高春霞,張?zhí)祢U,譚方青,魏世朋

（重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶 400065）

非線性調(diào)頻信號是一種具有低頻截獲率的時變信號，它在雷達、聲納、電子對抗、生物醫(yī)學、語音和通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。但是對非線性調(diào)頻信號的波達方向估計方法仍處于初步研究階段。目前，人們已經(jīng)提出多種非線性調(diào)頻信號的形式，主要包括多項式相位信號(PPS)和正弦調(diào)頻信號(SFM)。非線性調(diào)頻信號的估計算法大多都是針對多項式相位信號，而對正弦調(diào)頻信號的估計算法研究較少，參考文獻[1]提出的基于離散多項式相位變換的方法僅討論了對正弦調(diào)頻信號的波形重構(gòu)，但沒有推導(dǎo)算法，所以現(xiàn)有算法還不完善。目前，還沒有普遍適用的算法，故本文將非線性調(diào)頻信號統(tǒng)一建模成高階多項式相位信號模型。

多項式相位信號PPS(Polynomial Phases Signal)是信號處理領(lǐng)域中的一個具有重要意義的非平穩(wěn)寬帶信號。寬帶信號高分辨率估計方法主要有兩大類：極大似然估計(MLM)[2]和相干信號子空間方法(CSM)[3]。MLM是一種非線性最優(yōu)化算法，但它運算復(fù)雜，運算量極大。而CSM存在角度預(yù)估計問題，估計精度受預(yù)估計的影響。目前國內(nèi)外學者大多是針對多項式相位信號的相位系數(shù)估計[4-5]進行研究，而對多項式相位信號波達方向(DOA)估計方面的研究甚少,并且針對大于二階的多項式信號的研究也相對較少。在現(xiàn)代電子對抗中，精確估計多項式相位信號的來波方向，實現(xiàn)超分辨測向顯得非常重要。

本文研究了一種基于 Peleg[6]提出的 DPT方法，對非線性調(diào)頻信號進行DOA估計。離散多項式變換(DPT)是分析恒定振幅多項式相位信號的有力工具，其主要用途是估計相位信號的系數(shù)。該方法估計模型參數(shù)，進一步推導(dǎo)了信號參數(shù)與模型參數(shù)的關(guān)系，得出信號參數(shù)的估計公式。且該方法能夠很好地解決非線性調(diào)頻信號的角度估計問題。

1 離散多項式相位變換

根據(jù)Weierstrass逼近理論[8]，任一閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)都可以用多項式相位函數(shù)來近似。多項式相位變換(PPT)是多項式相位信號檢測與估計普遍采用的一種方法，在用于離散時間信號處理時，又稱為離散多項式相位變換(DPT)。本節(jié)系統(tǒng)地介紹了DPT，給出多項式相位變換的定義[6]。則非線性調(diào)頻信號可建模成：式中，N為采樣長度，Vt為采樣間隔，am為實相位系數(shù)，M為相位多項式的階數(shù)，b0、am和M統(tǒng)稱為模型參數(shù)。

接收信號可表示為：

對于信號s(n),M階PPS信號的一階瞬態(tài)矩DP1[s(n)，τ]、二階瞬態(tài)矩DP2[s(n)，τ]及三階瞬態(tài)矩DP3[s(n)，τ]分別定義為：

所以高階瞬態(tài)距(HIM)定義為：

式中，τ為時延長度，0≤τ≤N-1。

M階離散多項式相位變換 DPTM定義為DPM[s(n)，τ]的離散傅里葉變換，表示為：

將式(2)代入式(8)，于是有：

對于式(3)中的信號模型，經(jīng)多項式變換將其變換為單個諧波和新的噪聲。于是，可以通過計算DPM[s(n)，τ]得正弦信號，然后通過FFT將在ω0處呈現(xiàn)峰值。從而可從峰值估計出最高階多項式相位的系數(shù)aM:

其中，ω0=M!(τVt)M-1aM。τ的選擇與最后參數(shù)估計的精度有關(guān)，根據(jù)參考文獻[4]中的分析，當 M＞3時，選擇 τ=N/M+2;當 M≤3時，選擇 τ=N/M，此時參數(shù)有較高的估計精度。

2 陣列信號模型及原理結(jié)構(gòu)圖

陣列模型為M個陣元的均勻線陣(ULA)，陣元間距為d，如圖1所示。假設(shè)有一寬帶的非線性調(diào)頻信號s(t)，入射角為θ。其中第一個陣元作為參考陣元，則第 l個陣元上的觀測信號可以表示為:

nl(t)為第l個陣元相互獨立且與信號無關(guān)的高斯白噪聲；τl是信號 s(t)在第 l個陣元相對于第一個陣元的延時；c為光速；DP2代表其二階瞬時矩；DP3代表其三階瞬時矩；DP[W(n)]代表噪聲的高階瞬時矩。

3 對單頻正弦信號進行DOA估計

求根MUSIC算法是MUSIC算法的一種多項式求根形式，兩者具有相同的漸進性能，但是在小樣本的情況下，MUSIC算法不能分辨空間相距比較近的信號，而求根MUSIC算法能夠很好地分辨。故本文采用求根MUSIC對單頻正弦信號進行DOA估計。

接收信號表示為：

三階無噪聲污染信號的瞬態(tài)距表示見式(10)，則：

其中，Rls和Rln分別為信號和噪聲協(xié)方差矩陣。對上式協(xié)方差矩陣進行特征分解，可得λ1＞λ2，…,λQ＞λQ+1=λQ+2=…,λm,其中,Q為信號源個數(shù)，信號子空間是由對應(yīng)大特征值組成的特征矢量，而噪聲子空間是由對應(yīng)小特征值組成的特征矢量。

求根MUSIC算法需要先定義如下一個多項式：

式中：ei是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中小特征值對應(yīng)的M-Q個特征矢量 p(z)=[1,z,…,zM-1]T。

由以上的定義可知：當z=ejω時，即多項式的根正好位于單位圓上時，p(ejω)是一個空間頻率為ω的導(dǎo)向矢量。由特征結(jié)構(gòu)類算法可知，p(ejω)=p(z)就是信號的導(dǎo)向矢量，所以其與噪聲子空間是正交的。因此，多項式可定義為：

也就是說只要求得式(19)的根即可獲得有關(guān)信號源到達角的信息，同時發(fā)現(xiàn)多項式存在z*項，這使得求零過程變得復(fù)雜，可將式(19)修正為：

因為多項式 f(z)的階數(shù)為 2(M-1)，所以有(M-1)對根，且每對根是相互共軛的關(guān)系。在這(M-1)對根中有Q個根z1,…,zQ正好分布在單位圓上，即：

上式考慮的是數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣精確可知時的情況。在實際應(yīng)用中,也就是數(shù)據(jù)矩陣存在誤差時，只需求式(20)的Q個接近于單位圓上的根即可。即對于等距均勻線陣來說，根據(jù)方向?qū)蚴噶緼l可知波達方向。

由以上分析，可總結(jié)出多項式相位信號波達方向估計的算法流程：

(1)初始化，令 m=M 和 xm(n)=x(n)，其中 1≤n≤N-1;

(2)對信號進行高階瞬態(tài)矩變換，可以得到變換后的單頻正弦信號HIM3;

(3)對單頻正弦信號HIM3進行FFT變換;

(6)替換 m=m-1，直到 m=2為止;

(7)由式(15)確定信號所對應(yīng)的導(dǎo)向矢量；

(8)利用求根MUSIC算法進行 DOA估計，估計最終信號的波達方向。

4 仿真實驗

實驗一：設(shè)信號模型為：x(n)=s(n)+W(n)=b0exp[j(a1n+a2n2+a3n3)]+W(n),0≤n≤N-1。其中，a1=0.15,a2=0.2/N,a3=0.55/N2，采樣點 N=360，延時 τ=N/3，離散 FFT 時變換的長度為 120×100點，快拍數(shù)為τ。

圖2給出了本文多項式相位信號分別在沒有噪聲和SNR=20 dB時，經(jīng)過瞬態(tài)矩變換后的信號實部幅值特性圖。從圖中可以看出，經(jīng)過瞬態(tài)矩后，當沒有噪聲時，變換后的信號為正弦信號;當SNR=20 dB時，信號為正弦信號和新的噪聲。

圖3給出了的均方誤差和CRB差隨信噪比的變化曲線，從圖中可以看出，三階PPS在SNR大于或等于 8 dB時，此方法的估計性能越來越接近克拉美羅線，且隨著信噪比的降低，仿真結(jié)果與理論結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。

實驗二：在實驗一的基礎(chǔ)上，對信號的波達方向進行估計，且參數(shù)和實驗一相同。信號的入射角為30°。對其進行200次的Monte-Carlo仿真實驗，如圖4所示。

對信號的波達方向進行估計，從圖4(a)可以看出，本文能較為準確地估計信號的波達方向，且隨著快拍數(shù)的增加逐漸趨于穩(wěn)定。圖4(b)是在不同陣元的情況下誤差分析，在相同信噪比的情況下，陣元數(shù)越多估計性能就越好。陣元數(shù)為10要比陣元數(shù)為6的估計性能要好一些，陣元數(shù)為6要比陣元數(shù)為4的好一些。

本文提出了一種非線性調(diào)頻信號的波達方向估計方法。推導(dǎo)了該方法的具體步驟，并給出了相應(yīng)的仿真分析，理論分析和仿真結(jié)果表明，在大于或等于8 dB時能很好地估計出多項式相位信號的來波方向，計算量大大減少，算法相對簡單很多。

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