確定,按頻率 ωk和阻尼率ζk寫(xiě)出復(fù)數(shù)根。如果復(fù)數(shù)根的實(shí)數(shù)部分是負(fù),則ζk是正,而當(dāng)實(shí)數(shù)部分成為正時(shí),ζk是負(fù)。如圖 11所示,屬于λ1,2復(fù)數(shù)根組,對(duì)于速比范圍1.82＜ωm/ωn＜2.53和對(duì)于 β=0.5時(shí)ζ1為負(fù)而系統(tǒng)不穩(wěn)定。此外對(duì)于速比范圍1.91＜ωm/ωn＜2.24和對(duì)于 β=2.0,ζ1為負(fù)。屬于復(fù)數(shù)根組 λ5,6對(duì)于速比范圍 ωm/ωn＞4.11和 β=4.0,ζ3為負(fù),而對(duì)于速比 ωm/ωn＞4.60和對(duì)于 β=2.0,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

圖11 軸頸渦旋運(yùn)動(dòng)的阻尼ζ1和ζ3Fig.11 Journal whirl motion damping ζ1and ζ3

圖12 頻率ω1/ωn和ω3/ωnFig.12 Freguencies ω1/ ωnand ω3/ωn

圖12示頻率比 ω1/ωn和ω3/ωn。對(duì)于低轉(zhuǎn)子速度的 ωm/ωn,ω1/ωn是轉(zhuǎn)子速度的一半,相應(yīng)于油渦旋它們是 ω1/ωn=0.5(ωm/ωn)。當(dāng)速比 ωm/ωn=2后,ω1/ωn漸近,(ω1/ωn=1),它意味著盤(pán)中心和軸頸中心以ωn頻率相應(yīng)油顫動(dòng)而振動(dòng)。對(duì)低速比,頻率比 ω3/ωn等于臨界速度。其ω3/ωn=1,速比ωm/ωn=2后,它漸近等于轉(zhuǎn)子速度的一半,為 ω3/ωn=0.5(ωm/ωn)。對(duì)于小的質(zhì)量比β值,根組λ1,2對(duì)于某些速比范圍有正實(shí)數(shù)部分,它造成系統(tǒng)不穩(wěn)定。隨著質(zhì)量比增加,根組λ1,2成為穩(wěn)定,但根組λ5,6假定為正實(shí)數(shù)部分,它造成系統(tǒng)再次不穩(wěn)定。

圖13和圖14分別示盤(pán)中心位移和軸頸中心位移,對(duì)于亞臨界運(yùn)轉(zhuǎn)的時(shí)間響應(yīng)。這些圖示轉(zhuǎn)子亞臨界運(yùn)轉(zhuǎn)常常是穩(wěn)定的和振幅較小的。

圖13 亞臨界運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的運(yùn)動(dòng)Fig.13 M otion of the disc contre for subcritical run

圖15和16分別示超臨界運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)盤(pán)中心位移和軸頸中心位移的時(shí)間響應(yīng)。轉(zhuǎn)子超臨界運(yùn)轉(zhuǎn)對(duì)某些速度范圍不穩(wěn)定與質(zhì)量比有關(guān)。

圖14 亞臨界運(yùn)轉(zhuǎn)軸頸中心的運(yùn)動(dòng)Fig.14 Motion of the journal centre for subcritical run

圖15 超臨界運(yùn)轉(zhuǎn)盤(pán)中心的運(yùn)動(dòng)Fig.15 Motion of the disc centre for supercritied run

圖16 超臨界運(yùn)轉(zhuǎn)軸頸中心的運(yùn)動(dòng)Fig.16 Motion of the journal centre for supercritied run

5 結(jié)論

本文研究-薄盤(pán)位于-有質(zhì)量的彈性軸的中部,它由油膜軸承支承,假定為-短滑動(dòng)軸頸軸承。該軸頸軸承由縱向剛度和阻尼系數(shù)以及橫向組合剛度和阻尼系數(shù)表示。這些系數(shù)與轉(zhuǎn)子角速度有關(guān)。假定電機(jī)加速,轉(zhuǎn)子和電機(jī)速度控制系統(tǒng)有一二階轉(zhuǎn)換函數(shù),在這些假定下,開(kāi)發(fā)了運(yùn)動(dòng)方程式。仿真結(jié)果表示,對(duì)小的質(zhì)量比值,一對(duì)復(fù)數(shù)根假定對(duì)于轉(zhuǎn)子速度范圍為正實(shí)數(shù),而造成系統(tǒng)失穩(wěn)。隨質(zhì)量比增大,該組根成為穩(wěn)定,但另一組復(fù)數(shù)根假定為正實(shí)數(shù)部分,使系統(tǒng)再次不穩(wěn)定。該系統(tǒng)對(duì)亞臨界運(yùn)轉(zhuǎn)常常是穩(wěn)定的,但在超臨界的一些速度范圍是不穩(wěn)定的。(介眉譯自Proc.IMechE 2008 Vol.zzz partc：J Mechanical Engineering Science)

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