王學(xué)猛, 王斌

摘 要：傳播算子(PM)法不需要進(jìn)行復(fù)雜的特征值分解，減小了計(jì)算量，但僅在信噪比較高的情況下才有較好的波達(dá)方向估計(jì)性能，且譜峰搜索仍需要較大計(jì)算量。在此基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的算法PM-Root-MUSIC，它不需要特征值分解,同時(shí)用多項(xiàng)式求根代替譜峰搜索，大大減少了計(jì)算量。理論分析和計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明此方法是有效的。

關(guān)鍵詞：傳播算子； 波達(dá)方向估計(jì)； Root-MUSIC； 計(jì)算量

中圖分類(lèi)號(hào)：TN911.7-34文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-373X(2011)09-0090-03

Root-MUSIC Algorithm Based on Propagator Method

WANG Xue-meng, WANG Bin

(Institute of Information Engineering, Information Engineering University, Zhengzhou 450002, China)

Abstract： The propagator method (PM) does not need the complicated eigenvalue decomposition and has less computation, but this algorithm has better performance of the DOA estimation only in the condition of high SNR, and its spectrum search are computationally intensive. An improved algorithm (PM-Root-MUSIC) based on propagator method is proposed to solve the problem. Its computational complexity is greatly reduced by using the method of finding the multinomial root instead of the spectrum search and the eigenvalue decomposition. Theoretical analysis and computer simulation results show that the method is effective.

Keywords： propagator method; DOA; Root-MUSIC; computed amount

0 引 言

信號(hào)來(lái)向及其空間分布通常稱(chēng)為空間譜，空間譜估計(jì)已經(jīng)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的重要研究方向。傳統(tǒng)的波達(dá)方向(DOA)估計(jì)方法分辨能力受瑞利限的限制，而超分辨技術(shù)能夠突破瑞利限的限制，實(shí)現(xiàn)同一波束內(nèi)的信號(hào)分離。在已提出的超分辨DOA估計(jì)算法中，子空間類(lèi)算法引起諸多研究者的關(guān)注，其中經(jīng)典MUSIC算法［1］性能優(yōu)良，但需要估計(jì)協(xié)方差矩陣并對(duì)其進(jìn)行特征分解及譜峰搜索，計(jì)算復(fù)雜度高。PM算法［2］是一種快速的子空間算法，該算法利用陣列協(xié)方差矩陣的子矩陣得到噪聲子空間，無(wú)需特征分解，減少了計(jì)算量。

本文基于PM算法提出了一種改進(jìn)的快速DOA估計(jì)算法，該算法利用陣列協(xié)方差矩陣的子矩陣得到傳播算子矩陣，進(jìn)而用多項(xiàng)式求根的形式得到信號(hào)的來(lái)向。無(wú)需特征分解，且無(wú)需譜峰搜索，只需估計(jì)該子矩陣，因而運(yùn)算量遠(yuǎn)小于MUSIC算法，且性能損失較小。

1 信號(hào)輸出模型及PM法介紹

1.1 窄帶信號(hào)陣列輸出模型

假設(shè)有D個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到由M個(gè)陣元組成的均勻直線(xiàn)陣上，則第i個(gè)陣元接收的信號(hào)為：

xi(t)=∑D－1k=0sk(t)exp－j2πλ(i－1)dcos θk+ni(t)

(1)

式中：sk(t)為第k個(gè)來(lái)向信號(hào)；λ為信號(hào)波長(zhǎng)；d為陣元間距；θk為第k個(gè)信號(hào)的入射角度；ni(t)為加性噪聲。

寫(xiě)成矩陣的形式為：

X(t)=A(Θ)S(t)+N(t)

(2)

式中：X(t)=［x1(t),x2(t),…,xM(t)］琓為陣列輸出矢量；A(Θ)=［a(Θ1),a(Θ2),…,a(ΘD)］為陣列流形矩陣；a(θk)=

1,exp－j2πλdcos θk,…,exp2πλ(M－1)dcos θk琓，k=1,2,…,D，為陣列的導(dǎo)向矢量；S(t)=［s1(t),s2(t),…sD(t)］琓為信號(hào)矢量；N(t)=［n1(t),n2(t),…,nM(t)］琓為加性噪聲矢量。

1.2 PM方法介紹

PM方法基于陣列流形矩陣的分解，具體過(guò)程如下［3］：

對(duì)陣列流形矩陣進(jìn)行分塊:

A=A1A2

(3)

式中：A1為D×D維矩陣；A2為(M－D)×D維矩陣。

當(dāng)A1為非奇異矩陣時(shí)，即A1的D行相互獨(dú)立，那么A2是A1的線(xiàn)性變換，得到：P琀A1=A2，P為傳播算子。定義一個(gè)M×(M－D)維矩陣Q，令Q=P－IM－D,

式中：－IM－D為(M－D)維單位矩陣，則［2］：Q琀A=0。

由于P的求解需要源方位信息，在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過(guò)陣列輸出的協(xié)方差矩陣估計(jì)傳播算子，得到傳播算子的估計(jì)值。首先對(duì)陣列輸出的協(xié)方差矩陣R=E［x(t)x琀(t)］進(jìn)行分塊：R=(G,H)，式中:G為協(xié)方差矩陣的前D列；H為協(xié)方差矩陣的后M－D列。即：G=R(:,1:D)，H=R(:,D+1:M)。

令：

GP=H

(4)

求使‖H－GP‖2F最小的解，則可以得到傳播算子的估計(jì)值：

=(G琀G)－1G琀H

(5)

=－IM－D

(6)

與方向矩陣正交，所以張成的空間屬于噪聲空間。對(duì)矩陣進(jìn)行正交化以提高性能，得到矩陣Q，然后用類(lèi)似MUSIC的方法可以得到波達(dá)方向的估計(jì)公式：

PPM(θ)=1a琀(θ)QQ琀a(θ)

(7)

在信噪比較高時(shí)，PM算法估計(jì)精度和MUSIC性能相近。

2 基于PM的Root-MUSIC算法(PM-Root-MUSIC)

MUSIC算法需要估計(jì)協(xié)方差矩陣并進(jìn)行特征分解，運(yùn)算量很大，使該算法實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)具有一定難度［4］。PM算法利用陣列協(xié)方差矩陣的子矩陣得到噪聲子空間，無(wú)需對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，而只需得到傳播算子矩陣，然后進(jìn)行譜峰搜索得到信號(hào)的波達(dá)方向，減少了計(jì)算量。本文在此基礎(chǔ)上結(jié)合Root-MUSIC算法提出了一種改進(jìn)的快速算法，它既不需特征值分解也避免了譜峰搜索，計(jì)算量更少。其算法原理如下：

由陣列輸出的協(xié)方差矩陣R，根據(jù)PM算法得到傳播算子的估計(jì)矩陣，對(duì)其進(jìn)行正交化以提高性能，得到矩陣Q，矩陣Q即可作為估計(jì)的噪聲子空間，即UN=Q。

根據(jù)Root-MUSIC算法［5］的基本原理，定義一個(gè)多項(xiàng)式：

f(z)=p琀(z)UNU琀Np(z)

(8)

只要求得此多項(xiàng)式的根即可獲得有關(guān)信號(hào)源到達(dá)角的信息，由于多項(xiàng)式存在z誠(chéng)睿這使得求零過(guò)程變得復(fù)雜，因此將多項(xiàng)式修正為：

f(z)=z琈－1p琓(z－1)UNU琀Np(z)

(9)

將UN=Q代入式(9)得到：

f(z)=z琈－1p琓(z－1)QQ琀p(z)

(10)

求出它的D個(gè)接近于單位圓上的根即可得到信號(hào)的波達(dá)方向。

本文算法步驟如下：

(1) 計(jì)算采樣協(xié)方差矩陣R；

(2) 由協(xié)方差矩陣R得到傳播算子矩陣，對(duì)其標(biāo)準(zhǔn)正交化，得到矩陣Q；

(3) 根據(jù)式(10)定義多項(xiàng)式，求出多項(xiàng)式的系數(shù)，進(jìn)而求出多項(xiàng)式的根；

(4) 找出D個(gè)接近于單位圓上的根，根據(jù)式θi=arcsinλ2πdarg{i}，i=1,2,…,D，求出對(duì)應(yīng)的信號(hào)源角度。

3 性能分析及計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

3.1 PM方法介紹

下面比較幾種算法和本文算法的運(yùn)算量。Root-MUSIC算法中接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣需要復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為O(NM2)［6-7］，對(duì)采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解需要復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為O(M3)［7］，并且計(jì)算量隨著陣元數(shù)和信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)的增加而急劇增大。PM算法無(wú)需特征分解，而標(biāo)準(zhǔn)正交化法計(jì)算復(fù)雜度為O((M－D)D2)［7］，其譜峰搜索的計(jì)算量很大(O(MDJ))且隨著搜索精度的提高而急速增大。Root-MUSIC算法用求根代替譜峰搜索，多項(xiàng)式求根的計(jì)算量遠(yuǎn)小于特征分解的計(jì)算量［8-9］，也遠(yuǎn)小于譜峰搜索的計(jì)算量。PM算法需要譜峰搜索，Root-MUSIC算法需要特征值分解，而本文算法既不需要特征值分解也無(wú)需譜峰搜索，故其計(jì)算量大大減少。其中，J表示搜索精度。

3.2 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果

仿真實(shí)驗(yàn)基于九元均勻直線(xiàn)陣，d/λ=0.5，來(lái)波方位角為45°；由于PM算法在信噪比較低時(shí)失效，故設(shè)仿真信噪比最低為0 dB。

仿真1:無(wú)幅相差時(shí)估計(jì)方差與信噪比及快拍數(shù)的關(guān)系。

信噪比為0~30 dB,間隔變化為1 dB，采樣點(diǎn)數(shù)為100~1 000,間隔為100，Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次，圖1采樣點(diǎn)數(shù)N=500，圖2信噪比為10 dB。

圖1的仿真結(jié)果表明,在10 dB以下本文算法和PM算法性能基本一致，均差于Root-MUSIC算法，高于10 dB時(shí)三種算法性能基本相同；圖2的仿真結(jié)果表明，三種算法的性能都隨采樣點(diǎn)數(shù)的增加而提高，Root-MUSIC算法性能要好于其他兩種算法。

圖1 三種算法估計(jì)方差隨信噪比變化比較

圖2 三種算法估計(jì)方差隨采樣點(diǎn)數(shù)變化比較

仿真2：無(wú)幅相差時(shí)實(shí)驗(yàn)成功概率與信噪比的關(guān)系。

信噪比為0~30 dB，間隔變化為1 dB，采樣點(diǎn)數(shù)N=500，Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次，來(lái)波方位角為45°，圖3以估計(jì)值與實(shí)際值的差值的絕對(duì)值小于等于0.5為實(shí)驗(yàn)成功。

圖3 三種算法成功概率隨信噪比變化比較

圖3的仿真結(jié)果表明,在信噪比為5 dB及以下時(shí),本文算法和PM算法成功概率基本一致，它們的成功概率均低于Root-MUSIC算法，高于5 dB時(shí)三種算法基本都成功。

仿真3:存在幅相差時(shí)估計(jì)方差與信噪比的關(guān)系。

信噪比為0~30 dB,間隔變化為1 dB，采樣點(diǎn)數(shù)N=500，Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次，來(lái)波方位角為45°，幅度差為0.3 dB，相位差為±10°。

圖4的仿真結(jié)果表明,在幅相差存在的條件下，三種算法的性能均有所下降，本文算法性能與PM算法性能基本一致，略差于Root-MUSIC算法。

仿真4:存在幅相差時(shí)實(shí)驗(yàn)成功概率與信噪比的關(guān)系。

圖4 存在幅相差時(shí)估計(jì)方差隨信噪比變化

信噪比為0~30 dB,間隔變化為1 dB，采樣點(diǎn)數(shù)N=500，Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)次數(shù)為100次，來(lái)波方位角為45°，幅度差為0.3 dB，相位差為±15°。圖5以估計(jì)值與實(shí)際值的差值的絕對(duì)值小于等于0.5為實(shí)驗(yàn)成功。

圖5 存在幅相差時(shí)成功概率隨信噪比變化

圖5的仿真結(jié)果表明,存在幅相差時(shí),在信噪比10 dB以下，本文算法和PM算法的成功概率基本一致，它們的成功概率均低于求根MUSIC算法，高于10 dB時(shí)三種算法基本都成功。

圖5與圖3比較可以看出，幅相差存在時(shí)三種算法的性能都有所下降，本文算法性能與PM算法性能基本一致，差于Root-MUSIC算法。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了一種波達(dá)方向估計(jì)的快速算法。該算法利用陣列協(xié)方差矩陣的子矩陣得到傳播算子矩陣即噪聲子空間，再利用多項(xiàng)式求根的方法代替譜峰搜索得到信號(hào)源的角度。該算法無(wú)需進(jìn)行矩陣特征分解，且無(wú)需譜峰搜索，大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。當(dāng)信噪比較高時(shí)，算法性能與PM算法和Root-MUSIC算法基本一致，信號(hào)信噪比較低時(shí)，算法性能下降。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文