潘延明，盧艷娥，駱艷卜，李思佳

(空軍工程大學(xué) 電信工程學(xué)院，陜西 西安710077)

空時(shí)自適應(yīng)濾波算法的優(yōu)點(diǎn)是能夠在不增加天線陣元數(shù)目的前提下大大提高信號(hào)處理的自由度，并可以抵消諸如連續(xù)波干擾、調(diào)頻干擾等多種窄帶和寬帶干擾。在最小均方誤差MMSE(Minimum Mean Square Error)準(zhǔn)則下，維納濾波WF(Wiener Filter)對(duì)期望信號(hào)的估計(jì)是最優(yōu)的[1,2]。維納濾波僅僅依賴觀測(cè)信號(hào)的二階統(tǒng)計(jì)量，易于實(shí)現(xiàn)，因此被廣泛應(yīng)用于多種場(chǎng)合。但是該方法需要計(jì)算觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)矩陣的逆矩陣，這意味著空時(shí)自適應(yīng)濾波的計(jì)算量會(huì)隨著自相關(guān)矩陣維數(shù)的增加而急劇增大。因此，在當(dāng)前硬件條件下，以降低計(jì)算量為目的的降秩處理是空時(shí)自適應(yīng)濾波所研究的重要問題之一[3]。

針對(duì)空時(shí)自適應(yīng)濾波問題，現(xiàn)有的降秩方法很多，其中應(yīng)用最廣泛的是多級(jí)維納濾波MSNWF。相對(duì)于其他的降秩方法，MSNWF有更優(yōu)的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)性能，能夠在處理器維數(shù)遠(yuǎn)小于信號(hào)空間維數(shù)時(shí)，使性能接近最佳，并且避免了求解矩陣的逆、特征空間分解等復(fù)雜的運(yùn)算，給計(jì)算帶來了方便[4-5]。然而，MSNWF包含前向迭代和后向迭代兩個(gè)過程，在陣元數(shù)目過多時(shí)，雙向迭代過程使MSNWF的計(jì)算量大大增加，難以滿足實(shí)時(shí)性的要求。針對(duì)這一問題，本文采用基于共軛梯度的多級(jí)維納濾波算法CG-MSNWF,該算法只有前向迭代過程，避免了開放運(yùn)算，計(jì)算量小。在相同的干擾抑制性能條件下，該算法的收斂速度比MSNWF有所提高，能夠快速適應(yīng)時(shí)變的場(chǎng)景，易于實(shí)時(shí)處理。

1 MSNWF算法

設(shè)陣列的陣元數(shù)為M,每個(gè)陣元含有P個(gè)延遲單元。信號(hào)經(jīng)過M個(gè)天線陣列進(jìn)入系統(tǒng)，數(shù)據(jù)采取分段輸入方式，數(shù)據(jù)段長度為L。這樣，每次處理的數(shù)據(jù)量為M×L維，數(shù)據(jù)經(jīng)過延遲處理后轉(zhuǎn)換為N×(LP+1)維矩陣(MP=N),用X表示。處理器權(quán)向量為W，接收數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣為RX=E[XXT],觀測(cè)信號(hào)與期望信號(hào)的互相關(guān)為rxd=E[Xd*]。

選擇滿秩矩陣T1=[h1]T作為預(yù)濾波,其中h1=/‖‖，B1=null(h1)稱為阻塞矩陣(Blocking Array)。

設(shè)對(duì)輸入信號(hào)X0(n)進(jìn)行T1變換之后得到的信號(hào)為Z1,則：

用觀測(cè)信號(hào)向量X0(n)滿秩變換后的Z1(n)來估計(jì)期望信號(hào)d0(n)，由維納濾波器的時(shí)域解可知：

由此可以看出，N維維納權(quán)可以分解為一個(gè)標(biāo)量與一個(gè)(N-1)維維納權(quán)的形式，即:

其中, 標(biāo)量 w1=δ1，(N-1) 維矢量為從(N-1)維矢量X1中估計(jì)標(biāo)量d1的維納權(quán)。

同理，繼續(xù)將 X1(n)分解，直到分解到第(N-1)級(jí)，如圖1所示。這時(shí)，XN-1(n)已經(jīng)是一個(gè)標(biāo)量，維數(shù)等于 1。維的維納濾波器被分解為N個(gè)級(jí)聯(lián)的標(biāo)量濾波器。由式w1=α1-1δ1可知，每級(jí)標(biāo)量維納濾波器的權(quán)值可由兩個(gè)標(biāo)量相乘得到。

圖1表明了MSWNF降秩算法需要有前向迭代和后向迭代兩個(gè)過程，前者的作用通過將輸入信號(hào)變換到相互正交的子空間進(jìn)行降秩,后者的作用是用各級(jí)的誤差信號(hào)加權(quán)來估計(jì)期望信號(hào)[6-8]。估計(jì)的誤差為：

則估計(jì)的均方誤差MSE為：

2 MSNWF改進(jìn)算法

在MSNWF算法中,需要估計(jì)觀測(cè)信號(hào)的自相關(guān)矩陣，迭代的最大維數(shù)為N-1,在每次迭代時(shí)觀察最小均方誤差 αi，當(dāng)?shù)?D(1≤D≤N-1)時(shí)，αi小于預(yù)先設(shè)定的MMSE門限，迭代即終止[7]。但是在迭代過程中需要反復(fù)進(jìn)行開方運(yùn)算,不利于硬件實(shí)現(xiàn)。J.Scott Goldstein等人針對(duì) EDGE(Enhanced Data rate for GSM Evolution)系統(tǒng)提出一種基于共軛梯度的多級(jí)維那濾波算法CGMSNW[9],本文將該濾波算法應(yīng)用于GPS接收機(jī)前端，仿真分析表明，具有很好的抗干擾效果。

2.1 共軛梯度（CG）算法

共軛梯度(CG)算法是Hestenes和 Stiefel在求解 N(N未知)階線性方程組Ax=b時(shí)所提出的[9]。求解過程是一個(gè)步迭代過程，當(dāng)?shù)贒次迭代之后輸出的最小均方誤差αi小于預(yù)先設(shè)定的MMSE門限值時(shí)，迭代可以終止，此時(shí)的解向量xD是方程組的近似解。

共軛梯度算法是以下問題的解：

稱為權(quán)重因子，pi稱為導(dǎo)向矢量，xN是第N次迭代之后的近似解向量。

設(shè)解向量x的迭代方程為：

現(xiàn)在估計(jì)γi的值，使誤差函數(shù)f(x)取得最小，可得：

第i-1次迭代之后的剩余誤差為：

將式(12)代入式(14)可得：

2.2 基于CG的MSNWF算法

關(guān)于MSNWF和CG算法的分析比較，參考文獻(xiàn)[9，10]給出了詳細(xì)的論述。下面直接給出CG-MSNWF的算法流程：

比較CG-MSNWF和MSNWF兩種算法可以發(fā)現(xiàn)，前者不僅實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，而且在迭代運(yùn)算中避免了開方運(yùn)算，既不需要后向迭代，也不需要計(jì)算阻塞矩陣B,從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過程，提高了運(yùn)算效率。因此，本文采用CGMSNWF算法作為求解維納濾波器權(quán)系數(shù)的方法。

3 仿真分析

為了充分驗(yàn)證CG-MSNWF算法的有效性和可靠性，本文對(duì)算法的干擾抵消和收斂情況進(jìn)行了仿真。

3.1 CG-MSNWF對(duì)干擾抵消情況

采用陣元數(shù)為M=7的均勻線性天線陣，每個(gè)天線陣的延遲為P=4。接收機(jī)處理帶寬B=20 MHz，中頻 IF=46.52 MHz，采樣率 FS=65.536 MHz。GPS信號(hào)的信噪比S/N=-15 dB，DOA為 30°，設(shè) PRN碼偏移量為 0。設(shè)干擾個(gè)數(shù)為10個(gè)，如表1所示。

采用CG-MSNWF處理前后的信號(hào)頻譜圖如圖2所示。經(jīng)過CG-MSNWF算法的輸出信號(hào)中干擾成分已被有效抑制，在輸出信號(hào)的頻譜中，單頻干擾和寬帶干擾均被抵消掉，其中在單頻干擾信號(hào)的頻點(diǎn)處產(chǎn)生凹陷，凹陷的幅度約為10 dB，達(dá)到了抗干擾的目的。

表1 干擾信號(hào)信息表

在實(shí)際應(yīng)用中，用PRN自相關(guān)的最大峰值與次大峰值的比值[11]來檢驗(yàn)算法對(duì)干擾的抵消情況，判斷是否可以檢測(cè)到GPS信號(hào)，其經(jīng)驗(yàn)判決門限為最大峰值與次大峰值之比等于1.5 dB。在本次仿真試驗(yàn)中，根據(jù)圖3所示，該比值為4.57 dB，所以經(jīng)過CG-MSNWF算法處理之后,可以檢測(cè)到GPS信號(hào),從而證明了算法的有效性。

圖4為濾波輸出信號(hào)的空頻響應(yīng)，可見在與表1所對(duì)應(yīng)的干擾DOA和干擾頻率(頻帶)處產(chǎn)生凹陷，進(jìn)一步證明了該算法對(duì)干擾抵消的效果是非常理想的。

3.2 CG-MSNWF的降秩和收斂性能

對(duì)MSNWF算法的研究表明,MSNWF是一種降秩自適應(yīng)濾波方法，該算法使系統(tǒng)在秩遠(yuǎn)小于信號(hào)子空間秩的時(shí)候趨于收斂[4,5]。CG-MSNWF是MSNWF基于共軛梯度的改進(jìn)算法，也是一種降秩自適應(yīng)濾波方法。CGMSNWF算法不需要后項(xiàng)迭代過程，運(yùn)算簡(jiǎn)單，降秩性能好，從而大大降低了計(jì)算量，提高了收斂速度。圖5和圖6分別給出了兩種算法降秩性能和收斂性能比較。可以看出，CG-MSNWF算法在系統(tǒng)的秩R=10時(shí)就趨于收斂，降秩性能優(yōu)于MSNWF算法；系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的秩減小了，說明算法的計(jì)算量有所減小，實(shí)時(shí)性有所增加，能夠快速適應(yīng)時(shí)變的場(chǎng)景。

本文針對(duì)MSNWF算法計(jì)算量大，在處理高維數(shù)據(jù)時(shí)，不能滿足實(shí)時(shí)性要求這一問題，采用基于共軛梯度的改進(jìn)算法——CG-MSNWF，該算法是一種降秩自適應(yīng)算法，省略了后項(xiàng)迭代過程，計(jì)算簡(jiǎn)單，可以使系統(tǒng)在秩R=10的時(shí)候就趨于收斂，且性能與滿秩時(shí)相差不大，從而克服了其他空時(shí)自適應(yīng)濾波算法的計(jì)算量大的弱點(diǎn)，增強(qiáng)了抗干擾的實(shí)時(shí)性。本文對(duì)該算法的有效性和可靠性進(jìn)行了仿真,仿真結(jié)果證明了該算法的合理性。

[1]盧艷娥.“北斗一號(hào)”用戶接收機(jī)自適應(yīng)抗干擾天線半物理仿真系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)研究[D].北京：北京航空航天大學(xué)博士學(xué)位論文，2004.

[2]高增來,盧艷娥.空時(shí)自適應(yīng)抗干擾算法分析與仿真[J].通信技術(shù)，2007，40(12)：174-176.

[3] 盧艷娥，談?wù)怪?用于雙衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)用戶接收機(jī)抗干擾的自適應(yīng)干擾正交約束下的最佳信號(hào)增強(qiáng)算法[J].電子學(xué)報(bào)，2004，32(8)：1239-1243.

[4]GOLDSTEIN S J,REED I S.Reduced-rank adaptive filtering[J].IEEE Transactions on Signal Processing 45,February 1997：492-496.

[5]GOLDSTEIN S J,REED I S.SCHARF L L.A multistage representation of the wiener filter based on orthogonal projections[J].IEEE Transactions on Information Theory,1998,44(7):2943-2959.

[6]司曉東，蔚保國.GPS接收機(jī)空時(shí)二維抗干擾技術(shù)研究[J].測(cè)控遙感與導(dǎo)航定位，2010，40(3)：34-35.

[7]王永良，丁前軍，李榮鋒.自適應(yīng)陣列處理[M].北京：清華大學(xué)出版社，2009.

[8]周柱，石峰，張爾揚(yáng)，等.一種GPS接收機(jī)級(jí)聯(lián)抗干擾方法[J].信號(hào)處理，2010，26(9)：56-62.

[9]DIETL G.Conjugate gradient implementation multi-stage nested wiener filter for reduced dimension processing[M].Munich University of Technology Institute for Circuit Theory and Signal Processing.2001.

[10]DIETL G,ZOLTOWSKI M D,JOHAM M.Reduced-rank equalization for EDGE via conjugate gradient implementation of multi-stage nested Wiener filter[C].IEEE 2001 VTC.VTS.2001：1912-1916.

[11]鄔迪，陳庭燕.基于通用相關(guān)器的高動(dòng)態(tài)GPS信號(hào)并行快速捕獲[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào),2007,47(11):2064-2067.