黃 磊，許 科，崔慧娟，唐 昆

（清華大學(xué) 電子工程系 清華信息科學(xué)與技術(shù)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，北京 100084）

位同步是進(jìn)行可靠數(shù)字通信的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。按照定時(shí)誤差提取方式分類，位同步算法可以分為DA(數(shù)據(jù)輔助)和NDA(非數(shù)據(jù)輔助)。相對(duì)于DA類算法，NDA類算法不需要引導(dǎo)符號(hào)，可以實(shí)現(xiàn)更高的帶寬有效性，付出的代價(jià)是相對(duì)較高的估計(jì)方差。按照數(shù)據(jù)處理結(jié)構(gòu)分類，可以分為前饋估計(jì)和反饋估計(jì)。傳統(tǒng)的基于鎖相環(huán)(PLL)結(jié)構(gòu)的定時(shí)估計(jì)器都屬于反饋估計(jì)，由于反饋結(jié)構(gòu)內(nèi)在特性，使其更容易出現(xiàn) Cycle Slip和 Hang up[1]現(xiàn)象。本文主要關(guān)注NDA前饋定時(shí)估計(jì)算法。

[2]中提出了一種廣泛使用的平方定時(shí)估計(jì)算法，平方定時(shí)估計(jì)器基于調(diào)制信號(hào)的二階循環(huán)平穩(wěn)統(tǒng)計(jì)特性，當(dāng)成型脈沖的滾降系數(shù)較小時(shí)，會(huì)帶來較大的估計(jì)方差，本文針對(duì)這一問題給出了改進(jìn)的方法。

1 信號(hào)模型和二階循環(huán)平穩(wěn)特性分析

本文采用標(biāo)準(zhǔn)的脈沖疊加模型，其離散時(shí)間版本如下式所示：

w(l)表示獨(dú)立同分布符號(hào)序列，為了便于分析，不妨假設(shè)其方差為1;g為成形脈沖，這里采用升余弦成形脈沖，滾降系數(shù)為ρ;P表示每個(gè)符號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)，P取足夠大，以保證采樣信號(hào)不引起混疊;ε表示定時(shí)信息，0＜ε＜1；v(n)為獨(dú)立同分布白高斯噪聲。

信號(hào)的二階自相關(guān)可以用下式表示：

其中mv(τ)表示噪聲的二階自相關(guān)。從上式可以看出，信號(hào)的二階自相關(guān)函數(shù)是關(guān)于P的周期函數(shù)，二階自相關(guān)是循環(huán)平穩(wěn)的，所以可以對(duì)其求取傅里葉級(jí)數(shù)，如下式：

G(f)是成型脈沖的 DTFT(離散時(shí)間傅里葉變換)，可以看出只要對(duì)M2(k;τ)求角就可以求出定時(shí)信息。

經(jīng)典的平方定時(shí)估計(jì)器[2]可以看作是對(duì)M2(1;0)的估計(jì)，如下式所示：

其中 vs×s+vs×v+vv×v表示由自相關(guān)估計(jì)導(dǎo)致的自噪聲、信號(hào)與加性噪聲導(dǎo)致的互噪聲及加性噪聲的總和。從上式可以看出，定時(shí)誤差估計(jì)變成了一個(gè)在加性噪聲情況下的相位估計(jì)，因此當(dāng)噪聲一定的情況下信噪比主要由G(1;0)決定。對(duì)于滾降系數(shù)為ρ的升余弦成型脈沖來說，可以得到：

C是一個(gè)常量，G2(1;0)與 ρ呈線性關(guān)系。當(dāng) ρ->0，也就是成形脈沖趨近于Nyquist脈沖時(shí)，平方估計(jì)法甚至?xí)　?/p>

2 基于絕對(duì)值的定時(shí)誤差估計(jì)器

對(duì)于低滾降系數(shù)成形脈沖來說，可以采用基于絕對(duì)值的定時(shí)誤差估計(jì)器，如下式：

仿真如圖1所示。

圖1中最下面的曲線是定時(shí)估計(jì)的MCRB(修正的可拉美羅界)[3]。圖1(a)、圖1(b)分別對(duì)應(yīng)滾降系數(shù)為 0.1和 0.5的 QPSK 調(diào)制，分析窗長(zhǎng) L=100時(shí)的 MSE=E(ε-)2，可以看出在低滾降系數(shù)下，絕對(duì)值非線性有明顯的性能增益。隨著滾降系數(shù)的增大，其性能趨于平方非線性。

圖1 ρ=0.1和 0.5時(shí)定時(shí)估計(jì)均方差與EsNo的關(guān)系

其實(shí)基于絕對(duì)值的定時(shí)估計(jì)器是基于高階統(tǒng)計(jì)量的定時(shí)估計(jì)器的特例。對(duì)于偶對(duì)稱無記憶非線性函數(shù)，其多項(xiàng)式擬合只包括輸入的偶次冪。如式(7)所示：

E(x2m(n))同E(x2(n))一樣也是循環(huán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，周期為P，運(yùn)用傅里葉級(jí)數(shù)可以得到下式：

G2m(1)由于解析式太過復(fù)雜，可以通過仿真的方法得到，仿真時(shí)令ε=0，噪聲為0，然后用充分長(zhǎng)的序列去估計(jì)信號(hào)的高階距，最后進(jìn)行FFT得到處的值。滾降系數(shù)與G(1)的關(guān)系如圖2所示，矩估計(jì)噪聲與EsNo的關(guān)系如圖3所示。

圖2 滾降系數(shù)與G(1)關(guān)系

從圖2、圖3中可以看出，隨著冪次的升高G2m(1)在增大，但是付出的代價(jià)是平均矩估計(jì)噪聲增大，所以只有選擇合適加權(quán)系數(shù)才能實(shí)現(xiàn)性能增益。從圖2和圖3中對(duì)比絕對(duì)值和平方非線性，絕對(duì)值非線性在滾降系數(shù)0.1～0.4之間時(shí)G(1)值要高于平方非線性，但是平均矩估計(jì)噪聲并沒有顯著增加，兩者的結(jié)合使絕對(duì)值非線性在低滾降系數(shù)下性能更好。絕對(duì)值的G(1)隨著滾降系數(shù)的增大趨近于平方非線性，在ρ=0.5時(shí)兩者已經(jīng)接近。這也與圖1仿真是一致的。

3 預(yù)濾波和卡爾曼濾波后處理

采用預(yù)濾波[4]的方法可以有效降低信號(hào)的定時(shí)方差，這里采用如下的預(yù)濾波器，如下式：

圖3 矩估計(jì)噪聲與EsNo的關(guān)系

預(yù)濾波和后濾波整體頻域響應(yīng)如圖4所示。增加預(yù)濾波之后的仿真性能如圖5所示。

圖4 信道濾波和預(yù)濾波整體響應(yīng)

圖5 增加預(yù)濾波器之后的估計(jì)性能ρ=0.1

從圖4中可以看出增加預(yù)濾波器之后，整體傳輸特性呈現(xiàn)為一個(gè)中心頻率在的帶通濾波器，通過這個(gè)濾波特性提高了在G(1)處的信噪比，改善了估計(jì)性能。

除了預(yù)濾波之外，基于一階卡爾曼濾波器的后濾波器可以用來解決定時(shí)回繞(Unwrapper)和平滑估計(jì)噪聲。本文采用參考文獻(xiàn) [5]中的一階卡爾曼后濾波器結(jié)構(gòu)。通過后濾波可以解決當(dāng)連續(xù)變化的ε超過-0.5和0.5造成的估計(jì)反轉(zhuǎn)問題,同時(shí)對(duì)輸出進(jìn)一步平滑。如圖6、圖7所示。

本文從信號(hào)的循環(huán)平穩(wěn)統(tǒng)計(jì)特性入手，分析了傳統(tǒng)的平方定時(shí)估計(jì)器在低滾降系數(shù)成型脈沖條件下性能下降的原因。指出絕對(duì)值非線性更適合于嚴(yán)重帶限信號(hào)，絕對(duì)值非線性的性能增益源于其可以看作信號(hào)高階矩的加權(quán)和，高階矩的引入改善了由于滾降系數(shù)降低帶來的性能損失。最后本文指出采用基于頻移成型脈沖的預(yù)濾波和基于一階卡爾曼濾波器的后濾波可以有效降低估計(jì)方差。預(yù)濾波、絕對(duì)值非線性和后濾波三者的結(jié)合使用可以作為低滾降系數(shù)成型脈沖條件下一種合理的定時(shí)恢復(fù)方案。

參考文獻(xiàn)

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[4]Shi Kai,PRADEEP K.Sarvepalli and erchin serpedin on the design of digital blind feedforward jitter free timing recovery schemes for linear modulations[J].IEEE Trans.on Comm,2004,52(9).

[5]李光源，黃磊，崔慧娟，等.改進(jìn)的非數(shù)據(jù)輔助前向反饋符號(hào)定時(shí)恢復(fù)算法[J].電視技術(shù)，2011(1):48-50,56.